1. 2011 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
RAZONES Y PROPORCIONES
El siguiente documento sobre razones y proporciones presenta
algunas definiciones y ejemplos importantes para el desarrollo
del curso. Espero le desea de apoyo.
d
Matemática Para La Administración II
Profesor Emiliano González Gómez
14/08/2011

2. Pocas veces es cuestión de si puedes o no, de si sabes cómo o no. 2
Usualmente, el ponerte en acción es más que todo una cuestión de motivación.
APRENDIZAJES ESPERADOS DE LA UNIDAD
DISCRIMINAR ENTRE UNA RELACIÓN PROPORCIONAL
O NO PROPORCIONAL.
DISCRIMINAR ENTRE UNA PROPORCIÓN DIRECTA E
INVERSA.
INTERPRETAR INFORMACIÓN EXPRESADA EN
RAZONES.
RESOLVER PROBLEMAS SOBRE RAZONES Y
PROPORCIONES.
RESOLVER PROBLEMAS SOBRE PORCENTAJE E
INTERPRETAR RESULTADOS DE SITUACIONES
DIVERSAS EXPRESADOS EN PORCENTAJE.
Orden en una razón: En
una razón, al anotar las
cantidades, debemos
mantener el orden en que se
Una razón es nombran los elementos que
una comparación se están comparando.
entre dos
cantidades
expresada como
un cociente.
Razones: Una razón es la división de un número sobre otro; normalmente se indica con números
enteros; por ejemplo:
Considerando este ejemplo: El número indicado arriba es el numerador (1), y el que divide es el
denominador (2).
Ejemplo. En un alimento se encuentran 30 gramos de azúcar por cada 3 gramos de grasa;
indicarlo en forma de una razón:
Solución:
Profesor Emiliano González Gómez

3. Pocas veces es cuestión de si puedes o no, de si sabes cómo o no. 3
Usualmente, el ponerte en acción es más que todo una cuestión de motivación.
Ejemplo. Escribe la razón en cada caso.
a.) Un auto con 4 galones de gasolina recorre 72 km.
b.) Una llave gotea 100 c.c. en 5 horas.
c.) Un bus demora 60 minutos en recorrer los 80 kms que separan dos ciudades.
Ejemplo. Manuel realizó la fiesta del curso, en la cual participaron 16 hombres y 20
mujeres.
a) ¿Cuál es la razón entre el número de niñas y de niños?
b) ¿Cuál es la razón entre los varones y el total de participantes?
c) ¿Cuál es la razón entre el número de participantes y el total de niñas?
Ejemplo. Una pareja de abuelos tiene 18 nietos y 20 nietas.
a) ¿Cuál es la razón entre el número de nietas y el total de nietos?
b) ¿Cuál es la razón entre los nietos y el total de nietos?
c) ¿Cuál es la razón entre las nietas y los nietos?
El valor de una razón corresponde al
cociente entre el antecedente y el
consecuente de la razón.
Ejemplo. Determina el valor de cada razón.
1 7
a.) = b.) =
2 9
15 25
c.) = d.) =
20 5
10 0,26
e.) = f.) =
0,5 0,2
0,072 1,25
g.) = h.) =
0,6 0,5
Profesor Emiliano González Gómez

4. Pocas veces es cuestión de si puedes o no, de si sabes cómo o no. 4
Usualmente, el ponerte en acción es más que todo una cuestión de motivación.
9 0,4
i.) = j.) =
0,003 0,02
1 3 5 3
k.) : = l.) : =
2 4 8 10
2 7 1 1
m.) 1 :2 = n.) 1 :1 =
5 10 3 6
Ejemplo. Un terreno rectangular mide 80 metros de largo y 60 metros de ancho y, además su
diagonal mide 100 metros. Escribe la razón entre:
a.) El largo y el ancho.
b.) El ancho y el largo.
c.) La diagonal y el largo.
d.) La diagonal y el ancho.
e.) El perímetro y el largo.
f.) El perímetro y el ancho.
g.) El largo y el perímetro.
h.) El ancho y el perímetro.
i.) Calcula el valor de las razones anteriores.
Nota: La relación entre la población y la superficie recibe el nombre de densidad
poblacional y se expresa con la razón:
Determina la densidad en cada caso:
REGIÓN POBLACIÓN SUPERFICIE
V 1.384.336 hab. 16.396 kms2
VII 836.141 hab. 30.302 kms2
XII 143.198 hab. 132.034 kms2
Profesor Emiliano González Gómez

5. Pocas veces es cuestión de si puedes o no, de si sabes cómo o no. 5
Usualmente, el ponerte en acción es más que todo una cuestión de motivación.
Ejemplo. Una empresa mantiene en efectivo en su cuenta bancaria $400,000; y tiene en deudas
con proveedores en el corto plazo un monto de $850,000; el contador compara mediante una
razón la cantidad de dinero en efectivo sobre las deudas que requieren pago en el corto plazo para
determinar la liquidez de la empresa. ¿Cuál es el resultado?
Solución:
$ en deudas en el corto plazo
Esta razón simplificada por cuestiones didácticas, es usada como un indicador por algunas
instituciones financieras para determinar si conviene darle un préstamo a una empresa; no es el
único criterio determinante por que se analizan varios factores en conjunto, pero si es una razón
importante que se denomina Razón de liquidez.
Ejemplo. La razón a la cual un auto al viajar consume gasolina es de 10 kilómetros por cada litro;
expresarlo como una razón:
Solución:
Una proporción es una igualdad entre dos o más
razones.
En toda proporción el producto de los términos medios es igual al producto de los términos
extremos.
Proporción. La variación proporcional describe relaciones entre dos cantidades o variables; se
puede clasificar en directa, inversa o mixta, en este curso solo se analizarán las dos primeras.
Profesor Emiliano González Gómez

6. Pocas veces es cuestión de si puedes o no, de si sabes cómo o no. 6
Usualmente, el ponerte en acción es más que todo una cuestión de motivación.
Indica si cada par de razones forma o no una proporción.
3 2 5 1 1 20
a.) y b.) y c.) y
4 3 9 2 2 40
0,1 0,4 5 1 4 1 4 3 4 3
d.) y e.) : y : f.) : y :
0,2 0,8 6 3 5 3 5 5 2 4
1 2 2 3 3 9 2,6 1,3
g.) : y : h.) y i.) y
2 3 3 4 0,72 2,6 4,2 2,2
Calcular el valor desconocido en las siguientes proporciones.
12 8 4 10
a.) = b.) =
9 x x 30
15 x 3 12
c.) = d.) =
10 4 8 x
e.) x : 2,7 = 0 : 9 7,4 3,7
f.) =
x 0,5
x 4,5 0,25 0,75
g.) = h.) =
3,2 7, 2 0,36 x
x 0,25 3,4 0,2
i.) = j.) =
0,3 0,75 x 4,6
1 5 3 2 5 1
k.) : = :x l.) :x = :
2 6 4 3 9 2
3 4 1 2 5 1
m.) : =x : n.) 1 : x =2 :
8 9 2 5 8 4
3 2 5 6 1 3
o.) x : = : p.) : = :x
4 3 9 7 2 8
PROPORCIÓN DIRECTA: Variación proporcional directa. Una variable “x” (por ejemplo el
incremento en la deuda de una persona) aumenta de forma directamente proporcional al tiempo
“y” que transcurre sin pagar dicha deuda.
Profesor Emiliano González Gómez

7. Pocas veces es cuestión de si puedes o no, de si sabes cómo o no. 7
Usualmente, el ponerte en acción es más que todo una cuestión de motivación.
Esta relación se expresa mediante el símbolo de la siguiente manera: x  y
Para que dicha expresión sirva en operaciones matemáticas, debemos sustituir el símbolo de
proporcionalidad por una igualdad; al hacerlo debemos incluir lo que se conoce como una
constante de proporcionalidad “k” quedando de la siguiente forma.
Completa el cuadro de acuerdo al cambio monetario entre dólar y peso.
Dolar Pesos $
Dos magnitudes son directamente
1 750 proporcionales cuando al disminuir una la
2 1500 otra también disminuye o al aumentar una
la otra también aumenta en la misma
3 proporción
4
5 En la magnitud directamente proporcional el
6 valor de la razón permanece constante
7
8
9
Ejemplo. Se conoce que la variable financiera “x” aumenta de forma directamente proporcional
al valor de la variable “y”; se sabe que en un mes, la variable x = 10 y la variable y=30; determine
lo siguiente:
a) El valor de la constante de proporcionalidad x = ky.
b) El valor de “x” si el valor de “y” cambia a y=40.
Solución: a) El valor de la constante de proporcionalidad x = ky.
Se plantea la ecuación de proporcionalidad
Profesor Emiliano González Gómez

8. Pocas veces es cuestión de si puedes o no, de si sabes cómo o no. 8
Usualmente, el ponerte en acción es más que todo una cuestión de motivación.
Se sustituyen los datos x = 10; y=30.
Acomodar la ecuación.
Despejar (si 30 multiplica, pasa dividiendo)
Simplificar (este es el resultado del inciso a)
Solución: b) El valor de “x” si el valor de “y” cambia a y=40.
Los datos para este inciso son:
x =?, y = 40, k = 1/3 (NOTA IMPORTANTE: las variables x, y pueden cambiar en el
problema pero la CONSTANTE de proporcionalidad, NO CAMBIA, de ahí su nombre
“Constante”).
Se plantea la ecuación de proporcionalidad
Se sustituyen los datos k = 1/3; y=40.
Acomodar la ecuación para la multiplicación.
Multiplicar (y simplificar cuando se requiera)
El resultado es x = 40/3
Ejemplo. El valor de “z” varía directamente proporcional a la resta de variables “x – w”; en un
momento dado los valores de las variables son: x = 7, w = 4, z = 2.
Determine:
a) La expresión que relaciona las variables.
b) El valor de la constante de proporcionalidad.
c) Calcular el valor de x cuando w = 3 y z = 9.
Profesor Emiliano González Gómez

9. Pocas veces es cuestión de si puedes o no, de si sabes cómo o no. 9
Usualmente, el ponerte en acción es más que todo una cuestión de motivación.
Solución: a) La expresión que relaciona las variables. Se indica que “z” varía directamente
proporcional a “x-w”:
z = k(x-w) (RESPUESTA)
Solución: b) El valor de la constante de proporcionalidad.
En este caso se requieren los datos x = 7, w = 4, z = 2.
z = k(x-w) se escribe la ecuación que relaciona las variables.
se sustituyen los datos.
se realiza la resta indicada
despejar (RESPUESTA)
Solución: c) Calcular el valor de x cuando w = 3 y z = 9.
Ecuación que relaciona las variables
Sustituir los datos z=9, k=2/3, w=3.
Simplificar y despejar x.
Profesor Emiliano González Gómez

10. Pocas veces es cuestión de si puedes o no, de si sabes cómo o no. 10
Usualmente, el ponerte en acción es más que todo una cuestión de motivación.
Resultado x = 33/2.
Ejemplo. Cinco teléfonos celulares cuestan $4000 ¿Cuánto costarán 8 celulares iguales a los
anteriores?
Solución: Para este tipo de problemas debemos comprender que el costo es directamente
proporcional al número de celulares comprados; a ambas cantidades debemos identificarlas con
una variable; podemos usar “c” para el costo y “t” para los teléfonos celulares comprados.
Expresado en forma de ecuación queda: c = kt
El texto indica que t = 5 celulares costaron c = $4000; por lo tanto al sustituir los datos tenemos:
c = kt
$4000 = k(5)
k = 4000/5 = 800. Nótese que es el costo de cada celular. Ahora
¿Cuál será la respuesta? (El alumno debe contestar este ejemplo).
PROPORCIÓN INVERSA
1.) Completa el cuadro.
Dos magnitudes son inversamente
Nº deTrabajadores Nº de días
proporcionales cuando al aumentar el
1 120
2 60 valor de una variable la otra disminuye y
3 40 viceversa.
4 30
En las magnitudes inversamente
5
6 proporcionales el producto de las
8 variables permanece constante.
10
Responde las siguientes preguntas observando el cuadro anterior:
a.) Cuando el número de trabajadores se duplica, ¿qué ocurre con el número de días?
b.) Cuando el número de trabajadores se triplica, ¿qué ocurre con el número de días?
c.) Cuando el número de trabajadores se reduce a la mitas, ¿qué ocurre con el número
de días?
Profesor Emiliano González Gómez

11. Pocas veces es cuestión de si puedes o no, de si sabes cómo o no. 11
Usualmente, el ponerte en acción es más que todo una cuestión de motivación.
d.) Para cada par de valores de trabajador versus día encuentra el producto de ellos
(anótalos al lado de la tabla) ¿es un valor constante ese producto?
e.) Las variables trabajador versus día son directamente o inversamente
proporcionales? ¿Por qué?
Variación proporcional inversa. Se presenta cuando al aumentar una cantidad o variable, hay
otra variable que disminuye su valor.
Si al aumentar el valor de “x” el valor de “y” disminuye de forma proporcional, matemáticamente
la expresión se indica:
Nuevamente para expresarlo como una igualdad se requiere incluir una constante de
proporcionalidad.
O también se puede expresar:
Algunos autores prefieren multiplicar ambas variables, quedando:
Cualquiera de las tres expresiones indicadas anteriormente puede ser usada en la solución de
problemas de proporcionalidad inversa.
Ejemplo. Una variable “x” disminuye al aumentar la variable “y” de forma proporcional, cuando
el valor de x = 20 el valor de y = 60.
Determine lo siguiente:
a) Expresión que relaciona ambas variables.
b) Valor de la constante de proporcionalidad
c) Determine cuál será el nuevo valor de y cuando x = 10
Profesor Emiliano González Gómez

12. Pocas veces es cuestión de si puedes o no, de si sabes cómo o no. 12
Usualmente, el ponerte en acción es más que todo una cuestión de motivación.
Solución:
a) Expresión que relaciona ambas variables
Dado que la relación es inversamente proporcional:
RESPUESTA INCISO A
b) Valor de la constante de proporcionalidad
Se escribe de nuevo la ecuación que relaciona x, y
20*60 =k Se sustituyen los datos x = 20, y = 60.
1200 =k Se multiplica
k =1200 RESPUESTA INCISO B.
c) Determine cuál será el nuevo valor de y cuando x = 10
Se escribe de nuevo la ecuación que relaciona x, y
y*10 = 1200 Se sustituyen los datos y =?, x = 10, k = 1200.
Como 10 multiplica a la “y” pasa dividiendo
y = 120 RESPUESTA INCISO C.
Ejemplo. Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18
hombres para realizar el mismo trabajo?
Solución: Debemos reconocer que la cantidad de hombres es inversamente proporcional al tiempo
que tardan en realizar un trabajo.
Entre más hombres haya trabajando, menor será el tiempo en el cual se tardan en terminarlo.
Número de hombres = n; tiempo tardado en días = d.
Profesor Emiliano González Gómez

13. Pocas veces es cuestión de si puedes o no, de si sabes cómo o no. 13
Usualmente, el ponerte en acción es más que todo una cuestión de motivación.
ACTIVIDAD
Realice los siguientes ejercicios de proporcionalidad directa e inversa.
1. Si y es directamente proporcional a x; determine el valor de y cuando x = 20; si se sabe
que cuando x = 16, el valor de y = 96.
2. Si “u” es directamente proporcional a “x”; determine el valor de “u” cuando x = 15; si se
sabe que cuando x = 10, el valor de u = 120.
3. Si y es INVERSAMENTE proporcional a x; determine el valor de y cuando x = 20; si se
sabe que cuando x = 16, el valor de y = 96.
4. Si “u” es INVERSAMENTE proporcional a “x”; determine el valor de “u” cuando x = 15;
si se sabe que cuando x = 10, el valor de u = 120.
5. Dos llaves de agua idénticas llenan un tanque de agua en 6 horas ¿Cuánto tiempo se
tardarán en llenar el mismo tanque 3 llaves?
6. Por una varilla de cobre de 3 metros de longitud una persona pago $ 2000 cuantos pagará
por 9 metros de longitud.
7. Una persona pinta ¾ de su casa en 6 horas, ¿Cuánto tiempo requiere para pintar toda su
casa?
Profesor Emiliano González Gómez

14. Pocas veces es cuestión de si puedes o no, de si sabes cómo o no. 14
Usualmente, el ponerte en acción es más que todo una cuestión de motivación.
8. Mil acciones de una empresa cuestan $ 420,000; cuanto tendrá que invertir una persona
para comprar 1200 acciones.
9. Una fotografía muestra a un niño parado al lado de un árbol, si en la foto el niño mide
1.5cm y el árbol 8.12cm; cual será la altura real del árbol si el niño mide en realidad
1.10m.
Profesor Emiliano González Gómez