algebra general

1. Tabla de verdad
1.2.2. Tautologías y falacias
Definición. 1.16 Tautología
Si una proposición compuesta es siempre verdadera bajo todas sus interpretaciones,
independientemente de los valores de velicación de sus componentes, decimos que la
proposición compuesta es una tautología
TAUTOLOGIAA….
Ejemplo.
Si se tiene p: “El coche es verde”, la proposición p∧p’ equivale a decir que "El coche es verde y
el coche
no es verde". Por lo tanto se esta contradiciendo, es decir, es una falacia.
1.- Valor de verdad de prop compuestas
La Negación: si una proposición (sea simple o compuesta) es verdadera, su negación es falsa
y viceversa. Ejemplo: si P es: “Constanza es un municipio de la Vega”, ~ P se leerá: “no es
cierto que Constanza es un municipio de la Vega”.
La Conjunción: esta proposición solo es verdadera cuando las dos proposiciones que la
forman son verdaderas, y en los demás casos será falsa.
La Disyunción Inclusiva: esta proposición es falsa únicamente cuando las dos proposiciones
que la forman son falsa, en caso contrario es verdadera.
La Disyunción Exclusiva: esta solo será verdadera cuando las dos proposiciones que la
componen tienen diferentes valores de verdad, en caso contrario es falsa.
La Condicional o Implicación: una condicional solo es falsa cuando su antecedente es
verdadero y el consecuente es falso; en lo demás casos la condicional es verdadera.
La Bicondicional o Doble Implicación: esta solo es verdadera cuando las dos proposiciones
que la forman tiene el mismo valor de verdad, es decir, cuando las dos proposiciones que la
forman ambas sean verdaderas o ambas falsas. En caso contrario la Bicondicional es falsa.

3. Variable
Para una variable lógica A, B, C, ... que pueden ser verdaderas V, o falsas F,
los operadores fundamentales se definen así:

4. Negación
La negación es un operador que se ejecuta, sobre un único valor de
verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición
considerada.
Conjunción
La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de
verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones,
devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas
proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera
cuando ambas son verdaderas
Disyunción
La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los
valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de
verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo
son, y falso cuando ambas son falsas.
Implicación o Condicional
El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad,
típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor
de falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa,
y verdadero en cualquier otro caso.

5. Equivalencia o Bicondicional[editar · editar fuente]
El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de
verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor
de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y
falso cuando sus valores de verdad diferente.
Disyunción Exclusiva (XOR)
En lógica matemática, circuitos y programación suele ser muy usado los operadores
lógicos, tenemos conjunción, disyunción inclusiva, disyunción exclusiva, negación
(más información operadores lógicos)
Definición: El operador lógico disyunción exclusiva nos dice que dadas dos
proposiciones a y b, obtenemos un valor verdadero al aplicar el operador sí y
solamente sí:
La proposición a tiene un valor de verdad Verdadero y la proposición b un valor de
verdad Falso.
La proposición a tiene un valor de verdad falso y la proposición b un valor de verdad
verdadero.
a
b
avb
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0

6. •TAUTOLOGÍA: Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para
todas las asignaciones de valores de verdad para sus proposiciones
componentes. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad
de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las
relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:
•CONTRADICCIÓN: Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción,
aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor
siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad
de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las
relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:
•CONTINGENCIA:Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella
proposición que puede ser verdadera o falsa,(combinación entre tautología y
contradicción) según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el
caso:
Condición necesaria y suficiente
Una implicación es una sentencia de la forma
que nos dice que si se cumple la
condición , entonces resulta inevitable tener como resultado . Por ejemplo la
sentencia lógica “Si soy Chileno entonces soy Latinoamericano” es verdadera. ¿Cómo
funciona? Fácil. Si necesitas saber si una persona es Latinoamericana(LA), basta con
preguntarle si es chileno. Si la persona es Chilena, entonces sabes inmediatamente que
es Latinoamericano. Esto quiere decir que para saber si una persona es LA, es
suficiente saber que es chilena. Por eso decimos que la proposición es condición
suficiente en la implicancia.
¿Qué sucede si la persona te responde que no es Chileno? ¿Podemos afirmar que no es
Latinoamericano? Por supuesto que no. Porque podría ser Argentino o Peruano y ser
Latinoamericano. Un error común que cometen muchas personas ajenas a la lógica es
afirmar
no dice que
( donde
es la negación de )en nuestro caso no ser Chileno no implica no ser
Latinoamericano, ya que ser Peruano implica ser Latinoamericano

7. Por esto mismo la condición ser Chileno es condición suficiente, pero no es condición
necesaria. es decir , no es NECESARIO ser chileno para ser LA.
Lo que si sabemos es que si una persona no es LA, entonces no es Argentino. Esto es lo
que entendemos como contrarecíproca.
equivale a
Debido a estoy decimos que es LA es condición necesaria en la sentencia.
Si sabemos que alguien es LA, no podemos asegurar que sea Argentina (no es
información suficiente) pero es una condición básica, una condición necesaria para
serlo, que si no se cumple, no se puede tener que la persona sea Argentina.
Entender estos roles de condición suficiente y necesaria en una implicancia será la
base para poder entender y aplicar el proceso de demostración por contradicción o
reducción al absurdo que escribiré en el siguiente artículo
--- La condición necesaria y suficiente (para que otra condición se cumpla o sea
verdadera) es una relación entre dos proposiciones p y q. Por ejemplo, considerando
la clase de figuras geométricas llamada paralelogramo, la condición "diagonales
iguales" es una condición necesaria y suficiente para que la figura geométrica sea un
rectángulo (es decir, para que el paralelogramo tenga todos sus ángulos interiores
iguales). "Paralelogramo que tiene sus dos diagonales iguales" es una definición
alternativa de rectángulo, debido a que es equivalente a "paralelogramo que tiene
todos sus ángulos iguales". Es decir, de cualquiera de ellas se puede deducir la otra.
(Se deja como ejercicio para el lector el hacer las deducciones.)
Pero veamos otro ejemplo. Consideremos la proposición "Si un cuadrilátero es
rectángulo entonces es paralelogramo". "Paralelogramo" es condición necesaria para
ser un rectángulo, y ser un rectángulo es condición suficiente para ser un
paralelogramo.
Otro ejemplo más. Si Pedro es tamaulipeco entonces Pedro es mexicano. Tenemos dos
clases: mexicanos y tamaulipecos. Notemos que tamaulipeco es una clase incluida en
la clase mexicano. Por esa razón, ser mexicano es condición necesaria para ser
tamaulipeco (si no es mexicano no puede ser tamaulipeco). Al mismo tiempo, ser
tamaulipeco es condición suficiente para ser mexicano (basta con ser tamaulipeco
para ser mexicano).
Desde el punto de vista de la lógica de proposiciones, en la proposición compuesta
"si pentonces q", p es condición suficiente para q, y q es condición necesaria para p. Y
para que una de las proposiciones sea condición necesaria y suficiente para la otra, de

8. cada una de ellas se debe poder deducir la otra, es decir, ambas proposiciones, p y q,
son lógicamente equivalentes, Este hecho se expresa en la proposición "p si y sólo
si q".
Equivalencia lógica
Sintácticamente, p y q son equivalentes si cada una puede probar a la
otra. Semánticamente, p y q son equivalentes si ambas tienen el mismo valor de
verdad en cada modelo.La equivalencia lógica de p y q a veces se denota o bien . Sin
embargo, estos símbolos son también utilizados para denotar el bicondicional. La
interpretación propia depende del contexto, y aunque ambos conceptos están
fuertemente relacionados, la equivalencia lógica es diferente de la equivalencia
material. Se tiene así que la afirmación «p si y sólo si q» es lógicamente equivalente al
par de afirmaciones «Si p, entonces q», y «si q, entonces p». Escrito con símbolos
lógicos:.Ejemplos
Las dos sentencias siguientes son lógicamente equivalentes:
1. Si Lisa está en Francia, entonces ella está en Europa (en símbolos,
).
2. Si Lisa no está en Europa, entonces ella no está en Francia (en símbolos,
).
Sintácticamente, (1) y (2) son derivables cada una de la otra a través de la regla
de contraposición. Semánticamente, (1) y (2) son verdaderas en exactamente los
mismos modelos (interpretaciones, valuaciones); a saber, aquellos en que Lisa está en
Francia es falso o bien Lisa está en Europa es verdadero.