Este documento introduce las ecuaciones diferenciales y describe los sistemas y modelos matemáticos que se pueden representar mediante ecuaciones diferenciales. Explica que las ecuaciones diferenciales representan modelos de sistemas gobernados por leyes y principios, y que la solución de la ecuación diferencial proporciona la respuesta del sistema. También resume cuatro métodos comunes para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.

1. INTRODUCCIÓN ECUACIONES
DIFERENCIALES

2. CONTENIDO:
 LOS SISTEMAS Y LAS
ECUACIONES DIFERENCIALES.
 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE UNA
ECUACIÓN DIFERENCIAL.
 ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE
LA SOLUCIÓN.
 EJEMPLOS DE CONSTRUCCIÓN
DEL MODELO.

3. 1.1 LOS SISTEMAS Y LAS
ECUACIONES
DIFERENCIALES
 Cualquier fenómeno que sucede en las diferentes
áreas de la ingeniería, es o debe ser explicado por
alguna ley o principio que se relaciona con las leyes
fundamentales de conservación.
 A saber, son tres dichas leyes: Ley de Conservación
de Energía, Ley de Conservación de Masa y Ley de
Conservación de Impetu.
 Se puede decir que estas tres leyes forman una
unidad y son universales en el sentido de que a partir
de una de ellas se puede llegar a cualquiera de las
otras y cualquier fenómeno, es explicado por ellas.
 Así, cuando un fenómeno es explicado por una de
ellas, es fácilmente explicado por cualquiera de las
otras.

4. LOS SISTEMAS Y LAS
ECUACIONES
DIFERENCIALES…
 La Ley de Conservación de Masa establece que “En
un sistema cerrado, la cantidad de masa total es
constante”.
 Por su parte, la Ley de Conservación de Energía
establece que “En un sistema aislado, la energía se
puede transformar de una forma a otra, pero no se
puede crear ni destruir; la energía total es constante”
 Finalmente, La Ley de Conservación de Impetu
(Lineal) nos dice que “Cuando la resultante de las
fuerzas externas que actúan sobre un sistema es cero,
el ímpetu lineal total del sistema permanece
constante”.

5. LOS SISTEMAS Y LAS
ECUACIONES
DIFERENCIALES…
 Conocemos otras leyes tales como: “Leyes de Newton del
Movimiento”, “Leyes de Kirchoff”, etc., pero estas últimas,
son casos particulares de las leyes fundamentales y
precisamente por ello, explican un tipo particular de
fenómeno.
 Así, las Leyes de Newton explican los fenómenos donde
existen fuerzas y/o aceleraciones en algún cuerpo, mientras
que las Leyes de Kirchoff explican las corrientes eléctricas y
voltajes en circuitos eléctricos.
 Podemos preguntarnos acerca de otras áreas; por ejemplo,
economía, ¿Será cierto que la ley de oferta y demanda es
explicada por las leyes fundamentales mencionadas con
anterioridad? La respuesta es sí; uno puede entender las
ofertas y demandas como excesos y consumos y es
precisamente la Ley de Conservación de Masa quién nos
da una explicación.

6. LOS SISTEMAS Y LAS
ECUACIONES
DIFERENCIALES…
 En otras áreas básicas para la ingeniería tales como
matemáticas, hay problemas en los cuales podemos
hablar de otras formas de conservación y que son
igualmente válidas que las anteriores. Por ejemplo,
pensemos en un problema con ángulos, tal que si un
ángulo a es dividido en dos ángulos b y g tal como se
muestra en la figura 1, entonces una ecuación de
conservación nos dice que:
a b
g
a = b + g
Figura 1. Conservación de ángulos

7. LOS SISTEMAS Y LAS
ECUACIONES
DIFERENCIALES… Pensemos ahora en un fenómeno cualquiera y
supongamos que en él interactuan objetos,
elementos, fuerzas, excitaciones, etc. y digamos
que llamamos a esto un SISTEMA que deseamos
estudiar.
 Uno se preguntará ¿Qué significa estudiar al sistema?
Bueno, diremos que estudiar significa cuantificar y/o
determinar el valor que están tomando los elementos
del sistema. Más importante aún, podriamos
preguntarnos cómo está respondiendo el sistema ante
un agente excitador externo.
 La figura 2 nos muestra graficamente lo anterior:
Sistema
Agente Externo o
Excitación
Respuesta del
Sistema
Figura 2. Sistema, excitación y respuesta

8. LOS SISTEMAS Y LAS
ECUACIONES
DIFERENCIALES…
 Para responder las preguntas anteriores necesitamos
asociar variables a los elementos del sistema y
posteriormente determinar el valor de esas variables
por medio de principios que nos digan cómo se
relacionan estas variables.
 Es en este momento en el que las leyes particulares
juegan su papel indicándonos estas relaciones. Con
ellas generamos un modelo matemático del
sistema a estudiar, de tal forma que si en este
modelo aparecen derivadas, lo llamamos
ECUACIÓN DIFERENCIAL.
 A manera esquemática, en la figura 3 se describe lo
anterior:

9. LOS SISTEMAS Y LAS
ECUACIONES
DIFERENCIALES…LEYES DE CONSERVACION
LEY PARTICULAR
Sistema
Agente
Externo o
Excitación
Respuesta
del
Sistema
OTRAS LEYES
Otro
sistema
Agente
Externo o
Excitación
Respuesta
del
Sistema
Modelo matemático para la descripción
de las variables del sistema
ECUACIÓN DIFERENCIAL
Figura 3. Generación de la ecuación diferencial del sistema

10. LOS SISTEMAS Y LAS
ECUACIONES
DIFERENCIALES…
 Por lo anterior, decimos entonces que
una ecuación diferencial es un
modelo matemático de un sistema
gobernado bajo ciertas leyes y/o
principios, que puede estar siendo
excitado y del cual nos interesa
saber cómo responde ante dicha
excitación.

11. LOS SISTEMAS Y LAS
ECUACIONES
DIFERENCIALES…
 Analizando detenidamente los conceptos anteriores,
vemos que la ecuación diferencial no será otra cosa
más que una ecuación de conservación, en donde los
elementos del sistema que consumen energía estarán
representados en un lado de la ecuación y aquellos
que dán la energía, estarán en el otro lado. Así, el
agente externo que se muestra en la figura 3 anterior,
deberá estar representado como aquellos que dan la
energía.
 Para el caso del problema de los ángulos, el ángulo a
es el que jugará el papel de dar la energía.

12. LOS SISTEMAS Y LAS
ECUACIONES
DIFERENCIALES…
Sistema
Agente Externo o
Excitación = R(x)
Respuesta del
Sistema
MODELO MATEMÁTICO DEL SISTEMA
ECUACIÓN DIFERENCIAL
ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN
CONSUMOS DE ENERGIA = FUENTES DE ENERGIA
CONSUMOS DE ENERGIA = R(x)
Figura 4. Significado de una ecuación diferencial

13. LOS SISTEMAS Y LAS
ECUACIONES
DIFERENCIALES…
 Llegamos al punto en que finalmente sabemos que
todo tiene una relación: Las leyes nos sirven para
obtener el modelo matemático, este modelo
matemático es una ecuación diferencial y representa
una ecuación de conservación en donde los consumos
se darán por los elementos del sistema, mientras que
las fuentes de energía serán los términos externos
que excitan al sistema.
 En este momento surge la pregunta, ¿Cómo vamos a
obtener la respuesta del sistema? Pues bien, la
respuesta del sistema corresponderá a la solución
la ecuación diferencial. Así que para responder
nuestras preguntas sobre el sistema, debemos
resolver la ecuación diferencial.

14. LOS SISTEMAS Y LAS
ECUACIONES
DIFERENCIALES…
RESPUESTA DEL
SISTEMA
SOLUCION DE LA ECUACIÓN
DIFERENCIAL
Figura 5. Respuesta del sistema y la solución
de la ecuación diferencial

15. LOS SISTEMAS Y LAS
ECUACIONES
DIFERENCIALES…
 Algunos ejemplos de ecuaciones
diferenciales con solución se
muestran en la siguiente tabla :
32' += xy xxxy 3)( 2
+=
,
43)( 2
++= xxxy
t
e
dt
dx
dt
xd
= 42
2
tt
eeCCtx
3
1
)( 4
21 +=
    07227 =+++  drdrr Crr =++ 22
7  17 22
=++ rr
Ecuación Diferencial Alguna(s) solución(es) de la ecuación diferencial

16. LOS SISTEMAS Y LAS
ECUACIONES
DIFERENCIALES…
 Es obvio que parte de nuestro propósito
será encontrar dicha solución o varias
soluciones, pero por lo pronto, pensemos
un poco en términos matemáticos y
tratemos de responder a la siguiente
pregunta, ¿Cómo definimos la solución de
una ecuación diferencial? o ¿Cómo saber si
una función es solución de una ecuación
diferencial?

17. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE
UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
 En este curso nos centraremos exclusivamente en
sistemas que se modelan matemáticamente por una
ecuación diferencial ordinaria.
 Estas ecuaciones diferenciales se llaman así porque
las derivadas que ahí aparecen son con respecto a
una sola variable independiente.
 Veremos cuatro grandes métodos para resolver este
tipo de ecuaciones diferenciales, los cuales son:
1. Métodos con procesos de integración
2. Método de series de potencias alrededor de puntos
ordinarios.
3. Método de la transformada de Laplace.
4. Métodos numéricos.

18. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE
UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL…
 El primero de estos métodos involucra integrales en
su procedimiento para obtener la solución de la
ecuación diferencial.
 Por su parte, el método de series de potencias exige
el desarrollo en series de potencias de los términos
que componen a la ecuación diferencial.
 En lo que respecta al método de la transformada de
Laplace, una ecuación diferencial ordinaria será
transformada mediante ciertas propiedades, a una
ecuación algebráica y resuelta mediante un
procedimiento inverso.
 Para terminar, los métodos numéricos nos serán de
ayuda para obtener soluciones aproximadas de una
ecuación diferencial.

19. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE
UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL…
 Cabe hacernos la pregunta ¿Cuál es la
diferencia entre los métodos anteriores? o
¿Cómo vamos a saber cuál de los métodos
usar?
 La respuesta no es tan simple ya que todos
los métodos que mencionamos
anteriormente pueden resolver alguna
ecuación diferencial específica, pero como
veremos más adelante, existen ecuaciones
diferenciales que solamente pueden ser
resueltas por uno de ellos.

20. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE
UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL…
 Por ejemplo, sabemos que en muchos casos las funciones
deben ser continuas en un intervalo para que exista su
integral ahí, entonces los métodos con procesos de
integración son más apropiados para ecuaciones diferenciales
donde el término excitador R(x) sea una función continua.
 El método de series de potencias es adecuado para funciones
continuas y que no tan fácilmente sean integrables.
 Por su parte, el método de la transformada de Laplace es
ideal para funciones seccionalmente continuas y/o periódicas.
Este tipo de funciones es ampliamanete utilizado en materias
como electrónica, circuitos eléctricos y señales entre otras,
aunque pueden ser de gran utilidad en otras materias.
 En los métodos numéricos no tenemos problemas de este
tipo, ya que generalmente basta que las funciones puedan ser
evaluadas en algún punto específico y mediante una
aproximación de las derivadas se puede encontrar la solución
de forma numérica aproximada.

21. ANALISIS E INTERPRETACION
DE LA SOLUCION
 Una vez que la solución de la ecuación diferencial ha sido
obtenida, debemos continuar con un análisis para verificar
que la variable de respuesta satisface las condiciones del
sistema. Este punto es de suma importancia porque
estaremos validando que la respuesta que se obtuvo
concuerda con las características que el sistema mismo
tiene establecidas.
 Si los procesos de solución de la ecuación diferencial se
llevaron a cabo de una forma correcta, entonces la solución
de la misma es una forma determinística para encontrar el
valor de la variable de respuesta dado el valor de la variable
independiente. Así, la solución que se obtiene será válida
para todo punto de la variable independiente.

22. EJEMPLOS DE
CONSTRUCCIÓN DEL MODELO
 Supongamos que tenemos un sistema en donde un cuerpo
formado por un paracaidista y su paracaídas, caen desde
una cierta altura h. Digamos además que iniciaron su
descenso con una velocidad inicial Vo y que en este
descenso, existe una fuerza de fricción donde k es una
constante de proporcionalidad y v es la velocidad que lleva
en cualquier momento. Nuestro interés es determinar la
velocidad para cualquier tiempo considerando a m y w
como la masa y peso del sistema.
Para obtener el correspondiente modelo
matemático del sistema, debemos aplicar la
segunda ley de Newton . En tal caso, debemos
considerar las fuerzas que actúan sobre el
cuerpo.
fr = kv
w = mg
1

23. EJEMPLOS DE
CONSTRUCCIÓN DEL
MODELO…
 Al considerar la aceleración en y como
y tomando como positivas las fuerzas que actúan hacia
abajo, la ecuación diferencial queda determinada como
sigue:
(1.1)
(1.2)
(1.3)
 También se puede reescribir la ecuación anterior en
términos de la altura y,
(1.4)
dt
dv
ay =
yr mafmg =
dt
dv
mkvmg =
mgkv
dt
dv
m =+
mg
dt
dy
k
dt
yd
m =+2
2
1

24. EJEMPLOS DE
CONSTRUCCIÓN DEL
MODELO…
 Cualquiera de las cuatro ecuaciones anteriores representan
exactamente lo mismo. Es un balance de fuerzas y lo que
nos indican es que la fuerza correspondiente al peso, es
equivalente a la fuerza de fricción más el cambio en el
ímpetu del cuerpo . Observe cómo en este sistema el peso
es el responsable de que el sistema caiga y es en este
sentido que el peso actúa como agente externo dando la
energía para que el sistema “funcione”.
1

25. EJEMPLOS DE
CONSTRUCCIÓN DEL
MODELO…
 Como buenos previsores que somos, hemos decidido tener
un ahorro por lo que vamos a un banco cualquiera llevando
nuestro dinero. Por todos nosotros es sabido que hay una
cierta tasa de interés, sea k esta tasa y sea D la cantidad de
dinero, la razón de crecimiento o la forma en que nuestra
cantidad de dinero crece, es proporcional a la cantidad
misma que tengamos en cada instante.
2

26. EJEMPLOS DE
CONSTRUCCIÓN DEL
MODELO…
 En términos matemáticos, la explicación anterior queda
descrita por la siguiente ecuación diferencial en donde k es
la tasa de interés compuesto (continuamente):
(2.1)
(2.2)
 La explicación de los términos es simple y sencilla: el
aumento en nuestro dinero es lo que se nos da de
intereses. En general, ecuaciones diferenciales como estas
se obtienen cuando tratamos sistemas con poblaciones en
donde una población puede ser de personas, dinero,
cantidad de material, etc.
2
kD
dt
dD
=
0= kD
dt
dD

27. EJEMPLOS DE
CONSTRUCCIÓN DEL
MODELO…
 Analicemos ahora el siguiente sistema donde tenemos
un tanque inicialmente lleno con agua limpia y sea
V = Volumen inicial de agua.
 Suponga que a continuación agregamos K
kilos por litro de un cierto soluto S a una razón de M
litros por segundo y al mismo tiempo, abrimos la llave de
salida para que salgan M litros por segundo de la mezcla
que se supone es homogénea. ¿Qué cantidad de soluto
S habrá en cualquier instante en el tanque?
3
seg
lt
M
lt
kg
K ,
seg
lt
M
lt
kg
V
S
,

28. EJEMPLOS DE
CONSTRUCCIÓN DEL
MODELO…
 Conforme se va agregando soluto al tanque, la cantidad
que existe en cualquier momento es variable por lo que
la hemos llamado S. Ahora, esta variable va creciendo
en valor debido a estamos agregando una cierta
cantidad aún y cuando estamos permitiendo que salga
líquido.
 El párrafo anterior nos ha dado una explicación sobre
cómo obtener el modelo matemático de este sistema. A
saber, este modelo debe formarse de la siguiente forma:
3

29. EJEMPLOS DE
CONSTRUCCIÓN DEL
MODELO…
Razón de acumulación =
Razón de entrada – Razón de salida (3.1)
(3.2)
(3.3)
 Estas ecuaciones representan una aplicación de la ley de
conservación de masa.
3
M
V
S
KM
dt
dS
=
KMM
V
S
dt
dS
=+