Conjuntos desiguales y valor absoluto

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular de Educación Superior
Universidad Experimental Territorial Andrés Eloy Blanco
PNF Sistemas de Calidad y Ambiente
Barquisimeto - Estado Lara.
CONJUNTOS, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO.
Realizado por:
Sira S., Joan E.
C.I.: 22.335.440
Secc: SC0403

2. Desarrollo
1- Definición de Conjuntos
Es una colección de cualquier tipo de objetos considerado como un todo, una
multiplicidad vista como una unidad: es una entidad bien determinada. Los objetos
que forman un conjunto son nombrados elementos o miembros de un conjunto.
También es considerada como una agrupación que está determinada por una
propiedad enunciada por medio de un lenguaje preciso.
Ejemplos:
a) Si x es un elemento y A un conjunto, escribimos 𝑥𝜖𝐴, para decir que x pertenece a
A. Para señalar que un objeto x no es elemento del conjunto A, Escribimos 𝑥 ∉ 𝐴.
b) Decir si el numero -5 pertenece o no al conjunto {
𝑝
𝑞
𝑝
⁄ , 𝑞 ∈ ℤ 𝑦 𝑞 ≠ 0}
2- Operaciones con Conjuntos.
a) Unión de Conjuntos: Cuando deseamos reunir los elementos de dos conjuntos
A y B, se escribe: 𝑪 = 𝑨 ∪ 𝑩, en este caso se dice que C es la unión de los
conjuntos A y B, y para describir sus elementos:
𝑨 ∪ 𝑩 = {𝒙 𝒙
⁄ ∈ 𝑨 𝒐 𝒙 ∈ 𝑩}
Y se lee A unión de B es el conjunto de los elementos x tales que x pertenece a
alguno de los dos conjuntos, es decir, x pertenece a A o x pertenece a B.
Ejemplos:
1. Si 𝐴 = {1, −√2,
1
3
, 3,75} 𝑦 𝐵 = {0, −
3
8
, 123,
1
3
} , 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝐴 ∪ 𝐵.
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝐴 ∪ 𝐵 = {1, −√2,
1
3
, 3,75,0, −
3
8
, 123}
2. Si 𝐴 = {3,4,5,6} 𝑦 𝐵 = {3,6}, ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝐴 ∪ 𝐵
𝐴 ∪ 𝐵 = {3,4,5,6}
b) Intersección: Es cuando consideramos que los elementos pertenecen tanto al
conjunto A como al conjunto B. Entonces:
𝑼 = 𝑨 ∩ 𝑩

3. En este caso se dice que 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ⋀𝑥 ∈ 𝐵}
Ejemplos:
a.- Si 𝑨 = {𝒙 ∈ ℝ|−𝟑 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒} y 𝑩 = {𝒙 ∈ ℝ|
𝟕
𝟐
< 𝒙 < 𝟔}
Solución; Se observa que los números reales que satisfacen −3 ≤ 𝑥 <
7
2
, son
elementos del conjunto A, pero no del B. De la misma manera, los que cumplen
4 < 𝑥 < 6, son elementos del conjunto B, pero no están en A. De modo que:
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ |
7
2
< 𝑥 < 4}
b.- Los miembros del consejo de seguridad de la ONU durante 1997 fueron Japón,
Kenia, Polonia, Portugal, República de Corea, Rusia, Suecia, Reino Unido, Estados
Unidos, Chile, China, Costa Rica, Egipto, Francia y Guinea-Bissau. De ellos Rusia,
Reino Unido, Estados Unidos, China y Francia son miembros permanentes. Por
otro lado Portugal, Chile, Costa Rica, Francia y Guinea Bissau tienen por idioma
oficial una lengua romance. ¿Qué países son miembros permanentes y tienen una
lengua romance por idioma?
Solución: Se llama 𝐴 al conjunto de los miembros permanentes del Consejo de
Seguridad de la ONU, es decir:
𝐴 = {𝑅𝑢𝑠𝑖𝑎, 𝑅𝑒𝑖𝑛𝑜 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑜, 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑜𝑠, 𝐶ℎ𝑖𝑛𝑎, 𝐹𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎}
Y B al conjunto de países cuyo idioma es una lengua romance:
𝐵 = {𝑃𝑜𝑟𝑡𝑢𝑔𝑎𝑙, 𝐶ℎ𝑖𝑙𝑒, 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑅𝑖𝑐𝑎, 𝐹𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎, 𝐺𝑢𝑖𝑛𝑒𝑎 𝐵𝑖𝑠𝑠𝑎𝑢}
El único país que es miembro permanente y tiene como idioma una lengua romance
es: C= {Francia}
𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐹𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
c.- Complemento: En general se puede hablar de los elementos que pertenecen al
conjunto B pero no a A, en ese caso se escribe:

4. 𝑩 ∖ 𝑨 = {𝒙 ∈ 𝑩|𝒙 ∉ 𝑩}
Y decimos que BA es el complemento del conjunto A con respecto al conjunto B, o
simplemente el complemento de A con respecto de B. Otro nombre con el que se
conoce a BA es diferencia de B y A.
Ejemplos:
a.- Tomando como conjunto Universal el conjunto de los números realesℝ,
encontrar 𝐴𝐶
si 𝐴 es el conjunto de los números tales que su cuadrado es mayor
que cero.
Solución: Puesto que para cualquier número real tenemos que su cuadrado es
positivo o cero, tenemos que los números tales que su cuadrado es mayor que cero
son los que satisfacen:
𝑥 > 0 ⋁ 𝑥 < 0,
Es decir:
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ 0}
De donde:
𝐴𝐶
= ℝ𝐴 = {0}
b.) Si 𝑨 = {𝟏,
𝟏
𝟐
,
𝟏
𝟑
,
𝟑
𝟐
} 𝒚 𝑩 = {
𝟐
𝟑
,
𝟑
𝟐
, 𝟏,
𝟏
𝟒
,
𝟏
𝟐
,
𝟓
𝟐
, −𝟏}. Encontrar BA.
Solución:
Los elementos que están en B y no están en A son:
𝐵𝐴 = {
2
3
,
1
4
,
5
2
, −1}
a- Leyes de De Morgan: Las igualdades
(𝑨 ∪ 𝑩)𝑪
= 𝑨𝑪
∩ 𝑩𝑪
𝒚 (𝑨 ∩ 𝑩)𝑪
= 𝑨𝑪
∪ 𝑩𝑪
Se conocen como las leyes de De Morgan y son válidas para cualesquiera dos
conjuntos 𝐴 𝑦 𝐵.

5. Ejemplo:
1) Si 𝑨 = {𝒙 ∈ ℝ|−𝟑 ≤ 𝒙 ≤ −𝟐}, 𝑩 = {𝒙 ∈ ℝ|−𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟎}, 𝒚 ℝ es el conjunto
universal, verificar (𝑨 ∪ 𝑩)𝑪
= 𝑨𝑪
∩ 𝑩𝑪
Solución:
(𝑨 ∪ 𝑩)𝑪
= ({𝒙 ∈ ℝ|−𝟑 ≤ 𝒙 ≤ −𝟐} ∪ {𝒙 ∈ ℝ|−𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟎})𝒄
= ℝ({𝒙 ∈ ℝ|−𝟑 ≤ 𝒙 ≤ −𝟐} ∪ {𝒙 ∈ ℝ|−𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟎})
= {𝒙 ∈ ℝ|𝒙 < −𝟑} ∪ {𝒙 ∈ ℝ|−𝟐 < 𝒙 < −𝟏} ∪ {𝒙 ∈ ℝ|𝒙 > 𝟎}
Por otra parte:
𝑨𝑪
∩ 𝑩𝑪
= {𝒙 ∈ ℝ|−𝟑 ≤ 𝒙 ≤ −𝟐}𝑪
∩ {𝒙 ∈ ℝ|−𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟎}𝑪
= ℝ({𝒙 ∈ ℝ|−𝟑 ≤ 𝒙 ≤ −𝟐} ∩ {𝒙 ∈ ℝ|−𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟎})
= ({𝒙 ∈ ℝ|𝒙 < −𝟑} ∪ {𝒙 ∈ ℝ|−𝟐 < 𝒙}) ∩ ({𝒙 ∈ ℝ|𝒙 < −𝟏} ∪ {𝒙 ∈ ℝ|𝟎 < 𝒙})
= ({𝒙 ∈ ℝ|𝒙 < −𝟑} ∪ {𝒙 ∈ ℝ|−𝟐 < 𝒙 < −𝟏} ∪ {𝒙 ∈ ℝ|𝒙 > 𝟎})
Entonces: (𝑨 ∪ 𝑩)𝑪
= 𝑨𝑪
∩ 𝑩𝑪
3- Números Reales:
Los números reales ℝ constituyen al conjunto formado por la unión de los
números racionales (ℚ) y los irracionales (𝑰), por lo tanto, cualquier número real
debe ser un número racional o irracional. Es decir un número que puede ser
representado a través de una expresión decimal periódico o no periódica.
ℚ
ℤ ℕ
𝐼
ℝ

6. La representación gráfica de los números reales se denomina recta real o recta
numérica ya que una vez representados, tanto los racionales como los irracionales,
no quedan puntos vacíos. Los números reales llenan totalmente la recta.
4- Desigualdades:
Es una inecuación entre dos expresiones algebraicas. Cada una de estas
expresiones es un miembro de la desigualdad.
Ejemplos:
Resolver las siguientes desigualdades:
a) 3(𝑥 − 2)5𝑥 + 8
3𝑥 − 6 > 5𝑥 + 8
−6 − 8 > 5𝑥 − 3𝑥
−14 > 2𝑥 La solución grafica es:
2𝑥 > −14
𝑥 > −
14
2
𝒙 > −𝟕
𝑺 = [−𝟕, ∞)
b) 𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟏 ≥ 𝟎
Solución: Igualando a 0
𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎 , Tomando en cuenta (𝒂 + 𝒃)𝟐
= 𝒂𝟐
+ 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
= (𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝒃)
(𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟏) = 𝟎
(𝒙 + 𝟏)𝟐
= 𝟎
Notemos que para todo x positivo o negativo será (𝑥 + 1)2
≥ 0
Luego la solución será el conjunto de todos los números reales:
𝑺 = (−∞, ∞)
c) 𝒙𝟐
+ 𝟗𝒙 + 𝟏𝟖 ≤ 𝟎
𝒙𝟐
+ 𝟗𝒙 + 𝟏𝟖 = 𝟎
(𝒙 + 𝟔)(𝒙 + 𝟑) = 𝟎
-7

7. 𝒙 = −𝟔 𝒚 𝒙 = −𝟑 Son los valores fronteras, como se observa en la gráfica.
En la gráfica se tienen las regiones A, B y C, en los cuales ubicaremos los valores
de prueba -7,-4 y 0.
Región A, x=-7 Región B, x=-4 Región C, x=0
𝒙𝟐
+ 𝟗𝒙 + 𝟏𝟖 ≤ 𝟎 𝒙𝟐
+ 𝟗𝒙 + 𝟏𝟖 ≤ 𝟎 𝒙𝟐
+ 𝟗𝒙 + 𝟏𝟖 ≤ 𝟎
(−𝟕)𝟐
+ 𝟗(−𝟕) + 𝟏𝟖 ≤ 𝟎 (−𝟒)𝟐
+ 𝟗(−𝟒) + 𝟏𝟖 ≤ 𝟎 (𝟎)𝟐
+ 𝟗(𝟎) + 𝟏𝟖 ≤ 𝟎
49 − 63 + 18 ≤ 0 16 − 36 + 18 ≤ 0 0 + 0 + 18 ≤ 0
4 ≤ 0 −2 ≤ 0 18 ≤ 0
Falso Verdadero Falso
Solo los valores de la región B satisfacen la desigualdad S: [-6,-3]
5- Valor Absoluto:
La distancia entre 0 y un número real positivo x es igual a la distancia entre 0
y el número real –x.
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒂𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒙 = |𝒙| = 𝒙
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒂𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒐 𝒅𝒆 − 𝒙 = |−𝒙| = 𝒙
El valor absoluto de un número siempre es positivo.
Ejemplos:
𝑎) |
2
3
+ 4| = |
2 + 12
3
| = |
14
3
| =
14
3
𝑏) |
4√5
√2
| =
4√5 ∗ √2
√2 ∗ √2
=
4√10
√2
2 =
4√10
2
= 2√10
𝑐)|8 − 15 + 4| + 9 + |
2
5
+
3
4
| = |−3| + 9 + |
8 + 15
20
| = |−3| + 9 + |
23
20
| = 3 + 9 +
23
20
=
12 +
23
20
=
240 + 23
20
=
263
20
6- Desigualdades con Valor absoluto:
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
A B C

8. Son las mismas inecuaciones de primer grado, donde se hallan los valores de
x que satisfagan a la desigualdad y cumplan con las propiedades del valor absoluto..
Ejemplos:
a)|2 − 5𝑥| < 3
−𝟑 < 𝟐 − 𝟓𝒙 < 𝟑
−𝟑 − 𝟐 < −𝟓𝒙 < 𝟑 − 𝟐
−𝟓 < −𝟓𝒙 < 𝟏
−𝟓
−𝟓
< 𝒙 < −
𝟏
𝟓
𝟏 < 𝒙 < −
𝟏
𝟓
𝑺 = (−
𝟏
𝟓
, 𝟏)
|𝟐𝒙 + 𝟓| ≥ 𝟏𝟏
Aplicando propiedades
𝟐𝒙 + 𝟓 ≥ 𝟏𝟏 𝟐𝒙 + 𝟓 ≤ −𝟏𝟏
𝟐𝒙 ≥ 𝟏𝟏 − 𝟓 𝟐𝒙 ≤ −𝟏𝟏−. 𝟓
𝟐𝒙 ≥ 𝟔 𝟐𝒙 ≤ −𝟏𝟔
𝒙 ≥
𝟔
𝟐
𝒙 ≤ −
𝟏𝟔
𝟐
𝒙 ≥ 𝟑 𝒙 ≤ −𝟖
𝑆1 = [3, ∞) 𝑆2 = (−8, ∞)
Bibliografía.
 Temas Selectos de Matemática: Oteiza, Lam, Hernández y otros:1997.
−1/5 1
𝑆1 𝑆2
-8 3

9.  Algebra de Baldor 1969
 Calculo James Stewart 7ma Edicion:2010