1. Diego Aldair Arevalo Hernandez
Profesor. Luis Miguel Villarreal
Matematicas
“El Numero Aureo o Proporcion Aurea y La
Serie de Fibonacci”
3º A

2. Indice
Introduccion 3
Contenido 4
Actividad 9
Bibliografia 10
Conclucion 11

3. Introduccion
Esta investigacion es sobre el número
aureo o proporcion aurea y la serie de
Fibonacci, donde esplicaremos lo que es y
su relacion entre ellos. Ademas les daremos
imágenes de este con relacion a la
naturaleza y por ultimo una actividad
realizada a mano y escaneada sobre
rectangulo o triangulo y dentro de el la
espiral aurea en geogebra.

4. El Numero Aureo o Proporcion Aurea
El número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media,
razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina
proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi)
(en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número
irracional.
Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no
periódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue
descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o
proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto
en algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Puede hallarse en
elementos geométricos, en las nervaduras de las hojas de algunos árboles,
en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos
de los girasoles, etc.
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan
entre sí dos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación:
El segmento menor es b. El cociente es el valor del número áureo: φ.
Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento
en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre el mayor,
obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del mayor
entre la del menor.
Propiedades algebraicas
• es el
único número real positivo tal que:
La expresión anterior es fácil de comprobar:

5. • Φ posee además las siguientes propiedades:
• Las potencias del número áureo pueden expresarse en función de
una suma de potencias de grados inferiores del mismo número,
establecida una verdadera sucesión recurrente de potencias.
El caso más simple es: , cualquiera sea n un número
entero. Este caso es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues se
recurre a dos potencias anteriores.
Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma
, donde es cualquier número real o
complejo y k es un número natural menor o igual a n y mayor o igual a 1.
En el caso anterior es , y .
Pero podemos «saltear» la potencia inmediatamente anterior y escribir:
. Aquí , , , y .
Si anulamos a las dos potencias inmediatamente anteriores, también hay
una fórmula recurrente de orden 6:
En general:
.
En resumen: cualquier potencia del número áureo puede ser considerada
como el elemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8,..., 2k;
donde k es un número natural. En la fórmula recurrente es posible que
aparezcan potencias negativas de , hecho totalmente correcto. Además,
una potencia negativa de corresponde a una potencia positiva de su
inverso, la sección áurea.

6. Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes
significativos sean los del binomio, parecieran indicar que entre el número
áureo y el número e hay un parentesco.
• El número áureo es la unidad fundamental «ε» del cuerpo
y la sección áurea es su inversa, « ». En esta
extensión el «emblemático» número irracional cumple las
siguientes igualdades:
Representación mediante ecuaciones algebraicas
El número áureo y la sección áurea son soluciones de las
siguientes ecuaciones:

7. Serie de Fibonacci
Serie de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:
La sucesión inicia con 0, y a partir de ahí cada elemento, es la suma de
los dos anteriores(0,1,1,2,3,5,8...)
A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci.
Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático
italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas
aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de
juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por
ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el
tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.
De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci,
publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci
fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla
denominado como se la conoce en la actualidad.
También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático
escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos
números de Fibonacci sucesivos se acerca a la relación áurea fi (
) cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos
sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite.
Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el
ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla
Bartók, Olivier Messiaen y Delia Derbyshire la han utilizado para la
creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.
Relación con la serie de Fibonacci
Si se denota el enésimo número de Fibonacci como Fn, y al siguiente
número de Fibonacci, como Fn + 1, descubrimos que, a medida que n
aumenta, esta razón oscila, y es alternativamente menor y mayor que la
razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que
describe al número áureo produce siempre números de Fibonacci a
medida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo:
; ;y , lo que se acerca
considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que:

8. Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán Johannes
Kepler, pero pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada
por el matemático inglés Robert Simson.
Con posterioridad se encontró que cualquier sucesión aditiva recurrente
de orden 2 tiende al mismo límite. Por ejemplo, si tomamos dos números
naturales arbitrarios, por ejemplo 3 y 7, la sucesión recurrente resulta: 3 -
7 - 10 - 17 - 27 - 44 - 71 - 115 - 186 - 301... Los cocientes de términos
sucesivos producen aproximaciones racionales que se acercan
asintóticamente por exceso y por defecto al mismo límite: 44/27 =
1,6296296...; 71/44 = 1,613636...; 301/186 = 1,6182795.6
A mediados del siglo XIX, el matemático francés Jacques Philippe Marie
Binet redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por
Leonhard Euler, y por otro matemático francés, Abraham de Moivre. La
fórmula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci sin la
necesidad de producir todos los números anteriores. La fórmula de Binet
depende exclusivamente del número áureo:
Actividad

9. Bibliografia

10. http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_
%C3%A1ureo
http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi
%C3%B3n_de_Fibonacci
http://www.google.com.mx/search?
num=10&hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=8
00&bih=358&q=nuemro+aureo+en+la+naturaleza&oq=nu
emro+aureo+en+la+naturaleza&gs_l=img.3...5127.19718.0.2
0269.31.13.1.16.0.0.420.2943.0j3j5j3j1.12.0...0.0...1ac.1.kOdF
328s0Qg

11. Conclucion
En esta investigacion habla
más que nada del número
infinito el número aureo y la seri de
numeros infinitos conocida como la
serie de Fibonacci sema hace
interezante la investigacion sobre el
tema aparte la elavoracion de
espiral en un triangulo en el
programa geogebra