unidad 1 algebra

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UNIVERSITARIA
INGENIERÍA EN SISTEMAS – ÁLGEBRA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO ‘’SANTIAGO MARIÑO’’
PROFESORA: AUTOR:
ING. MIYELKA PIRELA MEDINA, ALEXANDRE
C.I 30.878.562
CIUDAD OJEDA, OCTUBRE 2021

2. 1. Definición de proposición
Una proposición es una oración con valor referencial o informativo, de la
cual se puede predicar su veracidad o falsedad, es decir, que puede ser falsa o
verdadera pero no ambas a la vez.
La proposición es la expresión lingüística del razonamiento, que se
caracteriza por ser verdadera o falsa empíricamente, sin ambigüedades.
Puede tratarse de la manifestación de algo para que otros individuos
conozcan una intención, de la concreción de una propuesta o de un enunciado
que puede resultar falso o verdadero. Por ejemplo; David es alto.
 Tipos de proposición: Atómicas y Moleculares
La lógica proposicional trata sobre la verdad o la falsedad de las
proposiciones y de cómo la verdad se transmite de unas proposiciones
(premisas) a otras (conclusión). Una proposición es la unidad mínima de
significado susceptible de ser verdadera o falsa.
En lógica proposicional y lógica de primer orden (y en menor medida en las
lenguas naturales) existe una forma de clasificar las proposiciones de acuerdo
a su estructura interna.
 Proposición atómica
Es una proposición simple, como opuesta a una proposición compuesta o
molecular. Una proposición simple es una proposición cuya estructura interna
no nos interesa; por ello, es una proposición cuya estructura interna no es
captada por nuestro sistema de notación.
Son aquellas que expresan un único pensamiento. Ej: “Cervantes escribió
el Quijote”, “Julio César fué un emperador romano”.
Una proposición atómica, fórmula atómica o simple puede ser representada
por una única variable proposicional inanalizable (en el contexto de la lógica
proposicional) o como una fórmula bien formada donde todas las variables
están ligadas (en el contexto de la lógica primer de primer orden).

3.  Proposición molecular
La proposición molecular, en cambio, es una proposición constituida a partir
de proposiciones atómicas unidas mediante palabras que expresan conectores
lógicos («no», «si... entonces», «y») y cuantificadores («para todo x», «existe
un x tal que...»).
Por ejemplo, una proposición del tipo «si hace frío, me pondré el abrigo»
ejemplifica este tipo de proposiciones moleculares, en la medida en que incluye
hechos atómicos -la temperatura y el llevar una determinada prenda-, junto con
una conexión entre estos hechos que no es reducible, ella misma, a un hecho
atómico.
La verdad o falsedad de las proposiciones moleculares se halla totalmente
determinada por la verdad o falsedad de las proposiciones atómicas, tal es así
que si una de las proposiciones atómicas es falsa, la molecular pierde cierto
grado de verdad.
 Términos de enlaces o conectivos lógicos y sus símbolos: Y, O, No, Si,
Entonces…
Los conectivos lógicos nos permiten definir operaciones con proposiciones.
Son símbolos que enlazan dos o más proposiciones simples para formar una
proposición compuesta.
Las proposiciones atómicas pueden combinarse de diferentes formas para
dar lugar a proposiciones moleculares. Los elementos que sirven para conectar
las proposiciones atómicas entre sí se llaman conectivos lógicos. Las
conectivos lógicos nos dicen cómo afecta el valor de verdad de las
proposiciones atómicas al valor de verdad de las proposiciones moleculares
Así, cuando decimos: „‟Las flores son plantas y los erizos aves‟‟; estamos
conectando la proposición atómica "las flores son plantas" con la proposición
atómica "los erizos son aves" mediante la conectiva lógica "y". La "y" nos está
diciendo que la proposición molecular "Las flores son plantas y los erizos aves"

4. sólo es verdadera si las dos proposiciones atómicas que la componen son
ambas verdaderas, y será falsa en caso de que, al menos una de ellas, sea
falsa. Como sabemos que los erizos no son aves, podemos concluir que la
proposición "Las flores son plantas y los erizos aves" es falsa.
Probemos a cambiar la conectiva lógica del ejemplo, y conectemos las dos
proposiciones atómicas del siguiente modo: „„Las flores son plantas o los erizos
son aves‟‟.
Un ejemplo con los demás conectivos lógicos (o, no, entonces)
basándonos en una misma referencia:
o Isabel toma un medicamento sin consultar o va al médico. („„o‟‟)
o Isabel no se siente mal. („„no‟‟)
o Si Carina se siente mal entonces va al médico. (“entonces”)
2. Formas de proposiciones y sus símbolos.
 Negación: En matemáticas y lógica, la negación, denotada con el símbolo
∼, es un operador lógico que tiene la propiedad de cambiar la validez de
una proposición p, esto es, cambia de verdadero a falso y viceversa, la
negación de una proposición se escribe como ∼p.
Si bien es cierto que la negación de una proposición no realiza ninguna
conexión lógica, es decir, no es un conectivo lógico propiamente dicho, no deja
de ser una proposición compuesta luego de negar una proposición simple.
Una proposición simple tiene como finalidad realizar un juicio pero de
manera afirmativa, si este juicio es una negación, entonces sería una
proposición compuesta.
Sea las proposiciones:
o Los perros tienen 4 patas.
o Los perros no tienen 4 patas.

5. Las dos proposiciones tiene algo en común, uno afirma y la otra niega para
un mismo sujeto y con predicados contrarios.
El enunciado 2 se puede escribir así:
o Los perros no tienen 4 patas = ∼ (Los perros tienen 4 patas) … (I)
Es decir, la proposición 2 es la negación de la proposición 1, por cuestiones
prácticas, las proposiciones 1 y 2 serán representados por p y q
respectivamente, de esta manera quedaría así:
o P = Los perros tienen 4 patas
o q = Los perros no tienen 4 patas
 Conjunción: es un conectivo lógico que conecta dos proposiciones p y q
formando una nueva proposición p ∧ q tal que su validez resulta ser
verdadera si las proposiciones p y q son verdaderas y falsa si por lo menos
una de estas proposiciones es falsa.
La conjunción lógica tiene como propiedad sumar condiciones obligatorias
por medio del predicado aplicado al sujeto; por ejemplo, si queremos que Pablo
sea albañil, pero a su vez queremos que Pablo también sea un estudiante,
usaremos el conectivo lógico «y», escribiendo así «Pablo es un albañil y
estudiante».
En este caso, si se toman en cuenta estas dos condiciones para «Pablo»,
también debemos tomar en cuenta los valores de verdad de dichas
condiciones.
Es decir, si es verdadero que «Pablo sea albañil» y también es verdadera
que «Pablo sea estudiante», por tanto, la proposición «Pablo es albañil y
estudiante» también es verdadera.

6.  Disyunción: También se le conoce como la suma lógica, en este tipo de
proposiciones nos da la alternativa o posibilidad de escoger la validez de
una o varias de sus proposiciones simples en cuanto a sus valores de
verdad, me refiero a la disyunción lógica.
Entre todos los conectivos lógicos que se conoce, la disyunción tiene doble
significado y en matemáticas es necesario diferenciarlo simbólicamente, se les
puede diferenciar como disyunción inclusiva y exclusiva.
La proposición disyuntiva del tipo «Samanta es hombre o mujer» es una
proposición selectiva, porque podemos seleccionar que proposición simple es
verdadera. La proposición se puede desglosar de la siguiente manera:
o Samantha es mujer
o Samantha es hombre
Podemos decir sin equivocarnos que Samantha no es un nombre unisex,
que estamos tratando con una persona del sexo femenino.
Pero como el conectivo «o» nos da la posibilidad de elegir entre una de las
dos, elegimos «Samantha es mujer». Decimos entonces lo siguiente:
o Samantha es mujer (es verdadera)
o Samantha es hombre (es falso)
Por tanto «Samanta es hombre o mujer» es una proposición verdadera por
una cuestión de elección.
 Implicación: es un operador que opera sobre dos valores de verdad,
típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el
valor de falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda
falsa, y verdadero en cualquier otro caso.
Sea dos proposiciones p y q, si la proposición p↔q es una tautología,
entonces p es equivalente a q y se simboliza como p≡q.

7. Es decir, si p→q es tautológica, entonces se cumple la expresión p⇒q.
Pero si se afirma la implicación del tipo p⇒q, no significa que p→q sea siempre
tautológica, solo tomará aquellos argumentos de p→q cuando solo es
verdadero.
 Doble aplicación: Sean p y q dos proposiciones. Una doble aplicación o
proposición es bicondicional cuando p es verdadera si y sólo si q es también
verdadera. O bien p es falsa si y sólo si q también lo es.
Se indica de la siguiente manera: p q (se lee "p si y sólo si q").
Ejemplo:
Sea el siguiente enunciado: "Un ser está vivo, sí y sólo sí, tiene respiración"
Donde:
 p: Un ser está vivo.
 q: Tiene respiración.
Un ser está vivo, si y sólo si, tiene respiración.
Un ser tiene respiración, si y sólo si, está vivo.
 Diferencia simétrica: es la operación binaria, en la cual dos conjuntos
cualesquiera, A y B, especifican cuáles elementos no son comunes
formando un nuevo conjunto llamado diferencia simétrica.
El conjunto A diferencia simétrica B, escrito A Δ B, está formado por
elementos del universo que pertenecen o bien a A o bien a B, pero no a ambos
al mismo tiempo; es decir, los elementos no comunes entre A y B. Se podría
decir que la diferencia simétrica es la operación complementaria (contraria) a la
intersección.
Hallar la diferencia simétrica de dos conjuntos es quedarse con los
elementos que pertenecen solamente a A y solamente a B. Es decir, no se
toman los elementos que pertenecen a la intersección de ambos conjuntos.