ANOVA

2. Cuando se contrasta la hipótesis
de que dos medias poblacionales
son iguales, utilizamos el árbol
para contrastes, de modo que en
él encontramos las diferentes
alternativas, dependiendo de las
suposiciones de normalidad,
homocedasticidad, independencia
etc.
Ho: A=B
NORMALES
Muestras
pequeñas
Varianzas
desconocidas
Iguales
Test Tc
Distintas
T de Welch
Varianzas
conocidas
Test Z
Muestras grandes
Varianzas
conocidas
o desconocidas
Test Z

3. • Este test permite contrastes de igualdad
de medias para el caso particular que
dispongamos en el estudio de varios
grupos experimentales (más de dos).
1 2 3: ... iHo      
:Ha no todas iguales

4. 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
RiesgotipoI
0 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125
comparaciones
grupos comparaciones riesgo tipo I
2 1 0,05
3 3 0,1426
4 6 0,2649
5 10 0,4013
6 15 0,5367
7 21 0,6594
8 28 0,7622
9 36 0,8422
10 45 0,9006
11 55 0,9405
12 66 0,9661
13 78 0,9817
14 91 0,9906
15 105 0,9954

5. • El análisis de la varianza (ANOVA) nos permite:
• El análisis de la varianza de un conjunto de muestras permite
contrastar la hipótesis nula “todas las medias poblacionales de
las que provienen las muestras son iguales” contra la hipótesis
alternativa “no todas las medias son iguales” con un nivel de
significación prefijado.
1 2 3:Ho    
:Ha no todas iguales
5% 

6. • Conviene señalar que el ANOVA es una prueba a nivel
global. Nos habla de si existen o no diferencias a nivel
global entre las medias pero no nos dice entre cuales se
produce la diferencia.
• Sólo cuando se obtenga una significación de la prueba
global se procederá por distintos métodos a comprobar
que medias son las responsables de la significación.

7. Consideraciones generales
• El nombre se debe al método empleado y no al objetivo
conseguido.
• El método se basa en la pregunta: ¿habrá mayor variación
entre las medias de los distintos grupos que entre los
grupos mismos?.
• Una diferencia entre las medias ha de ser grande con
respecto a la variabilidad inherente a los grupos para que
sea significativa.

8. • Como todas las técnicas estadísticas la actual está basada en
ciertas hipótesis que han de verificarse para que la técnica sea
válida.
• Ahora las condiciones son que se disponga de r muestras aleatorias
independientes, normales de medias y varianzas desconocidas
pero iguales (homoscedásticas).
( , )i iA N  

9. 1 2 3 i r
X11 X21 X31 Xi1 Xr1
X12 X22 X32 Xi2 Xr2
X13
.
X1j X2j X3j Xij Xrj
X1n1 X2n2 X3n3 Xini Xrnr
n1 n2 n3 ni nr
N
xx1. x2. x3. xi. xr.
i = nº de grupos ; j = índice de observación en cada grupo
ni = nº de observaciones en la muestra i ; N = Tamaño global
xi. = media del grupo i ; = Media globalx

10. Ejemplo base: La tabla siguiente ofrece datos de las
disminuciones de actividad de r = 4 grupos de ratas tras
la aplicación de 4 sustancias distintas. Las 24 ratas
totales eran homogéneas y fueron divididas al azar en 4
grupos de 6 ratas.
1 2 3 4
64 78 75 55
72 91 93 66
68 97 78 49
77 82 71 64
56 85 63 70
95 77 76 68
x1.= 72 x2.= 85 x3.= 76 x4. =62

11. La idea base :
La variabilidad total de los datos (Q) es suma de dos
variabilidades: la variabilidad de los datos “dentro” de
cada muestra (que se debe sólo al azar (QD) y la
variabilidad existente entre las muestras (que se debe al
azar y si la hipótesis alternativa es cierta a que las
muestras provienen de poblaciones con distintas
medias(QE).

12. 2
1 1
( )
inr
ij
i j
Q x x
 
 
2
.
1 1
( )
inr
D ij i
i j
Q x x
 
 
2
.
1
( )
r
E i i
i
Q n x x

 

13. AX BX
CX
X
X
AX BX
CX

14. ESTIMULAN TE (tratamiento)
A B C D E
1,53 3,15 3,89 8,18 5,86
1,61 3,96 3,68 5,64 5,46
3,75 3,59 5,7 7,36 5,69
2,89 1,89 5,62 5,33 6,49
3,26 1,45 5,79 8,82 7,81
1,56 5,33 5,26 9,03
7,1 7,49
8,98
Total 13,04 15,60 30,01 47,69 56,81 163,15
Media 2,61 2,60 5,00 6,81 7,10 5,10
Datos reales:

15. Tratamiento
Insulinaliberada
media global
¿Qué observamos?
Variabilidad en las observaciones
¿Por qué?.
Es debida al azar….???
o a que no todos los tratamientos
producen el mismo efecto…???
¿Qué observamos?
Variabilidad en las observaciones
¿Por qué?.
Es debida al azar….???
o a que no todos los tratamientos
producen el mismo efecto…???

16. 2
1 1
( )
inr
ij
i j
Q x x
 
 
2
.
1 1
( )
inr
D ij i
i j
Q x x
 
 
2
.
1
( )
r
E i i
i
Q n x x

 

17. Datos reales: Diagrama de
dispersión
Tratamiento
Insulinaliberada
media global
 yyij
y

18. 2
1 1
( )
inr
ij
i j
Q x x
 
 
2
.
1 1
( )
inr
D ij i
i j
Q x x
 
 
2
.
1
( )
r
E i i
i
Q n x x

 

19. Datos reales: Diagrama de
dispersión
Tratamiento
Insulinaliberada
media global
 iijij yye
y
 yyij

20. 2
1 1
( )
inr
ij
i j
Q x x
 
 
2
.
1 1
( )
inr
D ij i
i j
Q x x
 
 
2
.
1
( )
r
E i i
i
Q n x x

 

21. Tratamiento
Insulinaliberada
media global
 iijij yydentroe
y
 yyij
  yyentree iij

22. • Para obtener variabilidades promedio es
preciso dividir cada suma de cuadrados por sus
grados de libertad, obteniéndose así la
varianza dentro y la varianza entre.
2 D
D
Q
S
N r



2
1
E
E
Q
S
r



2

?

23. Estadístico de contraste
El cociente entre la variabilidad “entre” y la variabilidad “dentro”, una
vez que se han hecho comparables, sigue una distribución F de
Snedecor con r-1 y N-r grados de libertad.
2
2
Dentro
Entre
exp
S
S
F 

24. Regla de decisión
Al comparar la variabilidad entre y la variabilidad dentro:
Rechazaremos la hipótesis nula siempre que la variabilidad “entre” sea
grande, pero utilizando como patrón de comparación la variabilidad
“dentro”.
Es decir, aceptaremos un efecto de los tratamientos siempre que estos
produzcan mayores diferencias en las unidades experimentales que las que
habría sin la aplicación de los mismos.
2
2
Dentro
Entre
exp
S
S
F 

25. Regla de decisión
Si el valor experimental Fexp supera el valor crítico de una F de Snedecor con r-1 y N-r
g.l. al nivel de significación elegido, se rechazará la Ho de igualdad de medias
poblacionales y se aceptará la alternativa de que al menos algún par de medias es
diferente.
pvalor   Rechazo Ho
Contraste Unilateral
superior
F (r 1; r)
1  
Si Fexp.
Rechazo Ho

26. 2 2
0
2 2
:
:
D E
a E D
H
H
 
 


0.05 2
1,2
ˆ
ˆ
E
r N r
D
S
F
S
 
Como se trata de un contraste unilateral superior:
RC :
RA:
 ( 1, )/ r N rF F F  
 ( 1, )/ r N rF F F  
1 2 i r      
notodaslasmediassoniguales

27. Por ello la hipótesis
1 2 ...... r    
es equivalente a
2 2 2
0 : E DH    
y la alternativa Ha: No todas son iguales es equivalente a
2 2
E D 
y así el test de comparación de medias se convierte en un test unilateral
superior.

28. Presentación de resultados
Cuadro del ANOVA
• La información completa del análisis se resume en forma de tabla,
denominada tabla del ANOVA y resume toda la información necesaria
para realizar el correspondiente contraste
ANOVA
Fuente
Sumas de
Cuadrados
g.l. Estimadores Fexp.
Entre r-1
Residual N-r
Total N-1
 
2
1
r
Entre i i
i
Q n x x

 
 
2
1 1
inr
Dentro ij i
i j
Q x x 
 
 
2
/ 1Entre EntreS Q r 
Fexp 
SEntre
2
SDentro
2
2
Dentro DentroS Q N r 
 
2
1 1
inr
Total ij
i j
Q x x
 
 

29. Existen fórmulas abreviadas equivalentes que
facilitan enormemente los cálculos y evitan errores
de redondeo:
2
2
.
2
ij
i j
i
E
i i
ij
i j
Q x C
T
Q C
n
x
Siendo C
N
 
 
 
 
 
 

 

30. Ejemplo base: La tabla siguiente ofrece datos de las
disminuciones de actividad de r = 4 grupos de ratas tras
la aplicación de 4 sustancias distintas. Las 24 ratas
totales eran homogéneas y fueron divididas al azar en 4
grupos de 6 ratas.
1 2 3 4
64 78 75 55
72 91 93 66
68 97 78 49
77 82 71 64
56 85 63 70
95 77 76 68
x1.= 72 x2.= 85 x3.= 76 x4. =62

31. 2
1770
130537,5
24
C  
2
.
1636,5i
i i
E
T
CQ
n
  
Q = 642+……+682 -C= 3654,5
QD =3654,5-1636,5 = 2118
1 2 3 4
64 78 75 55
72 91 93 66
68 97 78 49
77 82 71 64
56 85 63 70
95 77 76 68
n1=6 n2=6 n3=6 n4=6 N=24
T1.= 432 T2. =510 T3.= 456 T4.= 372 1770ij
ij
x 
2
1.
1
31104
T
n

2
2.
2
43350
T
n

2
3.
3
34656
T
n

2
4.
4
23064
T
n

2
. 132274i
i i
T
n

2
2
.
2
ij
i j
i
E
i i
ij
i j
Q x C
T
Q C
n
x
Siendo C
N
 
 
 
 
 
 

 

32. El objetivo es comparar si todos los tratamientos
tienen igual efecto o no:
1 2 3 4:Ho      
:Ha no todas iguales
3654,5 2018,0 1636,5
D EQ Q Q 
  2
2
2
2
2018,0ˆ 100,9
20
1636,5ˆ 545,5
1 3
ˆ
5,41
ˆ
D
D
E
E
E
D
Q
S
N r
Q
S
r
S
F
S
  

  

 
5%(3,20)
1%(3,20)
3,10
5,85
F
F



33. Generalmente los resultados se expresan en forma
de tabla de la forma:
Fuente
variació
n
Suma de
cuadrados
Grados
libertad
Estimadores F experim
Entre 2
.
1636,5i
E
i i
T
Q C
n
  
r-1=3 2ˆ 5 5,
1
4 5E
E
Q
S
r
 

2
2
5 1
ˆ
*
ˆ
,4E
D
S
F
S
 
Dentro D EQ Q Q  = 2118 N-r =20 2
100,ˆ 9D
D
Q
S
N r
 

Total 3654,5Q  N-1= 23

35. ¡¡¡Importante!!
EL ANOVA es una prueba de significación a nivel global
Nos dice si hay diferencias, pero no donde están las diferencias
(es decir que par(es) de medias es (son) diferente(s))
Necesitamos realizar contrastes tras el ANOVA para
encontrar dichas diferencias
(es decir, para encontrar las causas de la significación)

36. Contrastes tras el ANOVA
Sin control riesgo tipo I:……………………………………..LSD
Tamaños iguales: TUKEY
Todas las comparaciones
Tamaños distintos: BONFERRONI
Con control riesgo tipo I
Comparar con un control: DUNNET

37. (test de la diferencia significativa mínima)
a) Hipótesis estadística:
H 0 :  ( ; i, j  1, ..., r)
Ha:
b) Nivel de significación (usuales) 0,05 y 0,01
c) Estadígrafo de Contraste, :
d) Región crítica =
e) Región de aceptación =
i j
i j 
2 1 1
i j
N r
D
i j
x x
t
s
n n



 
  
 
; ;/ N r N rt t t t    
;/ N rt t t 
,i j

38. Si n  n  n i, j; (i, j  1, 2, ...r )j i
t
exp 
Si
Llamando LSD 
Por tanto, la cantidad LSD es la mínima diferencia que tenemos que encontrar
entre las medias muestrales de dos tratamientos (niveles del factor) Para
concluir que las medias son diferentes en sus respectivas poblaciones.
,
2 1 1
i j
N r
D
x x
t
s
n n



 
 
  Cte=C
  0, * Rei j N rX X t C chazoH  
, *N rt C 
Rechazo H0

39. No es más que una t de Student (corregida ya que utilizamos un mejor estimador
de la única varianza poblacional) de modo que al realizar muchas
comparaciones se incrementa el riesgo tipo I.
'
K
 

40. H 0 : ( ; i, j  1, ..., r)
Se elige k= r (número de grupos a comparar), de forma que se
rechaza H0 para cada comparación si texp Tukey
El test de Tukey exige que todos los grupos tengan el mismo
tamaño muestral. Se consigue un
,N r k
0.05 
,i j i j  
i j Ha:
b) Nivel de significación (usuales) 0,05 y 0,01
c) Estadígrafo de Contraste:
,
2 1 1
i j
N r K
D
x x
t
s
n n
K r


 
 
 


41. H 0 : ( ; i, j  1, ..., r)
Se elige k= r(r-1)/2 (número de todas las comparaciones por
parejas), de forma que se rechaza H0 para cada comparación si
texp  tBonferroni (N r ,k ). Consigue un 0.05 
,i j i j  
i j Ha:
b) Nivel de significación (usuales) 0,05 y 0,01
c) Estadígrafo de Contraste:
 ,
2
1
1 1
2
i j
N r K
D
i j
x x
t
r r
s
n n
K



 
  
 


42. Si las unicas comparaciones con sentido son los de los
diferentes tratamientos con el control. Se elige k=(r-1)
(numero de grupos menos uno).
Se rechaza la H0 si texp > tDunnett (N r, k ).
Es conveniente que todos los grupos tengan el mismo
tamaño muestra.

43. Relación penalizaciones