Ejemplo de apicaciones a derivadas,optimización.

1. Ejemplo 5
Se requiere construir un recipiente cónico de generatriz 6 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el
radio de la base?

2. Ejemplo 5
Se requiere construir un recipiente cónico de generatriz 6 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el
radio de la base?
Desarrollo
Datos del problema,
gráfica y fórmulas que
relacionan las variables.

3. Ejemplo 5
Se requiere construir un recipiente cónico de generatriz 6 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el
radio de la base?
Desarrollo
Datos:
Datos del problema, 6 cm
h
gráfica y fórmulas que
R
relacionan las variables.

4. Ejemplo 5
Se requiere construir un recipiente cónico de generatriz 6 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el
radio de la base?
Desarrollo
Datos:
Datos del problema, 6 cm
h
gráfica y fórmulas que
R
relacionan las variables.
De acuerdo a los datos tenemos que h2 + R2 = 62

5. Ejemplo 5
Se requiere construir un recipiente cónico de generatriz 6 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el
radio de la base?
Desarrollo
Datos:
Datos del problema, 6 cm
h
gráfica y fórmulas que
R
relacionan las variables.
De acuerdo a los datos tenemos que h2 + R2 = 62
Despejando la variable “R2” ⇒ R2 = 36 – h2

6. Ejemplo 5
Se requiere construir un recipiente cónico de generatriz 6 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el
radio de la base?
Desarrollo
Datos:
Datos del problema, 6 cm
h
gráfica y fórmulas que
R
relacionan las variables.
De acuerdo a los datos tenemos que h2 + R2 = 62
Despejando la variable “R2” ⇒ R2 = 36 – h2
V = 1/3π(36 – h2 )h Remplazando “R2” en fórmula de Volumen

7. Ejemplo 5
Se requiere construir un recipiente cónico de generatriz 6 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el
radio de la base?
Desarrollo
Datos:
Datos del problema, 6 cm
h
gráfica y fórmulas que
R
relacionan las variables.
De acuerdo a los datos tenemos que h2 + R2 = 62
Despejando la variable “R2” ⇒ R2 = 36 – h2
V = 1/3π(36 – h2 )h Remplazando “R2” en fórmula de Volumen
V(h) = 1/3π(36h – h3 ) Multiplicando por “h”

8. Ejemplo 5
Se requiere construir un recipiente cónico de generatriz 6 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el
radio de la base?
Desarrollo
Datos:
Datos del problema, 6 cm
h
gráfica y fórmulas que
R
relacionan las variables.
De acuerdo a los datos tenemos que h2 + R2 = 62
Despejando la variable “R2” ⇒ R2 = 36 – h2
V = 1/3π(36 – h2 )h Remplazando “R2” en fórmula de Volumen
V(h) = 1/3π(36h – h3 ) Multiplicando por “h”
V`(h) = 1/3π(36 – 3h2) Derivando la función

9. Ejemplo 5
Se requiere construir un recipiente cónico de generatriz 6 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el
radio de la base?
Desarrollo
Datos:
Datos del problema, 6 cm
h
gráfica y fórmulas que
R
relacionan las variables.
De acuerdo a los datos tenemos que h2 + R2 = 62
Despejando la variable “R2” ⇒ R2 = 36 – h2
V = 1/3π(36 – h2 )h Remplazando “R2” en fórmula de Volumen
V(h) = 1/3π(36h – h3 ) Multiplicando por “h”
V`(h) = 1/3π(36 – 3h2) Derivando la función
Haciendo V`(x) = 0, tenemos 1/3π(36 – 3h2) = 0 ⇒

10. Ejemplo 5
Se requiere construir un recipiente cónico de generatriz 6 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el
radio de la base?
Desarrollo
Datos:
Datos del problema, 6 cm
h
gráfica y fórmulas que
R
relacionan las variables.
De acuerdo a los datos tenemos que h2 + R2 = 62
Despejando la variable “R2” ⇒ R2 = 36 – h2
V = 1/3π(36 – h2 )h Remplazando “R2” en fórmula de Volumen
V(h) = 1/3π(36h – h3 ) Multiplicando por “h”
V`(h) = 1/3π(36 – 3h2) Derivando la función
Haciendo V`(x) = 0, tenemos 1/3π(36 – 3h2) = 0 ⇒ Despejaremos la “h”

11. Ejemplo 5
Se requiere construir un recipiente cónico de generatriz 6 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el
radio de la base?
Desarrollo
Datos:
Datos del problema, 6 cm
h
gráfica y fórmulas que
R
relacionan las variables.
De acuerdo a los datos tenemos que h2 + R2 = 62
Despejando la variable “R2” ⇒ R2 = 36 – h2
V = 1/3π(36 – h2 )h Remplazando “R2” en fórmula de Volumen
V(h) = 1/3π(36h – h3 ) Multiplicando por “h”
V`(h) = 1/3π(36 – 3h2) Derivando la función
Haciendo V`(x) = 0, tenemos 1/3π(36 – 3h2) = 0 ⇒ Despejaremos la “h”
(36 – 3h2) = 0 ⇒

12. Ejemplo 5
Se requiere construir un recipiente cónico de generatriz 6 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el
radio de la base?
Desarrollo
Datos:
Datos del problema, 6 cm
h
gráfica y fórmulas que
R
relacionan las variables.
De acuerdo a los datos tenemos que h2 + R2 = 62
Despejando la variable “R2” ⇒ R2 = 36 – h2
V = 1/3π(36 – h2 )h Remplazando “R2” en fórmula de Volumen
V(h) = 1/3π(36h – h3 ) Multiplicando por “h”
V`(h) = 1/3π(36 – 3h2) Derivando la función
Haciendo V`(x) = 0, tenemos 1/3π(36 – 3h2) = 0 ⇒ Despejaremos la “h”
(36 – 3h2) = 0 ⇒ 36 = 3h2 ⇒

13. Ejemplo 5
Se requiere construir un recipiente cónico de generatriz 6 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el
radio de la base?
Desarrollo
Datos:
Datos del problema, 6 cm
h
gráfica y fórmulas que
R
relacionan las variables.
De acuerdo a los datos tenemos que h2 + R2 = 62
Despejando la variable “R2” ⇒ R2 = 36 – h2
V = 1/3π(36 – h2 )h Remplazando “R2” en fórmula de Volumen
V(h) = 1/3π(36h – h3 ) Multiplicando por “h”
V`(h) = 1/3π(36 – 3h2) Derivando la función
Haciendo V`(x) = 0, tenemos 1/3π(36 – 3h2) = 0 ⇒ Despejaremos la “h”
(36 – 3h2) = 0 ⇒ 36 = 3h2 ⇒ h2 = 12

14. Ejemplo 5
Se requiere construir un recipiente cónico de generatriz 6 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el
radio de la base?
Desarrollo
Datos:
Datos del problema, 6 cm
h
gráfica y fórmulas que
R
relacionan las variables.
De acuerdo a los datos tenemos que h2 + R2 = 62
Despejando la variable “R2” ⇒ R2 = 36 – h2
V = 1/3π(36 – h2 )h Remplazando “R2” en fórmula de Volumen
V(h) = 1/3π(36h – h3 ) Multiplicando por “h”
V`(h) = 1/3π(36 – 3h2) Derivando la función
Haciendo V`(x) = 0, tenemos 1/3π(36 – 3h2) = 0 ⇒ Despejaremos la “h”
(36 – 3h2) = 0 ⇒ 36 = 3h2 ⇒ h2 = 12
Como V`` (h) < 0, tenemos que h = 2√3 es un máximo

15. Ejemplo 5
Se requiere construir un recipiente cónico de generatriz 6 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el
radio de la base?
Desarrollo
Datos:
Datos del problema, 6 cm
h
gráfica y fórmulas que
R
relacionan las variables.
De acuerdo a los datos tenemos que h2 + R2 = 62
Despejando la variable “R2” ⇒ R2 = 36 – h2
V = 1/3π(36 – h2 )h Remplazando “R2” en fórmula de Volumen
V(h) = 1/3π(36h – h3 ) Multiplicando por “h”
V`(h) = 1/3π(36 – 3h2) Derivando la función
Haciendo V`(x) = 0, tenemos 1/3π(36 – 3h2) = 0 ⇒ Despejaremos la “h”
(36 – 3h2) = 0 ⇒ 36 = 3h2 ⇒ h2 = 12
Como V`` (h) < 0, tenemos que h = 2√3 es un máximo
Como R2 = 36 – h2 ⇒

16. Ejemplo 5
Se requiere construir un recipiente cónico de generatriz 6 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el
radio de la base?
Desarrollo
Datos:
Datos del problema, 6 cm
h
gráfica y fórmulas que
R
relacionan las variables.
De acuerdo a los datos tenemos que h2 + R2 = 62
Despejando la variable “R2” ⇒ R2 = 36 – h2
V = 1/3π(36 – h2 )h Remplazando “R2” en fórmula de Volumen
V(h) = 1/3π(36h – h3 ) Multiplicando por “h”
V`(h) = 1/3π(36 – 3h2) Derivando la función
Haciendo V`(x) = 0, tenemos 1/3π(36 – 3h2) = 0 ⇒ Despejaremos la “h”
(36 – 3h2) = 0 ⇒ 36 = 3h2 ⇒ h2 = 12
Como V`` (h) < 0, tenemos que h = 2√3 es un máximo
Como R2 = 36 – h2 ⇒ R2 = 36 – 12 = 24 ⇒

17. Ejemplo 5
Se requiere construir un recipiente cónico de generatriz 6 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el
radio de la base?
Desarrollo
Datos:
Datos del problema, 6 cm
h
gráfica y fórmulas que
R
relacionan las variables.
De acuerdo a los datos tenemos que h2 + R2 = 62
Despejando la variable “R2” ⇒ R2 = 36 – h2
V = 1/3π(36 – h2 )h Remplazando “R2” en fórmula de Volumen
V(h) = 1/3π(36h – h3 ) Multiplicando por “h”
V`(h) = 1/3π(36 – 3h2) Derivando la función
Haciendo V`(x) = 0, tenemos 1/3π(36 – 3h2) = 0 ⇒ Despejaremos la “h”
(36 – 3h2) = 0 ⇒ 36 = 3h2 ⇒ h2 = 12
Como V`` (h) < 0, tenemos que h = 2√3 es un máximo
Como R2 = 36 – h2 ⇒ R2 = 36 – 12 = 24 ⇒ R = 2√6

18. Ejemplo 5
Se requiere construir un recipiente cónico de generatriz 6 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el
radio de la base?
Desarrollo
Datos:
Datos del problema, 6 cm
h
gráfica y fórmulas que
R
relacionan las variables.
De acuerdo a los datos tenemos que h2 + R2 = 62
Despejando la variable “R2” ⇒ R2 = 36 – h2
V = 1/3π(36 – h2 )h Remplazando “R2” en fórmula de Volumen
V(h) = 1/3π(36h – h3 ) Multiplicando por “h”
V`(h) = 1/3π(36 – 3h2) Derivando la función
Haciendo V`(x) = 0, tenemos 1/3π(36 – 3h2) = 0 ⇒ Despejaremos la “h”
(36 – 3h2) = 0 ⇒ 36 = 3h2 ⇒ h2 = 12
Como V`` (h) < 0, tenemos que h = 2√3 es un máximo
Como R2 = 36 – h2 ⇒ R2 = 36 – 12 = 24 ⇒ R = 2√6
El radio de la base para recipiente cónico solicitado es R = 2√6

19. Fin de la presentación