Este documento introduce la probabilidad condicional y provee ejemplos para ilustrarla. La probabilidad condicional se refiere a la probabilidad de que ocurra un evento dado que otro evento ya ha ocurrido. Se define formalmente como la probabilidad de un evento B dado un evento A dividido por la probabilidad de A. Los ejemplos incluyen calcular la probabilidad de que la segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja, y la probabilidad de obtener 3 águilas al lanzar una moneda 3 veces dado que salió por lo menos un águ
Estrategia de prompts, primeras ideas para su construcción
Probabilidad condicional
1. PROBABILIDAD CONDICIONAL
En esta sección examinaremos como la probabilidad de ciertos eventos
depende o se ve influida por la ocurrencia de otros. Para ello veremos algunos
ejemplos.
Ejemplo 27: Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una
bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la
probabilidad de que:
a. La primera semilla sea roja?
b. La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja?
Solución:
a. La probabilidad de que la primera semilla sea roja es , puesto que
hay 10 semillas de flores rojas de un total de 15. Escrito con notación
de probabilidad tenemos:
b. La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por
lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una
condición, la de que la primera semilla sea roja. Este tipo de
probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota
por
, y se lee: la probabilidad de B2 dado R1.
Esta probabilidad
un total de 14 restantes.
, puesto que todavía hay 5 semillas blancas en
Veamos la situación en un diagrama de árbol:
2. Definición de Probabilidad Condicional: Para dos eventos cualesquiera A
y B en un espacio muestra S, tales que P(A) > 0 con P(A) 0, la
probabilidad del evento B dado el evento A, se define
por
.
Ejemplo 28: Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál es la probabilidad
de obtener 3 águilas dado que salió por lo menos un águila?
Solución: El espacio muestra del experimento de lanzar una moneda 3 veces
es
S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}
El evento A de que por lo menos hay un águila en los tres lanzamientos es:
A = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa}
El evento B de que obtenga 3 águilas es B = {aaa}
Por lo tanto, A B ={aaa} y
De donde
Nótese que
es la probabilidad de una ocurrencia en las siete que
son posibles en A; es decir, calcular la probabilidad condicional de B dado A
3. es como calcular la probabilidad de B con relación al conjunto A, como si éste
fuera un nuevo espacio muestra S* = A.
Proposición 3.5: Para dos eventos A y B cualesquiera del espacio muestra S,
Demostración: Para cualquier evento B,
Como los eventos (B A) y (B AC) son mutuamente exclusivos y su unión
es B, entonces por el axioma 3, tenemos:
[3.3]
Despejando P(A B) de la definición de probabilidad condicional, tenemos
P(A B) = P(A) P(B/A) y P(AC B) = P(AC) P (B/AC)
Sustituyendo en [3.3] se tiene P(B) = P(A) P(B/A) + P(AC) P (B/AC).
Obsérvese que en un diagrama de árbol si se multiplica
P(A) P(B/A) = P(A B) y P(AC) P(B/AC) = P(AC B)
Ejemplo 29: Consideremos dos cajas, la caja 1 contiene 3 esferitas blancas y 4
rojas y la caja 2 contiene 8 blancas y 4 rojas. Se selecciona una caja al azar y
luego se extrae una esfera al azar. Hallar la probabilidad de que la esfera sea
blanca.
4. Solución: Sea A el evento de seleccionar la caja 1 y AC el evento de
seleccionar la caja 2, entonces P(A) = P(AC) = 1/2 ya que cualquiera de las
dos cajas tiene la misma probabilidad de ser extraída. Sea B el evento de
seleccionar una esfera blanca, entonces P(B/A) = 3/7 ya que en la caja 1 hay 3
esferas blancas en un total de 7 y P(B/AC) = 8/12 porque en la caja 2 hay 8
esferas blancas en un total de 12.
Ahora bien, por la proposición 3.5 tenemos: