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Herramientas básicas de análisis
 También se les conoce como herramientas de
calidad, de estadística, de administración, de la
mejora contínua, etc.
 La lista de chequeo (verificación) - Checklist
 Pareto
 Histograma
 Gráfica de corrida - Run Chart
 Diagrama de Correlación - Scattergram
 Diagrama de Control
 Diagrama de Ishikawa
Las 7 Herramientas Básicas
Análisis Identificación
Hoja de
verificación
Estratificación
Diagrama de
dispersión
Histograma
Diagrama
causa-efecto
Gráfica de
control
Pareto
Clasificación de las herramientas básicas en función de su
empleo, en la identificación y análisis de problemas
Utilización de las 7Hs
Las Siete Herramientas Básicas, a pesar de su
antigüedad, siguen siendo el conjunto de técnicas
estadísticas de mayor uso
Las 7HB tienen como propósitos los siguientes:
• Organizar datos numéricos.
• Facilitar la planeación a través de herramientas
efectivas.
• Mejorar el proceso de toma de decisiones.
¿En dónde utilizar las
herramientas?
Objetivo Herramienta
Descubrir qué problema
será tratado primero
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describa el problema en
términos de qué, cómo,
cuándo, dónde, quiénes, etc.
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completo de todas las
posibles causas
Diagrama de flujo
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Puntos a considerar en el
procesamiento de datos
1.- No obtener cantidad sino calidad en la información.
2.- La recolección y uso adecuado de los datos reduce un gran
medida conflictos interpersonales que tienen lugar en los grupos.
3.- Tener datos equivocados puede ser peor que no tenerlos.
4.- Los datos deben obtenerse consistentemente.
5.- Cada documento de recolección y síntesis de datos deberán ser
identificado.
6.- No hacerlo más complicado de lo necesario. Utilizar la
herramienta apropiada más simple.
7.- No complicar los gráficos. Mantenerlos simples y claros de
tal forma que el mensaje sea sencillo al observador.
8.- No interpretar a ciega los gráficos de la misma manera en
situaciones diferentes.Usemos el sentido común.
9.- No sesgarlos resultados por el método de muestreo. Tratar
de obtener muestras tan aleatorias como sea posible.
10.- No recolectar, ni demasiado ni muy pocos datos. No
recolectar datos cada semana cuando se necesitan es de un sólo día
y viceversa.
Puntos a considerar en el
procesamiento de datos
Checklist
• ¿Qué es?
– La hoja de verificación es una forma que se usa para
registrar la información en el momento en que se está
recabando.
– Esta forma puede consistir de una tabla o gráfica, donde
se registre, analice y presente resultados de una manera
sencilla y directa.
Checklist
• ¿Para qué sirven?
– Proporciona un medio para registrar de manera
eficiente los datos que servirán de base para
subsecuentes análisis.
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los cambios en el tiempo.
– Facilita el inicio del pensamiento estadístico.
– Ayuda a traducir las opiniones en hechos y datos.
– Se puede usar para confirmar las normas establecidas.
Ejemplos de Checklist
X
X
HOJA DE
LOCALIZACION
Responsable:
Fecha:
Comentarios:
09/IV/91 Gloria de la Garza
Madera rayada
Vidrio despostillado
Comedor Firenze
TIPO DE
ERROR
FEB ABR
MAR
cargo
diferido
cargo
erróneo
dirección
equivocada
nombre/
dirección mal
tecleados
///
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/
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////
//
/
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///
///
//
////
////
Total
Total 6 9 13 10
11
12
10
5
Período:
Lugar:
ENE
Ene-Abr, 1991
Zona Noreste
JCP
Estados de cuenta
Diagrama de Pareto
El Diagrama de Pareto es una gráfica de barras que
ilustran las causas de los problemas por orden de
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costo o actuación.
El Diagrama de Pareto permite además comparar la
frecuencia, costo y actuación de varias categorías de un
problema.
A: Termocreto
B: Filtralite
C: Productos
secundarios
D: Hortipel
E: Bituperl
F: Termoplast
G: Termosil
0
2
4
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12
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A B C D E F G
0
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40
60
80
100
Producción de Perlita expandida por
producto(en millones de litros)
%
de
producción
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Diagrama de Pareto
• Las causas/categorías de un problema puedan
cuantificarse.
• Un equipo de trabajo necesite identificar las
causas/categorías más significativas de un problema.
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causas trabajará primero.
¿Cuándo implantar el
Diagrama de Pareto?
 Derechos Reservados, 1999
• Canaliza los esfuerzos hacia los 'pocos vitales'.
• Ayuda a priorizar y a señalar la importancia de cada una
de las áreas de oportunidad.
• Es el primer paso para la realización de mejoras.
• Se aplica en todas las situaciones en donde se pretende efectuar
una mejora, en cualquiera de los componentes de la Calidad Total:
la calidad del producto/servicio, costos,entrega, seguridad, y
moral.
Ventajas del Diagrama de Pareto
Diagrama de Pareto
Permite la comparación antes/después, ayudando a cuantificar el
impacto de las acciones tomadas para lograr mejoras.
Promueve el trabajo en equipo ya que se requiere la
participación de todos los individuos relacionados con el área para
analizar el problema, obtener información y llevar a cabo acciones para
su solución.
El Diagrama de Pareto se utiliza también para expresar los costos que
significan cada tipo de defecto y los ahorros logrados mediante el efecto
correctivo llevado a cabo a través de determinadas acciones.
Histograma
Un histograma es una descripción gráfica de los valores medidos
individuales de un paquete de información y que está organizado de
acuerdo a la frecuencia o relativa frecuencia de ocurrencia.
Los histogramas ilustran la forma de la distribución de
valores individuales en un paquete de datos en conjunción
con la información referente al promedio y variación.
• Desplegar la distribución de datos en barras, graficando el
número de unidades de cada categoría.
• Adentrarse en la naturaleza de la variación del proceso
(por ejemplo, determinar si sólo una variación está presente).
¿Cuándo implantarlo?
La forma de un histograma depende de la distribución de
las frecuencias absolutas de los datos. Algunas de las
formas más comunes que puede adoptar un histograma
son las siguientes:
Histograma
Diagrama de
Correlación
• Proporciona la posibilidad de reconocer relaciones
Causa/Efecto.
• Hace fácil el reconocimiento de correlaciones.
• Ayuda a determinar relaciones dinámicas o estáticas (de
mediciones).
• Indica si dos variables (factores o características de
calidad) están relacionados.
X
Y
Esta técnica explora la relación entre una
variable y una respuesta para probar la teoría
de que una variable puede influir en la forma
en que una respuesta cambia.
X
Y
Un diagrama de correlación muestra la relación entre dos factores
cambiantes. Mientras un factor aumenta su valor, el otro factor
disminuye, aumenta o simplemente muestra un cambio. Una relación
sólo puede ser descubierta mediante la comprensión del proceso y la
experimentación diseñada.
¿Para qué sirve el
diagrama de correlación?
¿Cuándo implantarlo?
Diagrama de
Control
Proporciona un método estadístico adecuado para distinguir entre causas
de variación comunes o especiales mostradas por los procesos.
Promueve la participación directa de los empleados en el logro de la
calidad.
Sirve como una herramienta de detección de problemas.
Diagrama que sirve para examinar si un proceso se
encuentra en una condición estable, o para indicar que el
proceso se mantiene en una condición inestable.
LSC
LIC
LC
Tiempo
Lectura
¿Para qué sirve?
p Porcentaje de unidades, trabajos defectuosos
np Número de unidades, trabajos defectuosos
c Número de defectos por unidad,
u Proporción de defectos por unidad
~
TIPOS DE GRAFICAS DE CONTROL
Para las variables:
Para los atributos:
X - R Promedios y rangos
X - S Promedios y desviación estándar
X - R Medianas y rangos
X - R Lecturas individuales
Subgrupos
Se relaciona estrechamente con la
determinación de los límites de control
Se dice que un proceso está bajo
control, cuando no muestra ninguna
tendencia, comportamiento anormal y,
además, ningún punto sale fuera de los
límites, si se trata de menos de 35
muestras.
GRAFICAS DE CONTROL
Corrida
Adhesión de los puntos a los límites de control
Criterios de fuera
de control
1. Agrupamiento.
2. Cambio gradual de nivel.
3. Cambio repentino de nivel.
4. Cambio sistemático.
5. Ciclos.
6. Estratificación.
7. Inestabilidad.
8. Interacción.
9. Mezcla.
10. Mezcla estable.
11. Mezcla inestable.
12. Saltos o abortos.
13. Tendencias continuas.
14. Tendencias variables.
Si el patrón se vuelve predecible el patrón no
es natural y debe tener una causa asignable.
Puntos fuera de control.
Gráfica X (R debe estar bajo control):
Error en las mediciones.
Error al graficar.
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Gráfica R:
Proceso incompleto, u omitido.
Error al graficar.
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totalmente distinta.
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Envejecimiento del equipo.
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Gráfica R:
Tendencia creciente:
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Desgaste en el equipo.
Tendencia decreciente:
Curva de aprendizaje
Mantenimiento del equipo
Control de procesos en otras áreas
Diagrama de Ishikawa
Diagrama que muestra la relación sistemática
entre un resultado fijo y sus causas.
Esta herramienta es útil en la identificación de las posibles causas
de un problema, y representa las relaciones entre algunos efectos y
sus causas.
En un ambiente no-manufacturero, las categorías de causas
potenciales incluyen políticas, personal, procedimientos y planta
(las 4 P's).
¿Para qué sirve?
DIAGRAMA DE ISHIKAWA
causa
causa
causa
causa
causa
causa
Efecto
causa
causa
PRODUCTO/
SERVICIO
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3
Análisis de procesos por etapas
Diagrama para el
proceso
Análisis de variabilidad
DIAGRAMA DE ISHIKAWA
INCONFORMIDAD
DEL CLIENTE
PRODUCTO VENDIDO
Golpeado
Falta de
procedimientos
estándar de
manejo
Faltante
MANO DE OBRA
Poco
amable
Falta de
capacitación
DEMORA EN ENTREGA
Programación
de entregas
PROCEDIMIENTO
DE ENTREGA DE
MERCANCIA
Desconocidos
Incompletos
EQUIPO DE
REPARTO
Poca
capacidad en
camiones
Mantenimiento
deficiente de
camiones
Ausentismo
Exceso de
trabajo
Fechas
es peciales
(Navidad, 10
Mayo)
Rutas
inadecuadas
Inexistente
No
aplicados
Insuficiente
Elaborarlo es una labor educativa en sí misma, favorece el intercambio
de técnicas y experiencia.
Ayuda a determinar el tipo de datos a obtener con el fin de confirmar
si los factores seleccionados fueron realmente las causas del problema.
Para prevenir problemas, cuando se detectan causas potenciales de un
problema, éstas pueden prevenirse si se adoptan controles apropiados.
Muestra la habilidad profesional que posee el personal encargado del
proceso; entre más alto sea el nivel, mejor será el diagrama resultante.
DIAGRAMA DE ISHIKAWA
TIEMPO
COSTO
Area de
Oportunidad
Planeación de Mejora
Control de nivel actual
Acción
de
Mejora
Control de nuevo nivel
MEJORA
Area de
Oportunidad
Detección oportuna
de Problema esporádico
Planeación
de Mejora
S A B E R Q U E R E R
Misión
Actualización
Roles
Capacitación
Comunicación
Adiestramiento
Filosofía operacional
Actitud
Identificación
Involucración
Participación
Ambiente
Motivación
Moral
Condiciones de trabajo
H
V
A
V
A P
H
A P
H
V
P
PLANEAR
1. CLARIFICACION DELPROYECTODEMEJORA
2. DESCRIPCION DELA SITUACION ACTUAL
3. ANALISIS DELA SITUACION ACTUALY
BUSQUEDA DEALTERNATIVAS
4. DETERMINACION DEACCIONES
HACER 5. EJECUCION DEACCIONES
VERIFICAR
A
6. VERIFICACION DERESULTADOS
7. ESTANDARIZACION DEACCIONES EXITOSAS
8. RECONOCIMIENTO DELOGROS YBUSQUEDA
DENUEVAS MEJORAS
JUSTAR
• Fuenlabrada S. (2013). Probabilidad y
Estadística. México: McGraw-Hill.
• Sánchez, S. E. Insunsa (2014).
Probabilidad y estadística.
México: Patria.
• Spiegel, M. R. (2019). Estadística.
McGraw-Hill.
Referencias
Bibliográficas

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  • 2.  También se les conoce como herramientas de calidad, de estadística, de administración, de la mejora contínua, etc.  La lista de chequeo (verificación) - Checklist  Pareto  Histograma  Gráfica de corrida - Run Chart  Diagrama de Correlación - Scattergram  Diagrama de Control  Diagrama de Ishikawa Las 7 Herramientas Básicas
  • 3. Análisis Identificación Hoja de verificación Estratificación Diagrama de dispersión Histograma Diagrama causa-efecto Gráfica de control Pareto Clasificación de las herramientas básicas en función de su empleo, en la identificación y análisis de problemas Utilización de las 7Hs
  • 4. Las Siete Herramientas Básicas, a pesar de su antigüedad, siguen siendo el conjunto de técnicas estadísticas de mayor uso Las 7HB tienen como propósitos los siguientes: • Organizar datos numéricos. • Facilitar la planeación a través de herramientas efectivas. • Mejorar el proceso de toma de decisiones.
  • 5. ¿En dónde utilizar las herramientas? Objetivo Herramienta Descubrir qué problema será tratado primero (priorizar) Llegar a un punto que describa el problema en términos de qué, cómo, cuándo, dónde, quiénes, etc. y su alcance Elaborar un cuadro completo de todas las posibles causas Diagrama de flujo Hoja de inspección Gráfica de Pareto Lluvia de ideas Diagrama causa-efecto Hoja de inspección Gráfica de pareto Gráficos de desarrollo Histograma Gráfica de pastel Estratificación Hoja de inspección D. causa-efecto Lluvia de ideas
  • 6. Puntos a considerar en el procesamiento de datos 1.- No obtener cantidad sino calidad en la información. 2.- La recolección y uso adecuado de los datos reduce un gran medida conflictos interpersonales que tienen lugar en los grupos. 3.- Tener datos equivocados puede ser peor que no tenerlos. 4.- Los datos deben obtenerse consistentemente. 5.- Cada documento de recolección y síntesis de datos deberán ser identificado. 6.- No hacerlo más complicado de lo necesario. Utilizar la herramienta apropiada más simple.
  • 7. 7.- No complicar los gráficos. Mantenerlos simples y claros de tal forma que el mensaje sea sencillo al observador. 8.- No interpretar a ciega los gráficos de la misma manera en situaciones diferentes.Usemos el sentido común. 9.- No sesgarlos resultados por el método de muestreo. Tratar de obtener muestras tan aleatorias como sea posible. 10.- No recolectar, ni demasiado ni muy pocos datos. No recolectar datos cada semana cuando se necesitan es de un sólo día y viceversa. Puntos a considerar en el procesamiento de datos
  • 8. Checklist • ¿Qué es? – La hoja de verificación es una forma que se usa para registrar la información en el momento en que se está recabando. – Esta forma puede consistir de una tabla o gráfica, donde se registre, analice y presente resultados de una manera sencilla y directa.
  • 9. Checklist • ¿Para qué sirven? – Proporciona un medio para registrar de manera eficiente los datos que servirán de base para subsecuentes análisis. – Proporciona registros históricos, que ayudan a percibir los cambios en el tiempo. – Facilita el inicio del pensamiento estadístico. – Ayuda a traducir las opiniones en hechos y datos. – Se puede usar para confirmar las normas establecidas.
  • 10. Ejemplos de Checklist X X HOJA DE LOCALIZACION Responsable: Fecha: Comentarios: 09/IV/91 Gloria de la Garza Madera rayada Vidrio despostillado Comedor Firenze TIPO DE ERROR FEB ABR MAR cargo diferido cargo erróneo dirección equivocada nombre/ dirección mal tecleados /// // / /// //// // / //// /// /// // //// //// Total Total 6 9 13 10 11 12 10 5 Período: Lugar: ENE Ene-Abr, 1991 Zona Noreste JCP Estados de cuenta
  • 11. Diagrama de Pareto El Diagrama de Pareto es una gráfica de barras que ilustran las causas de los problemas por orden de importancia y frecuencia (porcentaje) de aparición, costo o actuación. El Diagrama de Pareto permite además comparar la frecuencia, costo y actuación de varias categorías de un problema.
  • 12. A: Termocreto B: Filtralite C: Productos secundarios D: Hortipel E: Bituperl F: Termoplast G: Termosil 0 2 4 6 8 10 12 14 A B C D E F G 0 20 40 60 80 100 Producción de Perlita expandida por producto(en millones de litros) % de producción Productos Diagrama de Pareto
  • 13. • Las causas/categorías de un problema puedan cuantificarse. • Un equipo de trabajo necesite identificar las causas/categorías más significativas de un problema. • Un equipo de trabajo necesite decidir sobre cuáles causas trabajará primero. ¿Cuándo implantar el Diagrama de Pareto?  Derechos Reservados, 1999
  • 14. • Canaliza los esfuerzos hacia los 'pocos vitales'. • Ayuda a priorizar y a señalar la importancia de cada una de las áreas de oportunidad. • Es el primer paso para la realización de mejoras. • Se aplica en todas las situaciones en donde se pretende efectuar una mejora, en cualquiera de los componentes de la Calidad Total: la calidad del producto/servicio, costos,entrega, seguridad, y moral. Ventajas del Diagrama de Pareto
  • 15. Diagrama de Pareto Permite la comparación antes/después, ayudando a cuantificar el impacto de las acciones tomadas para lograr mejoras. Promueve el trabajo en equipo ya que se requiere la participación de todos los individuos relacionados con el área para analizar el problema, obtener información y llevar a cabo acciones para su solución. El Diagrama de Pareto se utiliza también para expresar los costos que significan cada tipo de defecto y los ahorros logrados mediante el efecto correctivo llevado a cabo a través de determinadas acciones.
  • 16. Histograma Un histograma es una descripción gráfica de los valores medidos individuales de un paquete de información y que está organizado de acuerdo a la frecuencia o relativa frecuencia de ocurrencia. Los histogramas ilustran la forma de la distribución de valores individuales en un paquete de datos en conjunción con la información referente al promedio y variación. • Desplegar la distribución de datos en barras, graficando el número de unidades de cada categoría. • Adentrarse en la naturaleza de la variación del proceso (por ejemplo, determinar si sólo una variación está presente). ¿Cuándo implantarlo?
  • 17. La forma de un histograma depende de la distribución de las frecuencias absolutas de los datos. Algunas de las formas más comunes que puede adoptar un histograma son las siguientes: Histograma
  • 18. Diagrama de Correlación • Proporciona la posibilidad de reconocer relaciones Causa/Efecto. • Hace fácil el reconocimiento de correlaciones. • Ayuda a determinar relaciones dinámicas o estáticas (de mediciones). • Indica si dos variables (factores o características de calidad) están relacionados. X Y
  • 19. Esta técnica explora la relación entre una variable y una respuesta para probar la teoría de que una variable puede influir en la forma en que una respuesta cambia. X Y Un diagrama de correlación muestra la relación entre dos factores cambiantes. Mientras un factor aumenta su valor, el otro factor disminuye, aumenta o simplemente muestra un cambio. Una relación sólo puede ser descubierta mediante la comprensión del proceso y la experimentación diseñada. ¿Para qué sirve el diagrama de correlación? ¿Cuándo implantarlo?
  • 20. Diagrama de Control Proporciona un método estadístico adecuado para distinguir entre causas de variación comunes o especiales mostradas por los procesos. Promueve la participación directa de los empleados en el logro de la calidad. Sirve como una herramienta de detección de problemas. Diagrama que sirve para examinar si un proceso se encuentra en una condición estable, o para indicar que el proceso se mantiene en una condición inestable. LSC LIC LC Tiempo Lectura ¿Para qué sirve?
  • 21. p Porcentaje de unidades, trabajos defectuosos np Número de unidades, trabajos defectuosos c Número de defectos por unidad, u Proporción de defectos por unidad ~ TIPOS DE GRAFICAS DE CONTROL Para las variables: Para los atributos: X - R Promedios y rangos X - S Promedios y desviación estándar X - R Medianas y rangos X - R Lecturas individuales
  • 22. Subgrupos Se relaciona estrechamente con la determinación de los límites de control Se dice que un proceso está bajo control, cuando no muestra ninguna tendencia, comportamiento anormal y, además, ningún punto sale fuera de los límites, si se trata de menos de 35 muestras. GRAFICAS DE CONTROL
  • 23. Corrida Adhesión de los puntos a los límites de control
  • 24. Criterios de fuera de control 1. Agrupamiento. 2. Cambio gradual de nivel. 3. Cambio repentino de nivel. 4. Cambio sistemático. 5. Ciclos. 6. Estratificación. 7. Inestabilidad. 8. Interacción. 9. Mezcla. 10. Mezcla estable. 11. Mezcla inestable. 12. Saltos o abortos. 13. Tendencias continuas. 14. Tendencias variables. Si el patrón se vuelve predecible el patrón no es natural y debe tener una causa asignable.
  • 25. Puntos fuera de control. Gráfica X (R debe estar bajo control): Error en las mediciones. Error al graficar. Cambio de escala. Proceso incompleto, u omitido. Gráfica R: Proceso incompleto, u omitido. Error al graficar. Error de operación (restar). Error de medida. Gráfica p: Variación en el tamaño muestral. Toma de muestras de una distribución totalmente distinta.
  • 26. Tendencias continuas Gráfica X: Deterioro en los instrumentos de medición Envejecimiento del equipo. Cambios estacionales (humedad, lluvia) Variables humanas. Fatiga del empleado. Cambio gradual de estándares. Cambio gradual de los lotes. Gráfica R: Tendencia creciente: Material desgastándose gradualmente. Desgaste en el equipo. Tendencia decreciente: Curva de aprendizaje Mantenimiento del equipo Control de procesos en otras áreas
  • 27. Diagrama de Ishikawa Diagrama que muestra la relación sistemática entre un resultado fijo y sus causas. Esta herramienta es útil en la identificación de las posibles causas de un problema, y representa las relaciones entre algunos efectos y sus causas. En un ambiente no-manufacturero, las categorías de causas potenciales incluyen políticas, personal, procedimientos y planta (las 4 P's). ¿Para qué sirve?
  • 28. DIAGRAMA DE ISHIKAWA causa causa causa causa causa causa Efecto causa causa PRODUCTO/ SERVICIO Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Análisis de procesos por etapas Diagrama para el proceso Análisis de variabilidad
  • 29. DIAGRAMA DE ISHIKAWA INCONFORMIDAD DEL CLIENTE PRODUCTO VENDIDO Golpeado Falta de procedimientos estándar de manejo Faltante MANO DE OBRA Poco amable Falta de capacitación DEMORA EN ENTREGA Programación de entregas PROCEDIMIENTO DE ENTREGA DE MERCANCIA Desconocidos Incompletos EQUIPO DE REPARTO Poca capacidad en camiones Mantenimiento deficiente de camiones Ausentismo Exceso de trabajo Fechas es peciales (Navidad, 10 Mayo) Rutas inadecuadas Inexistente No aplicados Insuficiente
  • 30. Elaborarlo es una labor educativa en sí misma, favorece el intercambio de técnicas y experiencia. Ayuda a determinar el tipo de datos a obtener con el fin de confirmar si los factores seleccionados fueron realmente las causas del problema. Para prevenir problemas, cuando se detectan causas potenciales de un problema, éstas pueden prevenirse si se adoptan controles apropiados. Muestra la habilidad profesional que posee el personal encargado del proceso; entre más alto sea el nivel, mejor será el diagrama resultante. DIAGRAMA DE ISHIKAWA
  • 31. TIEMPO COSTO Area de Oportunidad Planeación de Mejora Control de nivel actual Acción de Mejora Control de nuevo nivel MEJORA Area de Oportunidad Detección oportuna de Problema esporádico Planeación de Mejora S A B E R Q U E R E R Misión Actualización Roles Capacitación Comunicación Adiestramiento Filosofía operacional Actitud Identificación Involucración Participación Ambiente Motivación Moral Condiciones de trabajo
  • 32. H V A V A P H A P H V P PLANEAR 1. CLARIFICACION DELPROYECTODEMEJORA 2. DESCRIPCION DELA SITUACION ACTUAL 3. ANALISIS DELA SITUACION ACTUALY BUSQUEDA DEALTERNATIVAS 4. DETERMINACION DEACCIONES HACER 5. EJECUCION DEACCIONES VERIFICAR A 6. VERIFICACION DERESULTADOS 7. ESTANDARIZACION DEACCIONES EXITOSAS 8. RECONOCIMIENTO DELOGROS YBUSQUEDA DENUEVAS MEJORAS JUSTAR
  • 33. • Fuenlabrada S. (2013). Probabilidad y Estadística. México: McGraw-Hill. • Sánchez, S. E. Insunsa (2014). Probabilidad y estadística. México: Patria. • Spiegel, M. R. (2019). Estadística. McGraw-Hill. Referencias Bibliográficas