Este documento trata sobre intervalos y desigualdades en los números reales. Explica cómo ordenar números en una recta numérica, define intervalos y describe operaciones con ellos como unión e intersección. Luego, introduce desigualdades lineales y no lineales, resolviéndolas y explicando propiedades como cómo se mantienen al sumar, multiplicar o aplicar raíces los términos. Finalmente, cubre desigualdades con valor absoluto.

1. Intervalos y Desigualdades
Cuarto Medio Electivo

2. 1. Orden en los números reales
• Ordena los siguientes valores 3; −3;
1
4
; 8; 1; −
2
3
; 6
• Si a y b son dos números en una recta numérica, donde a es menor o igual
(≤) que b, se tiene:
a < b V a = b
• De manera análoga, se establece la relación mayor o igual (≥) cuando:
b > a V a = b

3. Evalúa sí las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a) _____ En una recta numérica, todo número situado a la izquierda
de otro es menor que él.
b) _____ En una recta numérica, todo número Situado a la derecha
de otro es menor que él.
c) _____ En una recta numérica, todo número situado a la derecha
de otro es mayor que él.
d) _____ Todo número positivo es mayor que cero.
e) _____ Todo número negativo es menor que cero.
f) _____ Si a ≤ b entonces (b - a) ≤ 0,
g) _____ Si (b - a) ≥ 0 entonces a ≥ b.

4. 2. Intervalo
Se define como intervalo al
conjunto de números reales
que se encuentran entre
otros dos reales dados.

5. Expresa como intervalo los siguientes conjuntos y represéntalos gráficamente.
• 𝑥 ∈ ℝ −3 ≤ 𝑥 < 4
• 𝑥 ∈ ℝ 0 < 𝑥 ≤ 5
• 𝑥 ∈ ℝ
1
2
< 𝑥 <
3
4
• 𝑥 ∈ ℝ
−5
4
≤ 𝑥 ≤ 0
• 𝑥 ∈ ℝ 1 ≤ 𝑥
• 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 <
4
9

6. 3. Unión e intersección de intervalos
• La unión de dos o más intérnalos corresponde a la sección que
considera a todos los elementos de ambos conjuntos (los elementos
repetidos se consideran solo una vez).
Ejemplo: (-3,2] U [-1,3)
La intersección de dos o más intervalos corresponde a la sección que
considera a todos los elementos comunes a cada intervalo.
Ejemplo: (-3,2] ∩ [-1,3)
(-3,3)
[-1,2]

7. Representa. Luego, escribe el conjunto representado.
• ] − 4,1[ U [−3,2[
• ]-∞,1] ∩ [-5,-1[
• −
2
5
, 2 U
1
2
, +∞
• ]-5,3] ∩ −∞, −2

8. Expresa como intervalos. Luego, representa el conjunto.
• 𝑥 ∈ ℝ
−4
5
< 𝑥 ≤ −
3
8
∪ 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≥ −
1
2
• 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≥
45
100
∩ 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤
4
10
• 𝑥 ∈ ℝ
−5
2
≤ 𝑥 ≤ −
1
3
∪ 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≥
2
3
• 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ −
7
3
∩ 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 ≥ −
6
3

9. 4. Desigualdades Lineales
Se denomina desigualdad a la expresión que permite establecer una
relación utilizando los siguientes signos:
< (menor que). ≤ (menor o igual que).
> (mayor que). ≥ (mayor o igual que).
Una desigualdad entre números reales es verdadera si se cumple la
relación establecida entre ellos.

10. Evalúa si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
• 0,06 >
6
10
• 2,3 +
3
4
< 3,5
• 23
− 4 3
≥
15
4
• 16
+ 4 −2
≥ 3−4
• 5 ⋅ 42 − 16 2 ≤ 3
7
2
•
2
3
⋅ 12 − 6 3 < −2
5
3
• −
1
4
+ 22
< −4
1
4
+
1
5
•
4
5
⋅ 6 −
12
6
2
≥ 2
5
3
+
1
3

11. Propiedades de las Desigualdades
1. Si a ambos miembros de una desigualdad se les suma o se les resta
un mismo número real, la desigualdad mantiene su sentido.
𝑎 ≤ 𝑏 ⇔ 𝑎 ± 𝑐 ≤ 𝑏 ± 𝑐; ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ
2. Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por
un mismo número real positivo, la desigualdad se mantiene.
𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑐 > 0 ⇒ 𝑎 ⋅ 𝑐 ≤ 𝑏 ⋅ 𝑐 ∨
𝑎
𝑐
≤
𝑏
𝑐

12. Propiedades de las Desigualdades
3. Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por
un número real negativo, la desigualdad se invierte.
𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑐 < 0 ⇒ 𝑎 ⋅ 𝑐 ≥ 𝑏 ⋅ 𝑐 ∨
𝑎
𝑐
≥
𝑏
𝑐
4. Toda desigualdad es equivalente a decir que la diferencia entre el
miembro mayor y el menor es siempre mayor o igual que cero.
𝑎 ≤ 𝑏 ⇔ 𝑏 − 𝑎 ≥ 0 ∨ 0 ≤ 𝑏 − 𝑎

13. Propiedades de las Desigualdades
5. Si cada miembro de una desigualdad de números reales positivos se
transforma en su inverso multiplicativo, la desigualdad se invierte.
𝑎 ≤ 𝑏 ⇔
1
𝑎
≥
1
𝑏
; ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+
6. Si se suman, respectivamente, los miembros de dos o más
desigualdades del mismo sentido se obtiene otra desigualdad que
mantiene el sentido de las anteriores.
Si
𝑎 ≤ 𝑏
𝑐 ≤ 𝑑
⇒ 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑑; ∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ

14. Propiedades de las Desigualdades
7. Si se multiplican, respectivamente, los miembros de dos o más
desigualdades se obtiene otra desigualdad que mantiene el sentido
de las anteriores.
Si
𝑎 ≤ 𝑏
𝑐 ≤ 𝑑
⇒ 𝑎 ⋅ 𝑐 ≤ 𝑏 ⋅ 𝑑; ∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ+
8. Si a ambos miembros de una desigualdad de números reales
positivos se les extrae su raíz cuadrada, se obtiene otra desigualdad
del mismo sentido que la inicial.
𝑎 ≤ 𝑏 ⇒ 𝑎 ≤ 𝑏; ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ0
+

15. Resuelva las siguientes desigualdades lineales
• 3𝑥 < 6
• 5𝑥 > 15
• −2𝑥 > 14
• 4𝑥 − 5 ≤ 𝑥 + 1
• 7𝑥 − 4 > 3𝑥 − 8
• 7𝑥 + 2 ≤ 5𝑥 + 6
•
3
4
𝑥 −
5
8
<
1
2
𝑥 +
3
8
•
1
2
𝑥 −
1
3
<
3𝑥
4
+
7
6
•
4
7
𝑥 +
3
4
≥
1
2
𝑥 +
1
4
• 𝑥 + 6 > 5𝑥 − 2

16. 5. Desigualdades No Lineales
Son aquellas que se pueden reducir a dos o más desigualdades lineales,
mediante factorización u otro método. Generalmente en uno de los
lados se deja el valor cero, para encontrar el conjunto solución.
𝑥 + 6 ⋅ 𝑥 − 2 > 6𝑥 − 9
𝑥2 + 4𝑥 − 12 > 6𝑥 − 9
𝑥2
− 2𝑥 − 3 > 0
𝑥 + 1 ⋅ 𝑥 − 3 > 0
𝑥 = 3 ∧ 𝑥 = −1
Intervalo −∞, −1 −1, −3 3, ∞
Signo de 𝑥 + 1 − + +
Signo de 𝑥 − 3 − − +
Signo de 𝑥 + 1 ⋅ 𝑥 − 3 + − +
−∞, −𝟏 ∪ 𝟑, ∞

17. Resuelva las siguientes desigualdades no lineales
•
2𝑥+1
𝑥−3
− 3 > 0
•
𝑥+3
𝑥−5
≥ 0
• 2𝑥 − 1 ⋅ 𝑥 − 3 ⋅ 3𝑥 − 16 < 0
• 3𝑥2
≥ 2𝑥 − 5

18. Propiedades de las Desigualdades
Índice Desigualdad
Par
𝑛 = 2𝑘
∀ 𝑘 ∈ ℤ
𝑛 > 0
(+)
Propiedad Propiedad
𝟎 ≤ 𝒂 ≤ 𝒃 ⇒ 𝟎 ≤ 𝒂 𝒏
≤ 𝒃 𝒏
𝒂 ≤ 𝒃 ≤ 𝟎 ⇒ 𝒂 𝒏
≥ 𝒃 𝒏
≥ 𝟎
𝑛 < 0
(-)
Propiedad Propiedad
𝟎 ≤ 𝒂 ≤ 𝒃 ⇒ 𝒂 𝒏
≥ 𝒃 𝒏
≥ 𝟎 𝒂 ≤ 𝒃 ≤ 𝟎 ⇒ 𝟎 ≤ 𝒂 𝒏
≤ 𝒃 𝒏
Índice Desigualdad
Impar
m = 2𝑘-1
∀ 𝑘 ∈ ℤ
m > 0
(+)
Propiedad Propiedad
𝟎 ≤ 𝒂 ≤ 𝒃 ⇒ 𝟎 ≤ 𝒂m ≤ 𝒃m
𝒂 ≤ 𝒃 ≤ 𝟎 ⇒ 𝒂m ≤ 𝒃m ≤ 𝟎
m < 0
(-)
Propiedad Propiedad
𝟎 ≤ 𝒂 ≤ 𝒃 ⇒ 𝒂m ≥ 𝒃m ≥ 𝟎 𝐛 ≤ 𝐚 ≤ 𝟎 ⇒ 𝟎 ≥ 𝒃m ≥ 𝒂m

19. Desigualdades y Valor Absoluto (módulo)
Se denomina valor absoluto de un número |x| a la magnitud de dicho
número sin considerar su signo.
Así, el valor absoluto de un número x está dado por:
𝑥 =
x, si 𝑥 > 0
0, 𝑠𝑖 𝑥 = 0
−𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
• EI valor absoluto de un número mayor o igual que cero es el mismo número.
• El valor absoluto de un número menor que cero es el inverso aditivo del mismo número.

20. Propiedades de las Desigualdades con Valor Absoluto
1. − a ≤ a ≤ a, ∀a ∈ ℝ
2. 𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏 ; ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ (Desigualdad Triangular)
3. 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑎 ⋅ |𝑏|; ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ