Paso 4

1. Unidad 2 - Análisis de Límites y Continuidad
Paso 4. Desarrollar trabajo colaborativo unidad 2
Presentado por:
Edwin Enrique Orozco
Johann Alberto Garzón
Juan Carlos Aguirre
Oscar Daniel Molina
William Herrera
Presentado al tutor:
Carlos Eduardo Otero Murillo
Curso Cálculo Diferencial
Código del curso: 100410
GRUPO 3
Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD
Vicerrectoría Académica y de Investigación
Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería
2018

2. INTRODUCCIÒN
La expresión límite de una función se utiliza en el cálculo diferencial matemático y refiere a
la cercanía entre un valor y un punto, la idea central es comprender como cambian las
condiciones en un sistema de plano cartesiano cuando las variables x cambian, el límite en un
punto x referente a y en infinito intuyendo el mismo dada una tabla de valores o una gráfica.
Resulta de vital importancia distinguir las diferentes aplicaciones o tipos de límites tales
como: limites por sustitución, límites al infinito, intermediación de límites propiedades de los
límites, límites logarítmicos, continuidad de funciones.

3. Estudiante 1- Oscar Molina
FASE 1 y 2
1. Principio de sustitución.
lim𝑥→2
√9+𝑥2
𝑥−3
=
√9+22
2−3
=
√9+4
−1
=
3,61
−1
= −3,61
2. Forma indeterminada.
lim𝑥→2
𝑥−2
𝑥2+𝑥−6
=
2−2
22+2−6
=
0
0
lim
𝑥→2
𝑥 − 2
𝑥2 + 𝑥 − 6
𝑥 − 2
Factorización:
𝑥2
+ 𝑥 − 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
lim
𝑥→2
𝑥 − 2
(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
lim𝑥→2 = (𝑥 + 3) = lim𝑥→2 = (2 + 3) = lim𝑥→2 = 5
3. Límites al infinito
lim
𝑛→∞
4𝑥5
− 6𝑥4
+ 3𝑥2
3𝑥3 + 5𝑥2 + 6𝑥

4. lim
𝑛→∞
4𝑥5
𝑥5 −
6𝑥4
𝑥5 +
3𝑥2
𝑥5
3𝑥3
𝑥5 +
5𝑥2
𝑥5 +
6𝑥
𝑥5
lim
𝑛→∞
4 −
6
𝑥
+
3
𝑥3
3
𝑥2 +
5
𝑥3 +
6
𝑥4
lim𝑛→∞
4
0
= ∞
4. Límites de funciones trigonométricas
lim
𝑥→1
6 cos(𝑥 − 1)
6 cos(1 − 1) = 6 cos(0) = 6(1) = 6
X_ _ _> 0
Es decir que cuando X tiende a 1 la función se va acercando cada vez más al valor 6.
Cos (0) = 1

5. Fase 2
Cuando a = -1, habrá una continuidad:

6. Fase 3: Corresponde a un ensayo no menor a una hoja de extensión debidamente citado y
referenciado donde se argumente claramente cómo aplicará en el desarrollo profesional los
límites y la continuidad.
Como aplicaré en el desarrollo de mi vida profesional los límites de continuidad.
Muchas personas tienden a resistirse al desarrollo en el estudio de las matemáticas y sobre
todo a ramas como el cálculo de funciones como los límites y la continuidad, expresando en
el peor de los casos “esto para que sirve en la vida” no sabiendo que la aplicación de estas
funciones es más común de lo que creemos. Otras, por el contrario, sienten una gran pasión
por los números, bien sea porque sus profesiones y actividades cotidianas están relacionadas
con esta ciencia o porque le encuentran utilidad en su vida diaria y gusto por aprovechar los
beneficios que nos brinda esta ciencia.
Una de las funciones matemáticas más importantes sin lugar a dudas para calcular cualquier
proyección son el principio de sustitución, límites al infinito o funciones trigonométricas o en
resumidas cuentas el límite matemático. En términos generales, la palabra límite hace
referencia a algo que no puede exceder ciertas demarcaciones o áreas. Los límites tienen gran
aplicación en diferentes áreas de las matemáticas y como las matemáticas son una ciencia tan
útil en la vida cotidiana, no está de más comprender ese concepto matemático y sus usos,
inclusive en la vida cotidiana. Posiblemente ya habrás escuchado hacer referencia a límite de
una función o límite de una sucesión.
Un ejemplo claro aplicable consiste en determinar por medio de un estudio como cambian las
condiciones cuando las variables cambian, a medida que los parámetros de una sucesión o
función se acercan a determinado valor las tendencias tienden a cambiar y la finalidad es
determinar los puntos específicos que sufren cambios cuando los valores iniciales son
reemplazados por otros valores y se evidencias entre otros en los puntos de intersección en los
planos cartesianos. En casos puntuales lo aplico en la economía cuando realizo proyección de
ingresos y visualizo los gastos variables. Cuando cálculo el limite lo que quiero es identificar
a que valor tiende el valor de una función.
En el desarrollo de mi actividad profesional en particular como tal aplico los límites y la
continuidad en las proyecciones de consumo de diferentes productos con determinadas
variables que en este caso son diferentes equipos en diferentes escenarios y en determinado
tiempo, también es muy común la aplicación en la elaboración del presupuesto anual de
consumos e ingresos proyectando, identificando en un plano la necesidad de utilización de
cada producto para suplir el normal funcionamiento de la producción, en resumidas cuentas es
determinar con distintas variables en un determinado tiempo el punto de acercamiento para
todos las necesidades.

7. Estudiante 2- Juan Carlos Aguirre
Fase 1
1
lim
𝑥→1
𝑥2
+ 3𝑥 − 5
𝑥 − 1
Se aplica la definición de límite para mirar el grado de indeterminación
lim
𝑥→1
𝑥2
+ 3𝑥 − 5
𝑥 − 1
=
1 + 3 − 5
1 − 1
= −
1
0
Como el polinomio cuadrático no se puede reducir, se utiliza la definición de límite como
producto.
Quedando que:
lim
𝑥→1
(𝑥2
+ 3𝑥 − 5) ∗ (lim
𝑥→1
1
𝑥 − 1
)
Aplicando la definición de límite en el primer intervalo nos queda que:
lim
𝑥→1
(𝑥2
+ 3𝑥 − 5) = −1
Para el otro limite se tiene que
lim
𝑥→1−
1
𝑥 − 1
= −∞
Finalmente se tiene que:
lim
𝑥→1
(𝑥2
+ 3𝑥 − 5)/(x-1) = −1 ∗ (−∞) = ∞
2
lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)2
𝑥2 − 4
Se presenta indeterminación al evaluar el limite
lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)2
𝑥2 − 4
=
(2 − 2)2
4 − 4
= 0/0
Factorizando

8. lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)(𝑥 − 2)
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
Eliminando términos semejantes
lim
𝑥→2
𝑥 − 2
𝑥 + 2
lim
𝑥→2
𝑥 − 2
𝑥 + 2
=
2 − 2
2 + 2
= 0
3
lim
𝑥→∞
𝑥4
+ 3𝑥
3𝑥3 − 4𝑥2
Aplicamos la definición de límite para demostrar la indeterminación
lim
𝑥→∞
∞4
+ 3∞
3∞3 − 4∞2
= ∞
∞
⁄
Se procede a dividir toda la expresión por 𝑥3
Ahora
lim
𝑥→∞
𝑥4
+ 3𝑥
3𝑥3 − 4𝑥2
=
𝑥4
𝑥3 +
3𝑥
𝑥3
3𝑥3
𝑥3 −
4𝑥2
𝑥3
=
x + 0
3 − 0
=
∞
3
= ∞
4
lim
𝑥→0
sin(5𝑥)
Se emplea directamente la definición de limite ya que no se presenta ninguna
indeterminación.
lim
𝑥→0
sin(5(0)) = 0

9. Fase 2

10. Fase 3
Ensayo
Los límites matemáticos pueden ser utilizados, por ejemplo, para saber el nivel de producción
y encontrar el menor costo posible para generar mayor ganancia.
El límite nos ayuda a conocer el valor máximo o mínimo que puede adquirir el dinero en el
mercado financiero en un determinado periodo. Igualmente, los límites permiten hacer
cálculos para conocer cuándo se agotará un recurso, como por ejemplo el petróleo según el
consumo en un determinado periodo de tiempo, en fin, la utilización de los limites en nuestra
profesión puede ser muy amplia y siempre muy aplicativo en pro de mejorar los procesos.
En esta secuencia se pretende introducir las propiedades de límites de una función, cuando la
variable independiente x tiende a infinito o a algún valor numérico, al implementar un
problema que caracterice tal situación, y a su vez aplicar las propiedades por medio de
ejercicios prácticos de cálculo para la asimilación de contenidos.
En análisis real y complejo, el concepto de límite es la piedra de toque que formaliza la
noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a
medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado.
Con el objetivo de generar una buena calidad en nuestra empresa nuestros costos, las
ganancias de nuestra empresa es muy importante tener en cuenta de que estas funciones de los
limites matemáticos es la que nos ayuda a saber nuestro nivel en la empresa de producción y
pues también encontrar el menor costo posible para tener mayor ganancia.

11. Estudiante 2- Edwin Orozco Tarazona (Repitió el ejercicio)
1. Principio de sustitución
lim
𝑥→1
𝑥2
+ 3𝑥 − 5
𝑥 − 1
lim
𝑥→1
(1)2
+ 3(1) − 5
1 − 1
=
1 + 3 − 5
0
=
−1
0
= 𝐼𝑛𝑑.
2. Forma mindeterminada
lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)2
𝑥2 − 4
lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)(𝑥 − 2)
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)(𝑥 − 2)
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)
(𝑥 + 2)
=
(2 − 2)
(2 + 2)
=
0
4
= 0
3. Límites al infinito
lim
𝑥→∞
𝑥4
− 3𝑥
3𝑥3 − 4𝑥2
lim
𝑥→∞
𝑥4
𝑥4 −
3𝑥
𝑥4
3𝑥3
𝑥4 −
4𝑥2
𝑥4
lim
𝑥→∞
𝑥4
𝑥4 −
3𝑥
𝑥4
3𝑥3
𝑥4 −
4𝑥2
𝑥4
lim
𝑥→∞
1 −
3
∞
3
∞
−
4
∞
= 1

12. 4. Límites de funciones trigonométricas
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 5𝑥
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 5(0) = 𝑠𝑒𝑛 (0) = 0
5. fase II-Función a trozos geómetra

17. Estudiante 3- Johann Garzón
Fase 1. Principio de sustitución.
lim𝑥→−3(3𝑥 − 7)= (3(3)-7) = (9-7) = 2
5. Forma indeterminada.
lim𝑥→−1
(𝑥+1)3
𝑥3+1
=
((−1)+1)3
(−1)3+1
=
0
0
lim
𝑥→−1
(𝑥 + 1)3
𝑥3 + 1
Factorial primer termino
(𝑥 + 1)3
(𝑥2
+ 2𝑥 + 1) (𝑥 + 1)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
Factorial Segundo termino
𝑥3 + 1
(𝑥2
+ 𝑥 + 1)
Reemplazamos (-1)
lim𝑥→−1
(𝑥+1)3
𝑥3+1
=
(𝑥−1)(𝑥+1)(𝑥−1)
(𝑥2+𝑥+1)(𝑥+1)
=
(𝑥−1)(𝑥−1)
(𝑥2+𝑥+1)
=
((−1)−1)((−1)−1)
((−1)2+(−1)+1)
=
(−2)(−2)
(1−1+1)
=
4
1
= 4

18. 6. Límites al infinito
lim
𝑛→∞
5𝑥2
+ 3𝑥 + 1
2𝑥2 − 4𝑥 − 5
lim
𝑛→∞
5𝑥2
𝑥2 +
3𝑥
𝑥2 +
1
𝑥2
2𝑥2
𝑥2 −
4𝑥
𝑥2 −
5
𝑥2
lim
𝑛→∞
5 +
3
𝑥
+
1
𝑥2
2 −
4
𝑥
−
5
𝑥2
lim
𝑛→∞
5 + 0 + 0
2 − 0 − 0
lim
𝑛→∞
=
5
2
7. Límite de funciones Trigonométricas
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 5𝑥. 𝑐𝑜𝑠 2𝑥
lim𝑥→0 𝑠𝑒𝑛 5(0). 𝑐𝑜𝑠 2(0) = 0
Entonces
lim𝑥→0 5𝑥
(𝑠𝑒𝑛5𝑥)
5𝑥
. 2𝑥
(𝑐𝑜𝑠2𝑥)
2𝑥
lim𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
= 1
lim𝑥→0
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥
= 1

19. lim𝑥→0
(𝑠𝑒𝑛5𝑥)
𝑥
.
(𝑐𝑜𝑠2𝑥)
𝑥
lim𝑥→0 (1)(1)= 1
FASE 2
8. Función a trozos Geogebra

21. FASE 3
Ensayo
Los limites se calcula para estimar que tan rápido se enfría un pavo al sacarlo de un horno,
para explicar lo que en realidad un velocímetro nos muestra en un automóvil y para estimar la
corriente eléctrica que fluye del capacitor a la unidad de destello (flash de una cámara).
Un ejemplo muy común es en la vida de un ingeniero en donde el tendrá que medir y calcular
el límite cuando una población de bacterias a través de un determinado tiempo aumentara su
población. También en ingeniería civil cuando la superficie de un terreno os tiene que servir
para dicha construcción y medir el límite con que presión de un taladro debe perforar la tierra.
Los límites en cálculo diferencial nos interesa mucho en nuestra carrera por eso la definición
de función matemática (la relación f de los elementos de un conjunto A con los elementos de
un conjunto B). La expresión límite de una función se utiliza en el cálculo diferencial
matemático y refiere a la cercanía entre un valor y un punto.
El límite es muy importante a la hora de estudiar funciones porque nos introduce al mundo del
“cálculo infinitesimal”, una herramienta muy importante tanto para las matemáticas como
para la física. Cuando calculo el límite lo que quiero averiguar es a qué valor tiende el valor
de una función. El límite es siempre una tendencia: x sólo se acerca al valor al que tiende pero
nunca puede ser él mismo.
Los Límite matemáticos. En análisis real y complejo, el concepto de límite es la piedra de
toque que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una
sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a
un determinado valor.

22. Estudiante 4

23. Estudiante 5- William Herrera
1- Principio De Sustitución
lim
𝑋→5
3 − √4𝑋 + 1
𝑋2 − 2𝑋
Sustituyendo el valor de 𝑥 = 5 en:
lim
𝑋→5
3 − √4𝑋 + 1
𝑋2 − 2𝑋
=
3 − √4(5) + 1
(5)2 − 2(5)
=
3 − √4(5) + 1
(5)2 − 2(5)
=
3 − √20 + 1
25 − 10
=
3 − √21
15
Entonces:
lim
𝑋→5
3 − √4𝑋 + 1
𝑋2 − 2𝑋
=
3 − √21
15
2- Función Indeterminada
lim
𝑋→27
√𝑥
3
− 3
𝑥 − 27
Sustituyendo el valor de 𝑥 = 27 directamente tenemos
lim
𝑋→27
√𝑥
3
− 3
𝑥 − 27
=
0
0
Se obtiene una indeterminación, la cual se debe evitar racionalizando el límite.
Se tiene una diferencia de cubos:
𝑎3
− 𝑏3
= (𝑎 − 𝑏)(𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2
)
Realizando la diferencia de cubos tenemos:

24. lim
𝑋→27
√𝑥
3
− 3
𝑥 − 27
= lim
𝑋→27
(√𝑥
3
− 3)(√𝑥2
3
+ 3√𝑥
3
+ 9)
(𝑥 − 27)(√𝑥2
3
+ 3√𝑥
3
+ 9)
Como:
(√𝑥
3
− 3)(√𝑥2
3
+ 3√𝑥
3
+ 9) = (√𝑥
3
)3
− (3)3
Entonces:
lim
𝑋→27
(√𝑥
3
)3
− (3)3
(𝑥 − 27)(√𝑥2
3
+ 3√𝑥
3
+ 9)
= lim
𝑋→27
(𝑥 − 27)
(𝑥 − 27)(√𝑥2
3
+ 3√𝑥
3
+ 9)
Se tiene que:
(𝑥− 27)
(𝑥− 27)
=1, entonces:
lim
𝑋→27
1
(√𝑥2
3
+ 3√𝑥
3
+ 9)
Ahora sustituyendo el valor de 𝑥 = 27 tenemos:
lim
𝑋→27
1
(√𝑥2
3
+ 3√𝑥
3
+ 9)
=
1
(√(27)2
3
+ 3√27
3
+ 9)
1
(√729
3
+ 3√27
3
+ 9)
=
1
(9 + 9 + 9)
=
1
27
Luego el:
lim
𝑋→27
√𝑥
3
− 3
𝑥 − 27
=
1
27

25. 3- Límites Al Infinito
lim
𝑋→∞
2𝑥 + 3
3𝑥 + 1
Como en el lim𝑋→∞
2𝑥+3
3𝑥+1
=
∞
∞
, tenemos una indeterminación, la cual se busca evitar
dividiendo la función que corresponde al límite, entre el exponente mayor que esta contenga.
Entonces:
lim
𝑋→∞
2𝑥 + 3
3𝑥 + 1
= lim
𝑋→∞
2𝑥 + 3
𝑥
3𝑥 + 1
𝑥
= lim
𝑋→∞
2𝑥
𝑥
+
3
𝑥
3𝑥
𝑥
+
1
𝑥
Como:
𝑥
𝑥
= 1 lim
𝑥→∞
𝐴
𝑋𝑛
= 0
Luego:
lim
𝑋→∞
2𝑥
𝑥
+
3
𝑥
3𝑥
𝑥
+
1
𝑥
= lim
𝑋→∞
2 +
3
𝑥
3 +
1
𝑥
Tenemos:
lim
𝑥→∞
𝐴
𝑋𝑛
= 0
Por lo tanto:
lim
𝑋→∞
2 +
3
𝑥
3 +
1
𝑥
= lim
𝑋→∞
2 + 0
3 + 0
= lim
𝑋→∞
2
3
=
2
3
Entonces:
lim
𝑋→∞
2𝑥 + 3
3𝑥 + 1
=
2
3

26. 4- Límite De Funciones Trigonométricas
lim
𝑋→0
𝑠𝑒𝑛(4𝑥)
3𝑥
Sustituyendo 𝑥 = 0 tenemos:
lim
𝑋→0
𝑠𝑒𝑛(4𝑥)
3𝑥
=
0
0
→ 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
Multiplicando y dividiendo a 𝑠𝑒𝑛(4𝑥) por su ángulo (4𝑥), tenemos:
lim
𝑋→0
(4𝑥) (
𝑠𝑒𝑛(4𝑥)
4𝑥
)
3𝑥
Como:
4𝑥
3𝑥
=
4
3
, entonces:
lim
𝑋→0
(4) (
𝑠𝑒𝑛(4𝑥)
4𝑥
)
3
Tenemos:
lim
𝑋→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
= 1
Luego tenemos:
lim
𝑋→0
(4) (
𝑠𝑒𝑛(4𝑥)
4𝑥
)
3
= lim
𝑋→0
4
3
=
4
3
Entonces:
lim
𝑋→0
𝑠𝑒𝑛(4𝑥)
3𝑥
=
4
3

27. Fase II. Función a trozos en Geogebra
𝑓(𝑥) = {
𝑎𝑥2
− 4
𝑥 − 2
; 𝑠𝑖 𝑥 > 3
−𝑥 ; 𝑠𝑖 𝑥 < 3
Fase 3. En el campo profesional de la ingeniería industrial es de gran importancia,
manejar y conocer los límites y la continuidad ya estos temas permiten crear diseños,
resolver problemas de razonamiento tales como determinar distancias, velocidades,
aceleraciones. Así mismo como en sistemas de transporte de fluidos, como por ejemplo la
ecuación de Navier Stokes que representa la segunda ley de newton aplicada a las
partículas de fluido. Por otro lado aplicado también a empresas para determinar costos,
pérdidas y ganancias, para la distribución en plata, así como la planificación de compras y
producción entre otro o en cualquier área donde se esté desempeñando el cargo de
ingeniero, aunque frecuentemente no nos detenemos a mirar en que parte de nuestra vida
cotidiana aplican estos conceptos e incluso lanzamos expresiones que no son adecuadas
como conocedores de estas conceptos más en esta fase de nuestras vidas, cuando apenas
estamos en la academia. En la academia miramos estos conceptos como aquellos que nos
estimulan el razonamiento lógico, aptitudes matemáticas y en algunos casos en la química.

28. CONCLUSIÓN
El desarrollo del presente trabajo permitió adquirir un conocimiento más amplio acerca de
los límites de funciones reales y funciones trigonométricas, sus propiedades, el cálculo de
los límites y sus aplicaciones en la vida cotidiana.
Después de desarrollada esta actividad se pueden usar aproximaciones adecuadas para
encontrar o sustituir el límite de una función, analizar y determinar los puntos de
continuidad y discontinuidad de una función, calcular límites infinitos, conocer sus
propiedades y variables.
Finalmente se pudieron aplicar los límites e identificar sus características, resolviendo de
este modo los problemas sin la mayor complejidad, así mismo se pudo tener dominio de la
herramienta geogebra. Por otro lado se tuvo una buena comunicación al momento de
llevar a cabo la secuencia de las fases.

29. REFERENCIAS
 Rondón, J. (2010). 100410 – Cálculo Diferencial. Unidad 2 – Análisis de Límites y
Continuidad. Pág. 39-85. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de:
http://hdl.handle.net/10596/4806
 García, G. Y. L. (2010). Introducción al cálculo diferencial. Capítulo 4 – Límites y
Continuidad. Pág. 67-101. México, D.F., MX: Instituto Politécnico Nacional.
Recuperado de:
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2048/login?url=http://search.ebscohost.com/login.
aspx?direct=true&db=edsebk&AN=865890&lang=es&site=eds-live
 Cabrera, J. (2015). OVI - Continuidad en Geogebra. universidad Nacional Abierta y a
Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11623
 García, G. Y. L. (2010). Introducción al cálculo diferencial. México, D.F., MX:
Instituto Politécnico Nacional. Recuperado
de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2048/login?url=http://search.ebscohost.com/lo
gin.aspx?direct=true&db=edsebk&AN=865890&lang=es&site=eds-live
 http://www.aula365.com/post/limites/
 http://www.mundociencia.com/limite-matematico-en-nuestra-sociedad/
 https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial