Este documento describe la simulación del flujo de gases en un reactor de plasma con un obstáculo mediante la resolución numérica de las ecuaciones de Navier-Stokes estacionarias en 2D. Los resultados muestran que colocar el portamuestras a la misma altura que la entrada de gases produce una mejor distribución del flujo y su interacción con el plasma, evitando la aparición de vórtices. El número de Reynolds también es importante, pues valores bajos garantizan la ausencia de remolinos. Finalmente, la programación paralela reduce signific

1. SIMULACIÓN DEL FLUJO DE GASES EN UN REACTOR DE PLASMA CON UN OBSTÁCULO RECURRIENDO A
LA RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE NAVIER-STOKES ESTACIONARIAS EN 2D
J. García Molleja1*, F. J. López-Alcaraz2 y J. N. Feugeas1
1 Institutode Física Rosario (CONICET-Universidad Nacional de Rosario), Bvrd. 27 de Febrero 210 Bis (S2000EZP) Rosario, Argentina
2 Instituto de Ciencia de Materiales de Sevilla (CSIC), Av. Américo Vespucio 49 (41092) Isla de la Cartuja, Sevilla, España
* (e-mail: garciamolleja@ifir-conicet.edu.ar)
RESUMEN
El tratamiento superficial de materiales mediante plasmas es una técnica de gran versatilidad e interés industrial debido a su bajo coste y a la facilidad de realización. Sin embargo, los procesos que desencadenan los mecanismos de
deposición así como la cinética del propio plasma no han sido debidamente comprendidos, ya que un análisis desde los primeros principios se hace muy complicado.
Como la cinética del plasma y su consecuente empleo como técnica de deposición depende en gran medida de los factores externos [1], tales como la forma del reactor y el flujo de gas de trabajo, se ha simulado el comportamiento del
gas en el reactor con un obstáculo mediante la resolución en paralelo de las ecuaciones estacionarias de Navier-Stokes bidimensionales usando el método numérico de Red-Black con sobre-relajación. De esta manera se observa la
posible aparición de vórtices que desmejoren la distribución del gas y su interacción con el plasma formado.
En nuestro caso el obstáculo será el porta muestras, el cual colocaremos por encima, en la misma altura y por debajo de la entrada de gases para determinar la corriente y la velocidad del gas que se origina a su alrededor, para concluir
qué condición es la óptima para una buena deposición de materiales con el plasma.
EXPERIMENTO
PLANTEAMIENTO DE LAS ECUACIONES RESULTADOS
Las ecuaciones de Navier-Stokes constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales que suponen la realización
matemática de la conservación de la cantidad de movimiento [2]
∂
∂
+ ( •∇ ) =−
ρ
∇ + ν∇
En donde se relaciona la distribución de velocidades del fluido con el tensor de presiones P, la densidad del medio
ρ y la viscosidad cinemática del fluido ν Sin embargo, esta ecuación no admite solución, por lo que se une a ésta
la conocida ecuación de continuidad (que indica físicamente la conservación de la masa) para formar un sistema
de ecuaciones resoluble.
∂ρ
+∇ =
∂ Figura 2. Simulaciones de la corriente (izquierda) y de la velocidad (derecha) con una tolerancia ε = 0,01, Re = 1 y α = 1,7.
Los resultados coinciden con las simulaciones realizadas con Re = 40 y Re = 70.
Para resolver completamente el sistema debemos realizar más hipótesis. De esta manera la solución obtenida
no será de tipo paramétrico. Por consiguiente, las suposiciones con las que trabajaremos serán:
•El tensor de presiones será una magnitud escalar.
•El fluido es newtoniano, por lo que la viscosidad dinámica µ es constante e independiente del espacio.
•El fluido es homogéneo, por lo que la densidad de masa ρ es constante en el tiempo.
Tras estas suposiciones podemos expandir el sistema según los ejes del plano. Llamando u a vx y v a vy
obtenemos un sistema de tres ecuaciones (dos que provienen de la de Navier-Stokes y otra de la de
continuidad), en el cual podemos definir dos funciones auxiliares, conocidas como Ψ, que es la función corriente
y ω, que es la función vorticidad, expresadas mediante:
∂Ψ ∂Ψ ∂ ∂
= =− ω= −
∂ ∂ ∂ ∂
Figura 3. Simulación de la corriente (izquierda) y de la velocidad (derecha) realizadas con ε = 0,01, Re = 40 y α = 1,7. Este
Con estas definiciones el sistema de ecuaciones es susceptible de ser discretizado para poder utilizarse resultado coincide con el obtenido usando Re = 1, pero con Re = 70 se observan vórtices en la parte superior.
computacionalmente, en donde queda definido el número de Reynolds, Re, el cual nos indicará en qué régimen se
encuentra el flujo de gas.
∇ Ψ =ω
∂Ψ ∂ω ∂Ψ ∂ω
∇ω= −
∂ ∂ ∂ ∂
DISCRETIZACIÓN DEL PROBLEMA
Para obtener una solución estacionaria mediante la simulación, el recinto debe ser discretizado de tal manera que
el tamaño de paso sea idéntico en ambas direcciones, por lo que se convierte el sistema de ecuaciones
diferenciales en un sistema de ecuaciones, siendo las incógnitas los valores de la función corriente y la vorticidad
en cada uno de los nodos [3]. Para hacer esta conversión se utiliza: Figura 4. Simulación de la corriente (izquierda) y de la velocidad (derecha) usando ε = 0,01, Re = 70 y α = 1,6. El resto de
simulaciones conseguidas con Re = 1 y Re = 40 no presentan vórtices, aunque las líneas rodean al porta muestras
•La fórmula de los cinco puntos para el laplaciano, y
provocando un flujo inestable que podría convertirse en turbulento.
•Una fórmula centrada de primer orden para las derivadas parciales.
Éstas se implementarán en el método de Jacobi en su variante de Red-Black (en la que primero se actualizan los CÁLCULO EN PARALELO
puntos cuyos índices suman par –nodos rojos- y después los de suma de índices impar –nodos negros-). El
parámetro α de sobre-relajación permite que el método alcance los valores de tolerancia impuestos con mayor
celeridad, ahorrando tiempo de cálculo. Tiempo (s) Re = 1 Re = 40 Re = 70
Se llevan a cabo mediciones de tiempo
Secuencial 52,529 50,334 49,141 para los tres números de Reynolds
Parámetros de simulación: 1 Procesador 54,491 52,206 51,512 usando N = 400 y α = 1,0. A título
•La cantidad de nodos interiores ha de ser múltiplo de 16. comparativo se toma el tiempo tanto en
2 Procesadores 42,591 40,402 39,597
la simulación en secuencial como en
•El tamaño de paso en ambas direcciones es h = 1/(N + 1). 4 Procesadores 35,130 33,321 33,541 paralelo usando 1, 2 y 4 procesadores.
•Las tres posiciones del porta muestras poseen el vértice
inferior izquierdo en: a) ABAJO (11/16, 8/16), b) IGUAL
NIVEL (11/16, 11/16) y c) ARRIBA (11/16, 13/16). La ganancia en velocidad se determina
•La colocación del sumidero y el porta muestras tan dividiendo el tiempo obtenido en el cálculo Ganancia Re = 1 Re = 40 Re = 70
cercanos a la fuente se debe a una adaptación al reactor secuencial con el tiempo empleado en la
simulación en paralelo. Se ve que en S1 0,964 0,964 0,954
de plasma experimental.
paralelo se hacen los cálculos con más S2 1,233 1,246 1,241
•La corriente en las fronteras y el porta muestras es Ψ = 0, celeridad, excepto con 1 procesador (hay
excepto en la frontera que une de manera más próxima a la S4 1,495 1,511 1,465
demoras por comunicarse con él mismo).
fuente y el sumidero, que vale Ψ = 1/16. La condición de la
fuente es Ψ = -y + 12/16 y del sumidero es Ψ = x – 11/16.
La eficiencia es la ganancia en velocidad
•No son necesarias las condiciones de contorno de ω desde Eficiencia Re = 1 Re = 40 Re = 70 dividida por el número de procesadores
Figura 1. Dimensiones del recinto y del porta
muestras. Localización de la fuente (en el eje y)
el punto de vista físico, aunque sí desde el numérico. empleados. De esta manera no se toma en
η1 0,964 0,964 0,954
y el sumidero (en el eje x), ambas de anchura •Los cálculos se llevan a cabo mediante FORTRAN 90 [4], cuenta el tiempo de retardo en la comunicación
1/16. η2 0,617 0,623 0,621 entre procesadores, por lo que es un indicador
recurriendo a directivas !HPF$ para distribuir por bloques los
datos entre cuatro procesadores paralelos [3]. η4 0,374 0,378 0,366 de la bondad del código.
DISCUSIÓN DE RESULTADOS
Agradecimientos
Las ecuaciones de Navier-Stokes son el mejor método para analizar el comportamiento de fluidos ante obstáculos, si bien no está resuelto el problema de su Los autores quieren agradecer a la Agencia Nacional de Promoción Científica y Tecnológica y al Consejo
estabilidad. Existen artículos centrados en un estudio estadístico de las condiciones experimentales [5] para determinar qué valores de los parámetros son los Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (Argentina), así como al Centro Superior de
adecuados para una mejor deposición de AlN [6]. Sin embargo, no se analiza la forma de la cámara ni el comportamiento del fluido que ingresa. En este póster se Investigaciones Científicas (España). También merece nuestro agradecimiento el Instituto de Física Rosario,
el Lic. Leonardo Rico por las ideas de diseño y el Grupo de Simulación Numérica de la Universidad de
determina mediante simulación que la localización del porta muestras con respecto la entrada de gases juega un importante papel. La mejor condición se alcanza Córdoba (España) por el acceso a los procesadores en el clúster Beowulf de ocho servidores doble Intel
cuando están al mismo nivel, ya que si el porta muestras lo colocamos debajo pueden aparecer vórtices que entren en conflicto con la cinética del plasma y si queda por Xeon a 3,2 GHz y 2 Gb de RAM cada uno. Por último, agradecemos los estímulos, los consejos y las
encima no llegará gas con los átomos reactivos. También es importante el número de Reynolds, cuya expresión es sugerencias del Dr. Bernardo J. Gómez.
ρ REFERENCIAS
= =
ν µ
Esta expresión muestra una dependencia con la velocidad del flujo vs, el diámetro de la tubería D y la viscosidad cinemática ν (o con la densidad ρ y la viscosidad ! "
dinámica µ). La viscosidad depende del gas empleado y la temperatura; como la tubería y la cámara tienen dimensiones fijas y la temperatura la marca las condiciones # $ %& ()
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ambientales, sólo podremos conseguir un número de Reynolds bajo reduciendo la diferencia de presiones entre el tubo y la cámara y por tanto el flujo, ya que un bajo $% ( 1 1 23 4 " # $ - /
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Re garantiza la inexistencia de remolinos, tal y como hemos demostrado. Además, un estudio de los tiempos de ejecución nos indica que la programación en paralelo 5 $% ( " - /
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es óptima a la hora de realizar cálculos complejos que contienen multitud de puntos. 6 $) 7 8 9 : ) , ;!< $
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