entrega de actividad aula 2 p

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio de Poder Popular para la Educación Universitaria
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Asignación: Algebra I
Estudiante: Fabian José Gutiérrez Martínez
Cedula: V-30060859
Semestre: 1ro
CUADERNO VIRTUAL

2. Proposiciones
Una proposición, en términos generales, es algo que se propone. Es decir, es una
expresión equivalente de una oración simple aseverativa, una oración en la que se
afirma que algo es, que algo existe o que posee determinada característica. Por lo
tanto, puede ser juzgada como cierta (si concuerda con la realidad) o falsa (si no
lo hace).
Es un término muy empleado en distintos contextos del saber, como ciertas
disciplinas formales (lógica, matemáticas) o la lingüística y la filosofía, la idea es
que, tomando distintas proposiciones como antecedentes, se puede obtener
determinadas conclusiones, y además se puede estudiar detenidamente el
procedimiento a través del cual las hemos obtenido.
En todo caso, una proposición debe entenderse como una cadena de signos que
pertenecen a un mismo lenguaje, ya sean sonidos o caracteres (en un lenguaje
natural) o signos y representaciones (en un lenguaje forma).
La lógica estudia las relaciones entre proposiciones y los mecanismos de
razonamiento que permiten llegar a unas a partir de otras. En sí mismas, las
proposiciones se diferencian de los juicios, ya que las primeras proponen algo
sobre la realidad y los segundos afirman o niegan algo de ello. Es decir, las
proposiciones son el producto lógico de los juicios.
La lógica formal representa las proposiciones a través de letras del alfabeto, para
así estudiar las conexiones lógicas entre ellas abstraídas de su contenido
semántico: “si p entonces q”.
A partir de dicha la relación, luego puede determinarse en qué casos el contenido
expresado es cierto, y en qué casos es falso, mediante las llamadas “tablas de la
verdad”, que asignan valores verdaderos (V) o falsos (F) a la relación establecida,
para estudiar sus resultados posibles.

3. Tipos de preposición
Proposiciones atómicas y moleculares
La lógica proposicional trata sobre la verdad o la falsedad de las proposiciones y
de cómo la verdad se transmite de unas proposiciones (premisas) a otras
(conclusión). Una proposición es la unidad mínima de significado susceptible de
ser verdadera o falsa.
Una palabra aislada, por sí misma, no nos dice nada. La palabra "perro" tiene una
referencia, pero no nos da ninguna información si no es en el contexto de una
proposición como "El perro está haciendo cosas raras". Por ello una palabra, a
menos que constituya una proposición, no es verdadera o falsa. Sólo tienen valor
de verdad las proposiciones.
Debemos distinguir dos tipos de proposiciones: las proposiciones atómicas y las
proposiciones moleculares. Las proposiciones atómicas son aquéllas que no se
componen de otras proposiciones. La proposición
Todos los hombres son mortales
Es una proposición atómica porque ninguno de sus elementos componentes es
una proposición. Como podemos observar, una proposición atómica es verdadera
o falsa, y su verdad o falsedad no depende de otras proposiciones, sino de cómo
es la realidad. Si hubiera algún hombre inmortal, la proposición del ejemplo sería
falsa.
Las proposiciones moleculares son aquéllas que están compuestas por
proposiciones atómicas. Un ejemplo de proposición molecular sería:
Voy a comprar pan y a tomar un café
La proposición del ejemplo es molecular porque se compone de dos proposiciones
atómicas:
Voy a comprar pan

4. Voy a tomar un café
Estas dos proposiciones atómicas están conectadas mediante la partícula "y". Una
proposición molecular será verdadera o falsa, pero a diferencia de lo que ocurre
con las proposiciones atómicas, su verdad o falsedad no depende directamente de
la realidad, sino que depende o es función de la verdad o falsedad de las
proposiciones atómicas que la componen. Esto significa que si quiero saber si es
verdadero o falso que voy a comprar pan y a tomar un café, es necesario que
conozca la verdad o falsedad de "voy a comprar pan" y de "voy a tomar un café"
por separado.
Formas de proposiciones y sus símbolos
Negación: En matemáticas, la negación lógica denotado con el símbolo ∼ es un
operador lógico que tiene la propiedad de cambiar la validez de una proposición p,
esto es, cambia de verdadero a falso y viceversa, la negación de una proposición
se escribe como ∼p. Por ejemplo:
Sea las proposiciones:
Los perros tienen 4 patas
Los perros no tienen 4 patas
Las dos proposiciones tiene algo en común, uno afirma y la otra niega para un
mismo sujeto y con predicados contrarios.
El enunciado 2 se puede escribir así:
Los perros no tienen 4 patas = ∼ (Los perros tienen 4 patas)… (I)
Es decir, la proposición 2 es la negación de la proposición 1, por cuestiones
prácticas, las proposiciones 1 y 2 serán representados por p y q respectivamente,
de esta manera quedaría así:

5.  p = Los perros tienen 4 patas
 q = Los perros no tienen 4 patas
La proposición (I) se puede escribir así:
 p = ∼ q
Si bien p es una proposición compuesta, la negación ∼ no es un conector lógico o
conectiva lógica porque no conecta con otra proposición.
Naturalmente la proposición 1 es verdadero y la 2 es falsa por si creían que me
olvidaba.
Negación lógica de proposiciones simples:
 p = El Tumi es de oro.
∼ p = El tumi no es de oro.
 q = Los seres humanos no son de Ganimedes.
∼ q = Los seres humanos son de Ganimedes.
 r = El tigre es un felino.
∼ r = El tigre no es un felino.
La negación de proposiciones compuestas:
 p = Yo soy terrícola y mortal.
∼ p = yo no soy terrícola o no soy mortal.
 q = la tierra no es cuadrada o circular.
∼ q = la tierra es cuadrada y circular.

6. Conjunción: La conjunción lógica con símbolo ∧ es un conectivo lógico que
conecta dos proposiciones p y q formando una nueva proposición p∧q tal que su
validez resulta ser verdadera si las proposiciones p y q son verdaderas y falsa si
por lo menos una de estas proposiciones es falsa. Por ejemplo:
Sea los siguientes enunciados:
1. El gato es un felino y la paloma es un ave.
1. Los iPhone son celulares inteligentes y los fabrica Samsung.
Para el enunciado 1, se puede desglosar así:
 El gato es un felino.
 La paloma es un ave.
Exactamente estas dos proposiciones simples son verdaderas y por la definición
de la conjunción lógica decimos que el enunciado 1 es verdadero, vayamos al
siguiente enunciado.
Para el enunciado 2, lo podemos separar así:
 Los iPhone son celulares inteligentes.
 Los iPhone los fabrica Samsung.
La primera proposición simple es verdadera porque un iPhone tiene todas las
características de un Smartphone que del inglés significa teléfonos inteligentes,
pero la segunda es falsa porque los IPhone son fabricados por la compañía
multimillonaria llamada Apple y no por Samsung.
Por tanto, por la definición de la conjunción lógica, basta que una proposición
componente sea falsa para que el enunciado 2 sea completamente falsa.

7. Los enunciados 1 y 2 de las proposiciones compuestas del ejemplo ilustrativo 2
pueden escribirse de la siguiente manera:
p ∧ q
Donde el enunciado 1, puede considerarse.
p = El gato es un felino. (Verdadero)
q = La paloma es un ave. (Verdadero)
Y para el caso del enunciado 2, sería:
p = Los iPhone son celulares inteligentes. (Verdadero)
q = Los iPhone son de Samsung. (Falso)
Según la definición de la conjunción lógica el valor de verdad del enunciado 1
sería verdadera, simbólicamente:
V (p ∧ q) = V
Y para el enunciado 2, sería falsa, simbólicamente:
V (p ∧ q)= F
Disyunción
También se le conoce como la suma lógica, en este tipo de proposiciones nos da
la alternativa o posibilidad de escoger la validez de una o varias de sus
proposiciones simples en cuanto a sus valores de verdad, me refiero a
la disyunción lógica.

8. Entre todos los conectivos lógicos que se conoce, la disyunción tiene doble
significado y en matemáticas es necesario diferenciarlo simbólicamente, se les
puede diferenciar como disyunción inclusiva y exclusiva.
Veamos un ejemplo para entender qué es la disyunción lógica y su variantes,
sutiles pero identificables.
Disyunción en primer tipo
La proposición disyuntiva del tipo «Samanta es hombre o mujer» es una
proposición selectiva, porque podemos seleccionar que proposición simple es
verdadera. La proposición se puede desglosar de la siguiente manera:
Samanta es mujer
Samanta es hombre
Podemos decir sin equivocarnos que Samanta no es un nombre unisex, que
estamos tratando con una persona del sexo femenino.
Pero como el conectivo (o) nos da la posibilidad de elegir entre una de las dos,
elegimos «Samanta es mujer«. Decimos entonces lo siguiente:
Samanta es mujer (es verdadera)
Samanta es hombre (es falso)
Por tanto «Samanta es hombre o mujer» es una proposición verdadera por una
cuestión de elección.
En el ejemplo anterior vimos una proposición compuesta donde se tenía la
posibilidad de elegir cualquiera de las proposiciones simples con al menos una
validez verdadera para que toda la proposición sea verdadera, esto es, solo podía
elegirse una única opción entre las dos opciones disponibles.
El siguiente ejemplo trataremos con otro tipo de disyunción donde tenemos la
posibilidad de elegir las dos a la vez sin contradicción alguna, si tenemos la

9. posibilidad AA y otra BB, puede elegirse cualquiera de ellas incluso elegir
simultáneamente las dos, veamos:
Ejemplo de la disyunción de segundo tipo
La proposición «Mi gato es un felino o es un animal«, es un enunciado en la que
también se puede seleccionar cualquiera de las dos alternativas, desglosamos la
proposición.
Mi gato es un felino.
Mi gato es un animal.
¿Qué opción podemos elegir para determinar que nuestra proposición compuesta
es verdadera?, como podemos ver, las dos proposiciones simples son verdaderas.
Entonces podemos elegir las dos, y con esto concluye que nuestra
proposición «Mi gato es un felino o es un animal» también es verdadera.
Estos tipos de proposiciones que a pesar de ser similares, tienen algunas
diferencias, vamos a explicarlos en los siguientes apartados.
La disyunción inclusiva
Este tipo de disyunción hace referencia al ejemplo ilustrativo 2 y tiene la propiedad
de poder elegir cualquier proposición con validez verdadera que la componen (si
es que existe) para determinar que nuestra proposición que la forman sea válida,
aquí su definición:
La disyunción inclusiva con símbolo ∨∨ es un conectivo lógico que une dos
proposiciones p y q formando una nueva proposición p ∨ q de tal manera que su
valor de verdad es falsa si las proposiciones p y q resulta ser falsas, en caso
contrario resulta ser verdadera si al menos una de sus proposiciones
componentes es verdaderas.

10. Por lo general, a la disyunción inclusiva también se le llama disyunción lógica, de
ahora en adelante toda proposición formada jerárquicamente por una disyunción
inclusiva se le llamará proposición inclusiva.
Según la definición que acabamos de proponer para el significado del
símbolo ∨∨ (que literalmente se escribe con la vocal «o»), una proposición
inclusiva deben tener 3 posibles elecciones para indicar que es verdadera y una
que nos puede dar como falsa. Veamos algunos ejemplos.

12. Ejemplo
 El número 2 es real o entero.
 Los gatos tienen cuatro patas o tienen cola.
 Leo un libro usando una gorra o sentado.
Para cualquiera de estos ejemplos es posible que cualquiera de las proposiciones
simples de estas proposiciones inclusivas se pueda realizar simultáneamente
como también elegir solo una de ellas.
La disyunción exclusiva
Este tipo de disyunción es más estricto y hace referencia al ejemplo ilustrativo 1
donde no es posible que en una proposición compuesta sea verdadera si las dos
son verdadera, como máximo solo es posible elegir una proposición verdadera
para que la proposición compuesta sea verdadera.
Definición de la disyunción exclusiva
La disyunción exclusiva con símbolo △△ es un conectivo lógico que une dos
proposiciones p y q formando una nueva proposición p △ q de tal manera que su
validez es falsa si las proposiciones p y q tienen el mismo valor de verdad, en caso
contrario, resulta ser verdadera si las proposiciones p y q tienen valores de verdad
opuesto.
Como hemos visto, existe dos tipos de disyunción, una es la disyunción inclusiva o
débil y la otra es la disyunción exclusiva o fuerte y las dos usan literalmente la letra
«o» pero de formas distintas.
Estas diferencias son necesarias porque existen situaciones donde podemos ver
que no siempre la misma validez de sus proposiciones que la componen nos
puede dar siempre una misma validez general de la proposición matriz, es decir,
un enunciado puede ser verdadero o falso con los mismos valores de verdad de
sus variables proposicionales que la componen.
Una proposición formada jerárquicamente por una disyunción exclusiva de ahora
en adelante lo llamaremos proposición exclusiva.
Si encontramos la definición de disyuntiva en algún diccionario gramatical,
encontramos conceptos semejantes entre ellas como:
 Alternativa entre dos o más opciones por las cuales hay que decidirse.
 Alternativa entre dos cosas por el cual hay que optar por una.
 Alternativa entre dos cosas opuestas de las que debemos optar.

13. La primera hace referencia a la disyunción inclusiva, y las dos últimas a la
disyunción exclusiva.
Describo este punto para que pueda entenderse la disyunción y su significado,
finalidad y razonamiento. Por lo general, cuando tratamos simplemente de la
disyunción lógica, hacemos referencia a la disyunción inclusiva. Por ejemplo:
 estas enfermo o estás saludable.
 bien es falso o bien es verdadero.
 estas en inmóvil o estás en movimiento.
Estas proposiciones tiene un límite, sólo son verdaderas si y solo si una única
variable proposicional (proposición simple) que la compone es verdadera.
Implicación
En la implicación el primer término se denomina antecedente o hipótesis y al
segundo consecuente o tesis. Todos los teoremas tienen forma de implicación. La
implicación es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. La
implicación no tiene denominación especial, como los casos anteriores, (NOT,
AND y OR) pero puede expresarse en función de estos, como se verá más
adelante.
Resulta natural que de un antecedente verdadero se concluya o derive
un consecuente verdadero y que no se pueda deducir un consecuente
verdadero de un antecedente falso, pero resultan implicaciones
verdaderas, partiendo de antecedentes falsos como se puede ver en los
ejemplos siguientes:
Ejemplo 1:
si p es: -1 = 1 antecedente falso, y
si q es: (-1)2
= (1)2
consecuente verdadero,
entonces:
p q: si -1 = 1 (-1)2
= (1)2
, es implicación verdadera.
Ejemplo 2:
si p: -1 = 1 antecedente falso y
si q: -3 = 3 consecuente falso,

14. entonces:
p q: si -1 = 1 -3 = 3, es implicación verdadera.
Bicondicional
La bicondicional es un conectivo lógico denotado por ↔ que conecta dos
proposiciones p y q formando una nueva proposición p↔q tal que su validez es
verdadera si sus proposiciones que la componen tiene el mismo valor de verdad y falsa
si tiene valores de verdad opuestos.
Para dos proposiciones p y q conectados por una bicondicional pueden depender
mutuamente entre sí. Aquí p puede ser antecedente de q como también q puede ser el
antecedente de p.
Como dos proposiciones bajo este conector son mutuamente dependientes, no existe
jerarquía entre las dos.
Desde ahora, cuando nos refiramos a una proposición formada jerárquicamente con
este conectivo, lo llamaremos proposición bicondicional.
Otro punto a tener en cuenta es que este conector es conmutativo, esto es, se cumple
la siguiente equivalencia p↔q ≡ q↔p
El significado literal de la bicondicional lógica entre dos proposiciones o enunciados
abiertos es «Si y solo si«, en este caso, la proposición p ↔ q se lee «p si y solo si q».
No siempre dos proposiciones pueden conectarse literalmente de esta manera para
darle sentido a una nueva proposición aunque si a nivel simbólico, veamos un ejemplo
para explicar esta detalle.
Ejemplo
Caso 1: Sea la proposición:
Saldré de casa si y sólo si anochece.
No toda proposición puede ser una bicondicional ya que la proposición anterior puede
escribirse así:
 Anochece si y solo si salgo de casa.
Es imposible que anochezca por arte de magia porque simplemente se salga de casa,
por el cual, la proposición es inviable, veamos otro caso.
Caso 2: Sea la siguiente proposición:
 Saldré de casa siempre y cuando mi madre compre un chocolate.

15. Esta proposición se puede escribir de manera invertida así:
 Mi madre comprará un chocolate siempre y cuando yo salga de casa.
Diferencia simétrica
La diferencia simétrica de los conjuntos A y B, denotada A △ B o A ⊖ B, es el conjunto
de todos los objetos que son un miembro de exactamente uno de A y B (elementos que
están en uno de los conjuntos, pero no en ambos). Por ejemplo, para los conjuntos {1,
2, 3} y {2, 3, 4}, el conjunto de diferencias simétricas es {1, 4}. Es la diferencia
establecida de la unión y la intersección, (A ∪ B) (A ∩ B) o (A B) ∪ (B A).