Propiedades del Triángulo de Pascal

1. PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO
DE PASCALLic.: Cristian Ernesto Martínez Morejón

2. CONTENIDOS A
DESARROLLAR
1 Reseña Histórica
2 Construcción del Triángulo de Pascal
3 Propiedades del Triangulo de Pascal

3. COMPETENCIAS:
1 Internaliza la metodología para la construcción del
Triángulo de Pascal, desde diferentes enfoques.
2 Visualiza las propiedades que satisface el Triángulo
Pascal.

4. RESEÑA HISTÓRICA
En matemáticas, el Triángulo de Pascal es una representación
de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular.
Es llamado así en honor al filósofo y matemático francés Blaise
Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du
triangle arithmétique. Si bien las propiedades y aplicaciones del
triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal
por matemáticos indios, chinos o persas, fue Pascal quien
desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en
organizar la información de manera conjunta.
En el Traité du triangle arithmétique (Tratado del triángulo
aritmético) publicado en 1654, Blaise Pascal reúne varios
resultados ya conocidos sobre el triángulo, y los emplea para
resolver problemas ligados a la teoría de la probabilidad;
demuestra 19 de sus propiedades, deducidas en parte de la
definición combinatoria de los coeficientes.

5. CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO DE
PASCALPaso 1: colocamos un 1 en el vértice
superior del triángulo.
Paso 2: después, en la fila inferior,
colocamos un 1 a la derecha y un 1 a
la izquierda del 1 de arriba.
Paso 3: en la inferior colocamos un 1
a cada extremo y entre los dos unos
colocamos un 2 (1 + 1).
Paso 3: en la inferior un 1 en cada
extremo y en medio un 3 entre el 1 y
el 2 (1 + 2) y otro 3 entre el 2 y el 1
(2 + 1).
Y así sucesivamente: en los extremos
un 1 a cada lado y en las posiciones
intermedias colocamos la suma de los
números de arriba.
Notas:
1. Cada línea se construye a partir de la
anterior.
2. Con excepción de los números 1, que
siempre están en los extremos, cada
número es igual a la suma de los dos
números que tiene por encima.

6. CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO DE
PASCALOtra manera de construir el triángulo
es la siguiente. Cambiamos los
números por puntos o nodos, como
se indica en la figura.
Escribimos un 1 sobre el vértice
superior, y luego, sobre cada nodo, el
número de maneras que hay para
llegar a este punto a partir del vértice
superior, moviéndonos únicamente

7. PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO
DE PASCAL
INFINITO Y
SIMÉTRICO
No tiene fin y es simétrico respecto
al eje vertical. Se puede leer
igualmente empezado por la
izquierda que por la derecha.

8. PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO
DE PASCALTRIÁNGULO DE PASCAL Y BINOMIO DE NEWTÓN
La fórmula general del llamado Binomio de Newton: (a + b)n está formada por unos
coeficientes que coinciden con la línea número n del triángulo de Pascal.
Una forma de evitar tener que calcular uno a
uno todos los coeficientes es utilizar el
Triángulo de Pascal, ya que los coeficientes de
la potencia n aparecen en la fila n+1 de dicho
triángulo.
Un ejemplo: aplicando la fórmula y la definición
de número combinatorio tendríamos:
(a + b)3 = 1·a3 + 3·a2b
+ 3·ab2 + 1·b3.
Pero hubiese sido más rápido ir a la fila 3 del
triángulo y ver que los números que aparecen
son, precisamente, los coeficientes 1, 3, 3 y 1

9. PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO
DE PASCAL
TRIÁNGULO DE PASCAL Y SUCESIÓN DE
FIBONACCILa sucesión de Fibonacci está definida por la
relación de recurrencia homogénea lineal de
segundo orden
𝑓𝑛 = 𝑓𝑛−1 +𝑓𝑛−2 𝑛 ≥ 3
sujeta a las condiciones iniciales
𝑓1 = 1, 𝑓2 = 1
Es decir, sus primeros dos elemento son el 1, y
de ahí en adelante cada elemento es la suma de
los dos anteriores.
Por tanto los primeros elementos son:

10. PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO
DE PASCAL
TRIÁNGULO DE PASCAL Y POTENCIAS DE 11.
En cada una de las filas del Triángulo de Pascal se pueden visualizar las
potencias de 1.

11. PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO
DE PASCAL
TRIÁNGULO DE PASCAL Y LAS POTENCIAS DE 2
Si sumamos los elementos de cada fila en el
Triángulo de Pascal, obtenemos las potencias de 2:
20
= 1
21 = 2
22
= 4
23
= 8
⋮

12. PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO
DE PASCAL
PATRONES DENTRO DEL TRIÁNGULO DE PASCAL
1. La primera diagonal, esta
constituida, sólo por “1”.
2. La segunda diagonal, son todos
los números consecutivos (1, 2,
3, …)
3. La tercera diagonal, son los
números triangulares (1, 3, 6, ...
)
4. La cuarta diagonal, son los
números tetraédricos (1, 4, 10,
… )

13. PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO
DE PASCAL
PATRONES EN LA SEGUNDA DIAGONAL DEL
TRIÁNGULO DE PASCALPara la segunda diagonal, el cuadrado de
un número es igual a la suma de los
números junto a él y debajo de ambos
Ejemplos:
32 = 3 + 6 = 9,
42 = 6 + 10 = 16,
52 = 10 + 15 = 25,
...

14. PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO
DE PASCAL
TRIÁNGULO DE PASCAL, Y SU RELACIÓN CON
LOS NÚMEROS PARES E IMPARES
Si coloreas los números impares y
pares, terminas con un patrón igual
que el triángulo de Sierpinski.