El uso de la logica en la vida cotidiana y las matematicas en la ingeniería de sistemas

1. “AÑO DE LA CONSOLIDACION DEL MAR DE GRAU”
UNIVERSIDAD PRIVADA SAN JUAN BAUTISTA
PROYECTO DE INVESTIGACIÓN FORMATIVA
PLAN DE TRABAJO: LA LOGICA EN LA VIDA COTIDIANA, LAS
MATEMATICAS EN LA INGENIERIA DE COMPUTACION Y SISTEMAS
PRESENTADO POR LOS ESTUDIANTES
DE INGENIERIA DE COMPUTACION Y SISTEMAS
CICLO I
DOCENTE ASESOR
LIC. RUBEN PUMAYAURI ROJAS
TURNO TARDE
ICA-PERÚ
2016

2. ESTUDIANTES
- Maldonado Quintana, Enmanuel Jesús
- Hernández Cancho, Leonardo Martin
- Maldonado Pozo, Ángel Oswaldo
- Vásquez Chumpitaz, Jesús AdhilsonJhair
- Arias Aburto, Ayrthon Isidro
- AstocazaCanchari, Pablo Rigoberto
- Castro Garcia, Willy
- Chumbiauca García, Ángel Renato
- Cupe Soto, Alan Diego
- DallorsoYntimayta, Jhordan Alonso
- Espinal Sauñe, Humberto Enrique
- Lagos Morón, Jesús Gonzalo
- Mayuri Quispe, José Fernando
- Moreno Tipismana, Walther Daniel
- Oquendo Alfaro, Richard Jahir
- Peña Chacaltana, Alexander Alberto
- Peña García, Luis Ángel
- Pereyra Donayre, FransuawtFarid
- Pizarro Cucho, Raquel Esther
- Reyes Guerra, Jean Pierre
- Tacas Misayco, Yovana Marisol
- Villamares Huamán, Juan Carlos

3. I
Este trabajo de investigación está
dedicado a nuestros padres por
depositar su confianza en
nosotros, y por darnos el valor
suficiente para alcanzar nuestras
metas juntos.

4. II
AGRADECIMIENTOS
Primeramente agradecer a Dios por darnos la vida y el cuidado
permanente, que gracias a él nos mantenemos con salud y con ello poder
lograr nuestras metas diarias, Además estamos agradecidos con nuestros
profesores de antropología, metodología y matemática por guiarnos en el
proceso del desarrollo del presente tema, el cual nos permitió culminarlo
con éxito.
A la prestigiosa Universidad Particular “San Juan Bautista “por darnos la
oportunidad de pertenecer a la emblemática Escuela de Ingeniería de
sistemas haciendo accesible a todos los alumnos de tener la posibilidad
de prepararse para un futuro de éxito.

5. III
Índice de Contenidos
Tema Pág.
Dedicatoria..............................................................................................................I
Agradecimiento..................................................................................................... II
Índice de Contenidos ...........................................................................................III
Introducción..........................................................................................................V
CAPITULO I: Marco Teórico:..............................................................................6
1.1. Antecedentes de la Investigación: ......................................................6
1.2. Marco Histórico: .....................................................................................8
CAPITULO II: Marco Conceptual:....................................................................12
2.1. Definición: .............................................................................................12
2.2. El Pensar:..............................................................................................13
2.3. Razonar:................................................................................................15
2.4. El Razonamiento Lógico:....................................................................16
2.5. Los Juicios: ...........................................................................................17
2.6. La Lógica Informal o cotidiana:..........................................................18
2.7. La Lógica Formal o Simbólica: ..........................................................20
2.7.1. Las Proposiciones:.......................................................................23
2.7.2. Valor de una Proposición: ...........................................................25
2.7.3. Proposiciones Simples o Compuestas: ....................................27
2.7.4. Los conectivos Lógicos: ..............................................................30
2.7.5. Tablas de Verdad: ........................................................................38
2.7.6. Tautología, Contradicción y Contingencia:...............................41
2.7.7. Leyes de la Lógica: ......................................................................42
2.8. Algebra Booleana: ...............................................................................43
2.8.1. Magnitudes Analógicas y Digitales:...........................................44

6. IV
2.8.2. Señales Digitales:.........................................................................45
2.8.3. Funciones y Variables Lógicas: .................................................46
2.8.4. Propiedades del Algebra de Boole: ...........................................47
2.8.5. Operaciones Lógicas: ..................................................................50
2.8.6. Compuertas Lógicas:...................................................................51
2.8.7. Compuertas Lógicas Integradas: ...............................................56
CAPITULO III: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:.....................59
3.1. CONCLUSIONES:...............................................................................59
3.2. RECOMENDACIONES:......................................................................60
Fuentes de Información:....................................................................................61
Glosario de Términos:........................................................................................62
Anexos: ................................................................................................................63

7. V
Introducción
Desde sus orígenes, con Aristóteles, a mediados del siglo IV a. C., la lógica
formal o simbólica ha venido alcanzando paulatinamente un elevado nivel
de desarrollo que hoy le permite intervenir en casi cualquier campo de la
actividad humana. En la actualidad es prácticamente imposible concebir
siquiera la idea de la existencia de una rama de las matemáticas que no
emplee, al menos de una manera relacionada, los principios fundamentales
de la lógica formal. Pero, y esto es lo más llamativo del asunto, las
matemáticas no monopolizan los beneficios de tales aplicaciones: la lógica
formal es también utilizada por las ciencias humanas y sociales, siendo
particularmente el derecho una de ellas. El asunto adquiere una relevancia
significativa cuando se comprueba que la lógica formal ha influido
notablemente en la vida diaria del ser humano. Sin embargo, la lógica
formal parte del estudio de las proposiciones y estas por cierto o son
verdaderas o falsas, pero jamás diremos lo mismo de las normas.
La presente investigación, busca mostrar el beneficio que la lógica ejerce
diariamente y como es su funcionamiento directo e indirecto en la sociedad,
así como también, para ejercer una regulación directa de la conducta del
hombre respecto a sus acciones y con sus semejantes.

8. 6
1. CAPITULO I: Marco Teórico:
1.1. Antecedentes de la Investigación:
Lord Acton En: Popper Karl Raimundo. La lógica de la
investigación científica. Madrid, Tecnos, (1962). p.15: “La
lógica es la ciencia que provee a las demás ciencias con un
instrumento fundamental: el método para alcanzar la verdad,
el orden, el sistema y la posibilidad de demostrar la validez,
tanto del conocimiento como de la realidad.”
Según Lord Acton explica que la lógica es el instrumento de
importancia total que se debe tener en cuenta si se quiere
llegar o alcanzar de manera valida la verdad y el
conocimiento.
Morado Estrada Raymundo. “¿Para quién la lógica?”
Cuaderno del Seminario de Pedagogía
Universitaria UNAM, (2005): “La lógica nutre nuestra mente
como las vitaminas y el ejercicio nutren nuestro cuerpo.
Estudiar lógica es como tomar vitaminas para la mente. […]
El ejercicio intelectual requiere entrenamiento y planificación,
requiere que sepamos qué herramientas están disponibles,
cuál es nuestro estado actual, cuántas vitaminas y ejercicios
necesitamos y para qué.”

9. 7
Raymundo Estrada afirma que el uso de la lógica es fuente
vital para el desarrollo de nuestra inteligencia, que debe ser
utilizada correctamente y practicada consecutivamente a
través de nuestra vida diaria.
Sergio Augusto Cardona torres. Lógica y matemática
para ingeniería de sistemas y computación. Colombia,
Armenia, Quindío, (2010): Pretende guiarnos a través de los
métodos y técnicas de enseñanza sobre lógica y
matemáticas, para que los estudiantes de ingeniería de
sistemas puedan comprender los elementos de un problema
lógico mediante teorías y ejercicios.

10. 8
1.2. Marco Histórico:
1.2.1. Edad Antigua:
Aristóteles de Estagira (384a.c. –322 a.c) considerado
como creador de la Lógica, sin embargo sus
predecesores desarrollaron y cultivaron la inferencia y
la prueba en los diferentes debates que por aquel
tiempo realizaban los filósofos.
En el plano sintáctico y semántico del lenguaje
Protágoras fue el primero en estudiar las oraciones,
Platón en su obra Sofista trató también las
afirmaciones y las negaciones, introduce la noción del
método axiomático que más tarde fue completado por
Aristóteles cuyo mérito radica el haber sistematizado la
lógica formal codificando las formas de argumentación
correcta que es donde radica la naturaleza de la lógica
como ciencia. Los escritos lógicos de Aristóteles están
contenidos en su libro Órganon que significa
“instrumento” para pensar correctamente
(propedéutica o metodología), este libro contiene los
cinco tratados siguientes: las categorías, las
proposiciones, los analíticos, (primeros y segundos) los
tópicos y las refutaciones sofísticas. Los analíticos es
el tratado que contiene la naturaleza de la lógica y el

11. 9
Silogismo que trata del razonamiento lógico aristotélico
usando proposiciones categóricas.
Aristóteles aporta a la lógica la introducción del uso de
variables, las proposiciones por su cantidad y su
cualidad, el raciocinio deductivo, las formalizaciones de
la Lógica y el desarrollo silogístico.
Más adelante Teofrasto y Eudemo aportaron los
silogismos hipotéticos condicionales perteneciente a la
lógica de las proposiciones los Megariacos plantean el
significado de las proposiciones “Si - entonces” los
Estoicos desarrolla la lógica Verdadero – Falso de las
proposiciones.
1.2.2. Edad media:
La Lógica Medieval se basa en el trabajo de Aristóteles,
es recogida por los sacerdotes y cultivado mayormente
en los conventos, escuelas y universidades de Europa
Occidental.
Los estudios de los lógicos profesionales estuvo
dirigido al comentario del Órganon destacando Pedro
Hispano y Juan Buridán estableciendo que “de Dos
premisas contradictorias, se puede deducir cualquier
conclusión”.

12. 10
1.2.3. Edad Moderna:
La época moderna marca el inicio de la Lógica
Matemática. El precursor de esta lógica es Guillermo
G. Leibniz quien introdujo el cálculo lógico llamado
“Mathesis Universalis” que fuese operacionalmente
mecánico, inequívoco y no cuantitativo que permitiera
acabar con todas las disputas y controversias. También
desarrolló el cálculo de la Lógica Proposicional. Euler
es otro de los precursores de la Lógica Matemática,
introdujo los diagramas que llevan su nombre para
ilustrar geométricamente los silogismos.
1.2.4. Edad Contemporánea:
El siglo XIX se caracteriza por el nivel de abstracción
que alcanza la lógica matemática destacando Hamilton
sobre la cuantificación de todo o alguno. Augusto de
Morgan considera que la base, común de la lógica
radica en las relaciones de inclusión o exclusión parcial
o total entre clases; George Boole construye la Teoría
de Clases. Venn aclara los procedimientos de Boole
representando los procesos algebraicos en los
diagramas de Venn.
Giussepe Peano da a la lógica el nombre de lógica
matemática creando un lenguaje simbólico para las

13. 11
demostraciones matemáticas propuso el uso de los
puntos auxiliares y un modo de simbolizar los
cuantificadores. Bertrand Russell en su obra “Los
Principios de la matemática” propone que las
matemáticas puedan reducirse a una rama de la lógica
generando en su obra investigaciones sobre la
inferencia y sus respectivas aplicaciones.
En el siglo XX la lógica simbólica, que tanto debía a la
matemática había desembocado, desde principio del
siglo, en cuestiones irresolubles. Esto produjo un
paulatino alejamiento de la lógica con respecto a la
matemática, así como un deslindamiento de las
competencias respectivas. Por un lado, la lógica,
alejándose del excesivo formalismo y simbolismo,
empieza a ocuparse y preocuparse de problemas
semánticos, es decir de las relaciones entre los
símbolos y lo que expresan. Se producen así un
acercamiento de la lógica a la lingüística y a la
epistemología. Filósofos como L. Wittgenstein, R.
Carnap inicialmente bajo la influencia formalista y
logicista, dan un viraje en su filosofar orientándose
hacia preocupaciones lógico - semántica.

14. 12
2. CAPITULO II: Marco Conceptual:
2.1. Definición:
Stephanie Peñaranda Leyte, “Lógica en la Vida Cotidiana”,
(2015) define que: La Lógica se entiende como la disciplina
que estudia el pensamiento en cuanto a sus formas mentales
(concepto, juicio y raciocinio) con la finalidad de elaborar
razonamientos correctos y verdaderos. Y es que existe una
gran diferencia entre lo que es correcto y lo que es verdadero,
pues en Lógica lo correcto se refiere a la estructura de los
razonamientos, a su forma; es decir a la manera en cómo
están construidos, pero no al contenido de verdad o falsedad
de los mismos.
En este sentido, hay razonamientos que pueden estar
perfectamente bien estructurados o construidos, pero que al
analizar su contenido de verdad resultan falsos. Por ejemplo,
he aquí un razonamiento correcto pero completamente falso:
“Ninguna mujer piensa, María es mujer, por lo tanto, María no
piensa”. Este silogismo es correcto porque su conclusión
“María no piensa” se deriva por necesidad de 2 premisas
previamente planteadas, pero es falso porque tiene como
punto de partida una premisa falsa: “Ninguna mujer piensa” y
por lo tanto, su conclusión también es falsa. Vemos así como
a la Lógica Formal, que es una especie de primera parte en el

15. 13
estudio de la Lógica, no se interesa por la verdad o falsedad
de los razonamientos, sino sólo de su estructura o forma.
2.2. El Pensar:
Pensar es un complejo proceso que se inicia con la creación
de imágenes mentales en nuestro cerebro. Estas imágenes
las integramos, emparejamos, proyectamos o asociamos con
nuestros conceptos o esquemas que tenemos memorizados,
representándonos las situaciones del mundo y de nosotros
mismos en un proceso simbólico que necesitamos estructurar
en secuencias sintácticamente, esto es, lógicamente,
organizadas.
Tras ello podemos prever lo que sucederá, evaluar las
consecuencias de nuestros actos, anticipar para evitar
episodios desfavorables y promocionar los que más nos
beneficien. Naturalmente este curso de pensamiento puede
verse influido por nuestras emociones y por factores físicos o
sociales que modulan, habitúan, prejuzgan nuestras maneras
de representarnos las cosas del mundo.
Los filósofos racionalistas, sin embargo, al situar el origen de
la reflexión filosófica en la conciencia, aportaron, a través del
desarrollo del análisis como método científico del pensar, los
temas que van a marcar el desarrollo de la lógica formal.

16. 14
Son de especial importancia la idea de descartes de una
Mathesis universalis y de Leibniz que, con su Characteristics
Universalis supone la posibilidad de un lenguaje universal,
especificado con precisión matemática sobre la base de que
la sintaxis de las palabras debería estar en correspondencia
con las entidades designadas como individuos o elementos
metafísicos, lo que haría posible un cálculo o computación
mediante algoritmo en el descubrimiento de la verdad.
Aparecen los primeros intentos y realizaciones de máquinas
de cálculo, (Pascal, Leibniz) y, aunque su desarrollo no fue
eficaz, sin embargo la idea de una Mathesis Universal o
Característica Universal, es el antecedente inmediato del
desarrollo de la lógica simbólica a partir del Siglo XX.
La palabra lógica ha sido utilizada como lógica trascendental
por Kant, en el sentido de investigar los conceptos puros a
prioridad del entendimiento o categorías trascendentales.
Hegel considera la lógica dentro del Absoluto (metafísica)
como proceso dialéctico del Absoluto, entendido éste como
Principio Absoluto, Espíritu Absoluto, y Sujeto, como Sujeto
Absoluto. La lógica, la epistemología y la ontología van unidas
y son expuestas en la filosofía entendida ésta como Sistema
Absoluto.
Constantemente pensamos, eso significa que construimos
secuencias temporalizadas de imágenes o conceptos que

17. 15
representan simbólicamente cosas o eventos y que podemos
poner en movimiento para producir –simbólicamente - lo que
aún no ha acontecido. Ese poner en movimiento, que necesita
naturalmente no sólo una memoria en funcionamiento, sino
también una conciencia de lo que estamos pensando, es a lo
que podemos denominar razonamiento.
2.3. Razonar:
José Antonio Marina, “Teoría de la Inteligencia Creadora”.
Anagrama. Barcelona, (1993). Afirma que: La razón no es una
facultad especial: es un proyecto de la inteligencia, decidida a
saber si hay evidencias más fuertes que las privadas, a
evaluarlas y a aceptarlas si llegara el caso. Por eso es más
correcto usar el adjetivo «racional».
Hay una inteligencia racional, que es un paso más en la larga
historia que comenzó con una inteligencia computacional
capaz de auto determinarse. Pero ya he dicho que el
conocimiento de la realidad es sólo una delas funciones de la
inteligencia.
También es tarea suya inventar nuevas posibilidades y
también en esta tarea se deja seducir desde la lejanía porla
idea de racionalidad. Recordará el lector que la inteligencia se
definía por sus proyectos y que su proyecto de mayor

18. 16
envergadura era el de un sujeto inteligente o de una vida
inteligente. Pues bien, ese proyecto se concreta en un sujeto
universalizado por la razón dispuesta a plegarse ante el
argumento más poderoso o ante el valor más alto que no sería
sino la mejor posibilidad pensable.
2.4. El Razonamiento Lógico:
El razonamiento lógico es entonces un conjunto de juicios que
mantienen entre sí relaciones lógicas de tal forma que
partiendo de algunos juicios dados a los que denominados
premisas podemos llegar deductivamente a un juicio que no
teníamos y que denominamos conclusión.
La obtención de la conclusión, si procedemos lógicamente,
asegura la validez de la misma por la propia estructura lógica
de los juicios que componen las premisas. Por ejemplo, si
partimos como premisas de los siguientes juicios:
Si llueve entonces me mojo
y llueve
¿Qué podemos concluir?
Evidentemente, que me mojo.
Esto es una inferencia o razonamiento deductivo, en el cual
si las premisas fueran verdaderas, la conclusión también lo
sería. La ciencia que estudia qué tipos de esquemas de

19. 17
inferencia aseguran la validez de las conclusiones es la
Lógica.
2.5. Los Juicios:
La relación de dos conceptos da lugar a la formulación de un
juicio. Si se da entre ambos una relación de conveniencia
decimos que el juicio es afirmativo, y en caso contrario,
negativo.
El sujeto del juicio es el concepto del que se afirma o niega
algo; el predicado es el concepto que se afirma o niega del
sujeto. Aristóteles distingue en los juicios la materia y la forma.
La materia o contenido del juicio son los conceptos que se
relacionan; la forma es la relación que se establece entre ellos
a través del verbo ser. Aristóteles representa el sujeto del
juicio con un signo (S) y el predicado con otro (P) para intentar
separar la materia de la forma: así, la forma del juicio "Juan
es alto" se representaría como "S es P", y la forma del juicio
"Juan no es alto" como "S no es P".
Los juicios se clasifican en varios grupos, atendiendo a la
cantidad (según la extensión del sujeto: universales,
particulares, singulares), la cualidad (según la cualidad de la
cópula: afirmativos y negativos), la relación (según la relación
entre el sujeto y el predicado: categóricos, hipotéticos y

20. 18
disyuntivos) y la modalidad (según el modo en que expresan
la relación entre el sujeto y el predicado: apodícticos,
asertóricos y problemáticos).
2.6. La Lógica Informal o cotidiana:
En el Lenguaje cotidiano, expresiones como lógica o
pensamiento lógico, aporta también un sentido alrededor de
un pensamiento lateral comparado, haciendo los contenidos
de la afirmación coherentes con un contexto, bien sea del
discurso o de una teoría de la ciencia, o simplemente con las
creencias o evidencias transmitidas por la tradición cultural.
Del mismo modo existe el concepto sociológico y cultural de
la lógica de las mujeres, lógica masculina, que podríamos
considerar como lógica cotidiana, también conocido como
sentido común, o en la lengua vulgarismo. En estas áreas la
lógica suele tener una referencia lingüística en la pragmática.
Un argumento en este sentido tiene su lógica cuando resulta
convincente, razonable y claro; en definitiva cuando cumple
una función de eficacia. La habilidad de pensar y expresar un
argumento así corresponde a la retórica, cuya relación con la
verdad es una relación probable.
El texto siguiente destaca la presencia de la lógica en la vida
diaria. Su contenido se hará más claro al lector a medida que

21. 19
avance en el estudio de este libro y se familiarice con
conceptos y usos de la lógica:
“La lógica no es una alternativa por la que podamos
optar; no podemos decidir si vamos a emplearla o no.
Resulta inevitable y está presente en cada frase que
pronunciamos, ya que continuamente estamos
enunciando proposiciones lógicas. Cuando decimos,
por ejemplo, que algo es necesario,que una cosa
depende de otra, que un evento es causa de otro,
cuando indicamos una contradicción o una
imposibilidad, una implicación o una dependencia,
estamos haciendo lógica, aunque no seamos
conscientes de ello” Zuleta, 1996, p. 16.
El estudio de la lógica permite identificar, en los argumentos
cotidianos, ciertas estructuras válidas de razonamiento
utilizadas por los seres humanos. Tales estructuras son
usadas generalmente en forma espontánea, sin que nos
detengamos a analizar la estructura utilizada.
Por ejemplo: no ponemos las manos en el fuego porque
hacerlo nos causa quemaduras. (Y como no estamos
dispuestos a causarnos quemaduras, ¡pues no ponemos las
manos en el fuego! Es así de simple).

22. 20
2.7. La Lógica Formal o Simbólica:
Se interesa por el razonamiento correcto, que es lo mismo
que decir coherente y ordenado. Un razonamiento de esta
naturaleza es posible si la conclusión que se obtiene se deriva
por necesidad de otros pensamientos previamente
planteados llamados premisas. Esto es, todo razonamiento o
argumento está estructurado con premisas y conclusión.
La lógica podemos definirla como la ciencia de los principios
de la validez formal de la inferencia. Analicemos esta
definición. Ya sabemos lo que es una inferencia o
razonamiento deductivo, no debemos confundir ahora el
proceso psicológico con el resultado de este proceso.
Ahora sólo nos interesa el resultado, independientemente de
quién lo piense o de cómo se haya producido.
La lógica solamente se ocupa de razonamientos como
productos o resultados. ¿Qué significa eso de la validez
formal? En parte ya ha sido explicado anteriormente, usemos
ahora algunos ejemplos:
(1) Si llueve entonces se me seca la ropa y llueve.
Luego, se me seca la ropa
(2) Si llueve entonces me mojo
y me mojo.
Luego llueve.

23. 21
El razonamiento (1) parece falso, pues no ocurre en la
experiencia que cuando llueva se seque la ropa, por el
contrario (2) parece verdadero, pues efectivamente si me
mojo puede ser porque llueva. Sin embargo este análisis
responde a lo que denominamos Verdad material. La verdad
material es un asunto de experiencia, podría ser que
efectivamente cuando llueva se nos seque la ropa, pero en
este mundo ocurre lo contrario.
La verdad material es un asunto que investiga las ciencias
empíricas o experimentales que necesitan acudir a la
experiencia para determinar la verdad de sus teorías.
La Lógica no se ocupa de este tipo de verdad, sino de la
validez o verdad formal. En ese sentido prescinde de los
contenidos de los juicios para ocuparse de la mera forma
lógica. Eliminemos mediante un proceso de formalización el
contenido de (1) y de (2). Este proceso de formalización va a
consistir en asignar a cada proposición u oración una letra
minúscula a partir de la letra p, por convención. De esta
manera, vamos a tratar con variables proposicionales.
Una variable proposicional, como la 'x' o la 'y' de las
ecuaciones matemáticas, es algo que puede estar por
cualquier oración, con cualquier contenido. La noción de
variable es precisamente algo que admite instancias de

24. 22
sustitución dentro de un dominio especificado. En este caso,
si vamos a tratar con variables proposicionales, será porque
el dominio de sustitución será el conjunto de las oraciones.
Procedamos entonces a formalizar nuestras inferencias:
(1) sea p: llueve
sea q: se me seca la ropa
y simbolicemos la relación condicional
si...entonces mediante el signo →, que usaremos
de forma infija
Entonces:
p → q
p
q
(2) sea p: llueve
sea q: me mojo
Entonces la formalización quedaría
p → q
q
p
Visto así la lógica nos dirá que (1) es un esquema de
inferencia válido, mientras (2) no lo es. Es decir, que todo
razonamiento que tenga la estructura lógica de (1) asegura la

25. 23
validez de las conclusiones obtenidas, o como lo
expresábamos anteriormente, si las premisas fueran
verdaderas, la conclusión también sería verdadera. A esto es
a lo que denominamos validez formal de las inferencias.
2.7.1. Las Proposiciones:
Una proposición matemática es un enunciado, frase o
expresión que tiene un significado determinado y que
mediante un criterio definido puede ser clasificado
inequívocamente como verdadero o falso.
En lenguajes naturales tales como el español, alemán,
inglés, entre otros, las proposiciones no pueden ser
imperativas o interrogativas, únicamente pueden ser
declarativas.
De acuerdo a lo anterior las siguientes oraciones u
enunciados son proposiciones:
Los profesores van a la actividad deportiva.
La ciudad está progresando.
Julián es estudiante de Doctorado.
Java es un lenguaje de programación.
5 es un número impar.
9 es un número compuesto.

26. 24
La proposición está asociada directamente a su
significado, por ejemplo si se tienen las oraciones:
Está llorando el niño.
El niño está llorando.
Se tiene en este caso que ambas oraciones tienen el
mismo significado y son consideradas como proposiciones
iguales, pero las oraciones son diferentes.
Hay oraciones o enunciados que no son proposiciones,
teniendo en cuenta que no es posible que se evalúen como
verdaderas o falsas y a que su objetivo no es especificar
hechos. Ejemplo de enunciados que no son proposiciones
pueden ser:
¿Quién soy?
¡Hola amigo!
¿Qué hora es?
¡Por favor estudia!
¿Cuál es tu fecha de nacimiento?
En la lógica proposicional se puede determinar la validez
de las expresiones únicamente desde el punto de vista de
su estructura, sin tener en cuenta el significado semántico
de tales expresiones. Por ejemplo si se tiene la expresión:

27. 25
Rasputín habita en Armenia.
En esta expresión no se sabe si Rasputín es una persona,
es un animal o cualquier otro concepto. Analizando la
expresión podemos dar el valor de verdad o falsedad a
esta, pero el significado de ella no lo consideraremos
relevante, otros ejemplos son:
Liliana le dio la vuelta a Argelia.
Los liberales son los ganadores del torneo.
Orlando está de fiesta.
2.7.2. Valor de una Proposición:
Las proposiciones de forma tradicional se representan con
letras minúsculas del alfabeto, para nuestro libro se
representarán comúnmente con las letras p, q, r, s, t,...,
cada una de estas letras recibe el nombre de átomo.
La forma de representación para proposiciones será
mediante un átomo seguido de: (dos puntos) y
posteriormente el enunciado.
p: enunciado o proposición
Los siguientes corresponden a representación de
proposiciones según la notación:

28. 26
p: Armenia tiene 120 años
q: Egipto está ubicado en Asia
r: 7 < 3
t: 3x + 4z = 8
u: Las leonas no son las campeonas
Cuando se dice que una proposición matemática es
verdadera o falsa se establece su valor de verdad, y por lo
tanto se le da una interpretación a la proposición. Es por
ello que es común asignar valores de verdad a los
enunciados.
La forma en la cual representaremos la interpretación de
la proposición cuando se utilicen átomos, será mediante la
letra minúscula v seguida de un átomo entre paréntesis y
posteriormente la asignación del valor de la verdad.
v (átomo) = valor de verdad
En la lógica proposicional los valores posibles son:
verdadero (V)
o Falso (F)
v (átomo) = V
v (átomo) = F

29. 27
A continuación se muestran ejemplos de asignación de
valor a las proposiciones.
p: Todos los números impares son primos
v (p)= F, a la proposición p se le asignó el valor de
falso.
q: 9 es un número compuesto.
2.7.3. Proposiciones Simples o Compuestas:
La lógica estudia fórmulas proposicionales simples o
compuestas. Se considera que una proposición en su
forma más sencilla, se llama atómica o simple, y una
proposición con más de un verbo, o varios sujetos u
objetos, se denomina compuesta.
Una proposición es simple si expresa una sola idea sobre
algo. Las proposiciones simples son aquellas donde no es
posible encontrar otras proposiciones.
Ejemplos de proposiciones atómicas o simples:
p: El cuadrado es un paralelogramo.
q: María no quiere a Juan.
r: 7 es un número primo.
s: Canadá es una ciudad.

30. 28
t: 17 no es un número compuesto.
u: 5 + 3 * 2 < 4 + 15
Las proposiciones compuestas están conformadas de
varias proposiciones simples unidas a través de
conectores lógicos. Los conectores lógicos más conocidos
son:
Si… entonces…, si y sólo si…, y, o.
Un conectivo lógico es por lo tanto, un elemento que
permite la unión de proposiciones simples. Una
proposición es compuesta si relaciona dos o más
proposiciones simples por medio de un conectivo lógico.
A continuación se muestran ejemplos de proposiciones
compuestas:
m: 13 es un número impar y 22 es un número par.
n: 22 es divisible por 2 o por 11.
o: x2− 16 = 0 si y sólo si x = 4.
p: El árbol es de color verde o el árbol es de color
café.
q: Mauricio y Martha son mayores de edad.
r: Mario gana la materia si y sólo si estudia el fin de
semana.

31. 29
s: La vaca es un animal mamífero y cuadrúpedo.
t: 18 es múltiplo de 9 y divisor de 54, o 18 es divisible
por 3.
Por ejemplo si tenemos las siguientes proposiciones
simples:
o: El carro es costoso.
p: El repuesto es de color blanco.
q: El parqueadero es pequeño.
r: La renta es mensual.
Es posible construir enunciados compuestos que denotan
proposiciones más complejas para su análisis.
En este caso se utilizarán los conectores lógicos:
y, o, si... entonces..., si y sólo si...
s: El carro es costoso y el repuesto es de color blanco.
t: La renta es mensual si y sólo si el carro es costoso.
u: Si el parqueadero es pequeño entonces el carro es
costoso.
v: La renta es mensual o el carro es costoso.

32. 30
2.7.4. Los conectivos Lógicos:
Las proposiciones compuestas se unen por medio de
conectivos lógicos, los cuales son operadores que
permiten combinar proposiciones para formar otras
proposiciones. Estos operadores que permiten la unión de
enunciados o proposiciones se llaman operadores
binarios. Las proposiciones compuestas tienen mucha
capacidad de expresión dentro de la lógica. A continuación
se muestran los principales conectivos lógicos cada con su
respectivo símbolo.
A continuación se hará un análisis de cada uno de los
conectivos lógicos.

33. 31
2.7.4.1. La Negación:
Supongamos que el átomo p representa la afirmación
p: Isabel es calculista. Entonces cualquiera que de las
afirmaciones:
“Isabel no es calculista”,
“es falso que Isabel es calculista”,
“es un hecho que Isabel no es calculista”,
“no es el caso que Isabel es calculista”.
Entonces se entiende la negación como expresar lo
contrario de lo que es verdad, existen formas de negar
la afirmación inicial, se representa con la fórmula ¬p.
La Formula bien formada ¬p, que leeremos “no p”
representa la negación de p.
2.7.4.2. La Disyunción:
El conectivo lógico que representa la disyunción
inclusiva es el símbolo (v). La proposición p v q es
llamada la disyunción inclusiva entre las proposiciones
p y q. Se considera la proposición p v q falsa,
únicamente cuando la proposición p y la proposición q
son falsas a la vez.

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Algunas frases en las que aparece la disyunción son
los siguientes:
p o q
p o q o ambos al menos p o q
mínimo p o q
Algunas frases de representación en lenguaje natural
en los cuales se utiliza la disyunción son las siguientes:
El parcial estaba difícil o mal redactado
Hizo frío o la persona es nerviosa.
El Pueblo es grande o había demasiado tráfico.
Para pagar el crédito al menos se debe tener
cuenta corriente o cuenta de ahorros.
2.7.4.3. La Conjunción:
De acuerdo a la anterior tabla, el conectivo lógico
conjunción se representa mediante el símbolo ^. Sean
p y q dos proposiciones, entonces la proposición p ^ q
es llamada la conjunción entre la proposición p y la
proposición q. Algunas frases en las que aparece la
conjunción son los siguientes:

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p y q
p amenos q
p igualmente q
La proposición p ^ q es verdadera únicamente cuando
p es verdadera y q es verdadera, es decir, cuando
ambas proposiciones son verdaderas a la vez.
Algunos ejemplos de representación en lenguaje
natural en los cuales se utiliza la conjunción son los
siguientes:
En Haití hay inflación y no hay crecimiento
económico.
El gobernador tiene buenas intenciones sin
embargo no tiene presupuesto.
La oferta es alta no obstante la demanda es
muy poca.
2.7.4.4. La Condicional:
Considera la siguiente proposición: "Si obtienes una A
en lógica, entonces te voy a comprar un Mustang
amarillo." Esta parece ser compuesta en dos oraciones
más simplemente:

36. 34
p: "Obtienes una A en lógica," y
q: "Te voy a comprar un Mustang amarillo."
La proposición original quiere decir lo siguiente: Si p es
verdad, entonces q es verdad, o, más simple, si p,
entonces q. También podemos escribir la frase como p
implica q, y escribimos p→q.
Ahora supongamos por el bien de la discusión de que
la proposición original: "Si obtiene una A en lógica,
entonces te voy a comprar un Mustang amarillo," es
verdad. Esto no significa que tú obtendrás una A en
lógica; lo único que quiere decir es que si tú lo haces,
entonces te voy a comprar un Mustang amarillo.
Si Pensamos en esto como una promesa, la única
manera que pueda ser rota esta promesa es si ganas
una A pero no te compro un Mustang amarillo. En
general, usamos esta idea para definir la proposición
p→q.
La proposición p→q es falsa si la primera proposición
(antecedente) es verdadera y la segunda proposición
(consecuente) es falsa.

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Algunos ejemplos de representación en lenguaje
natural en los cuales se utiliza el condicional son los
siguientes:
Si p entonces q
p implica q
p es suficiente para
No p a menos que q
p en consecuencia q
p se deduce q
p por ende q
A continuación se muestran pares de
proposiciones y se analizará su valor de verdad,
recordando que el condicional es falso únicamente el
antecedente es verdadero y el consecuente es falso.
p: 5 + 5 = 10 (V)
q: 5 × 2 = 10 (V)
El condicional de p → q es: Si 5 + 5 = 10 entonces 5×2
= 10 Entonces como p y q son verdaderas, el
condicional es verdadero.
w: 8 es un número par (V)
z: 8 no es divisible por 2 (F)

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El condicional de w→ z es: Si 8 es un número par
entonces no es divisible por 2 Entonces como
w es verdadera y z es falsa, el condicional es falso.
2.7.4.5. La Bicondicional:
Ya vimos que p → q no es lo mismo que q → p. Puede
ocurrir, sin embargó, que ambos p → q y
q → p son verdaderas. Por ejemplo: Si p: "0=1" y q:
"1=2". Entonces p → q y q → p ambas son verdaderas
porque p y q ambas son falsas.
La proposición p ↔ q se define como la proposición (p
→ q) (q → p). Por esta razón, la flecha de doble cabeza
↔ se llama el bicondicional.
El bicondicional es verdadero únicamente cuando tanto
p como q tienen los mismos valores de verdad.
Algunos ejemplos de representación en lenguaje
natural en los cuales se utiliza el bicondicional son los
siguientes:
p si y sólo si q
p es necesario y suficiente para q
p es equivalente a q
p cuando y sólo cuando q
p entonces y sólo entonces q

39. 37
La proposiciónp ↔ q es verdadera sólo cuando las dos
proposiciones son ambas verdaderas o falsas.
Algunos ejemplos en lenguaje natural en el cual se
tiene un condicional son los siguientes:
Juan ve si y sólo si no es ciego
5 + 5 = 10 si y sólo si 5 × 2 = 10
28 es par si y sólo si es divisible por 2
Un número es compuesto si y sólo si tiene más
de dos divisores.
A continuación se muestran pares de proposiciones y
se analizará su valor de verdad, recordando que el
bicondicional es verdadero únicamente cuando las
proposiciones tienen el mismo valor de verdad.
p: 10 no es número par (F)
q: 10 >= 8 (V)
El bicondicional de p ↔q es falso, teniendo en cuenta
que p es falso y q es verdadero.
q: 28 es un número perfecto (V)
r: 28 no es un número impar (V)
El bicondicional de q↔ r es verdadero, teniendo en
cuenta que q es verdadero y r es verdadero.

40. 38
2.7.5. Tablas de Verdad:
Un método para analizar los v alores de certeza de las
proposiciones es el de poner todas las posibilidades de
certeza o falsedad en forma de una tabla, estas tablas
básicas indican si una proposición molecular es verdadera
o falsa y de esta forma analizar cada una delas
posibilidades que aparecen en ella. Este algoritmo es
llamado el método de las tablas de verdad porque puede
ser ordenado en forma tabular.
El primer paso en la construcción de una tabla de verdad
para una fórmula es conocer cuántas posibles
combinaciones de la fórmula hay, es decir, en cuántas
formas diferentes pueden combinarse los valores de
verdad asignados a las fórmulas atómicas que las
componen.
Si p es una fórmula atómica, p sólo tiene dos
combinaciones posibles (V) o (F). Si p tiene dos fórmulas
atómicas, existen cuatro combinaciones posibles. Si p
tiene tres fórmulas atómicas, sus valores de verdad se
pueden combinar de ocho formas diferentes, y así
sucesivamente. Así si p tiene n fórmulas atómicas, habrá
2n combinaciones posibles veamos:

41. 39
1. v (p) = V o v (p) = F Según el átomo p representa
una proposición verdadera o falsa, respectivamente.
2. v (¬A) = F si v(A) = V y v (¬A) = V, si v(A) = F.
3. v (A^B) = V, si v(A) = v (B) = V; v(A^B) = F,
en cualquiera otro caso.
4. v (A v B) = F, si v(A) = v (B) = F; v(A v B) = V, en
cualquiera otro caso.
5. v (A→B) = F si v(A) = V y v (B) = F; v(A→B) = V, en
cualquiera otro caso.
6. v (A↔B) = V si y sólo si v (A) = v(B).
Con la posible excepción del condicional en la línea 5, los
valores definidos en la lista anterior reflejan el uso y
significado de los conectivos. Por ejemplo, sobre la base
del significado de la conjunción “y” es natural, como se
hace en la línea 3, asignar a A ^ B el valor V si (y sólo sí)
ambas fórmulas tienen el valor V. Este hecho se expresa
usualmente como “La conjunción A ^ B es verdadera si y
sólo si A y B son verdaderas”. Esto, porque las constantes
V y F se han escogido teniendo presentes los significados
de “verdadero” y “falso” respectivamente.
De igual manera, es natural asignar los valores de verdad
para ¬A y para A v B como aparecen en las líneas 2 y 4.
Sin embargo, el lector puede preguntarse: ¿con qué

42. 40
criterio se han asignado los valores de verdad para el
condicional como aparecen en la línea 5? ¿Por qué
cuando el antecedente es falso el condicional tiene valor
verdadero? Los valores de verdad para las proposiciones
compuestas definidos anteriormente se recogen en el
siguiente cuadro, para el caso en que A y B son átomos.
Observe que las dos primeras columnas contienen las 4
posibles combinaciones de valores de verdad de los
átomos p y q, que intervienen en las fórmulas. En forma de
lista ordenada donde el primer elemento es el valor de
verdad de p y el segundo es el de q, estas 4 combinaciones
son: V-V, V-F, F-V y F-F.
La tabla se construye escribiendo en cada casilla el valor
de verdad del átomo o de la fórmula A que encabeza la
columna correspondiente. Cada columna es la “tabla de
verdad” del conectivo que la encabeza. Por ejemplo: Usted
debe memorizar esta tabla, para usos futuros.
TABLAS DE VERDAD

43. 41
2.7.6. Tautología, Contradicción y Contingencia:
Tautología: Es una expresión lógica que resulta
verdadera para cualquier interpretación; es decir, para
cualquier asignación de valores de verdad. La
construcción de una tabla de verdad es un método efectivo
para determinar si una expresión cualquiera es una
tautología o no.
Contradicción: Una proposición es una contradicción, si
es falsa para todos sus valores de verdad.

44. 42
Contingencia: Una proposición es una contingencia si no
es ni verdadera ni falsa independientemente de los
valores de verdad de las proposiciones simples que la
componen.
2.7.7. Leyes de la Lógica:
Teorema: Si dos fórmulas lógicas son equivalentes
entonces la fórmula que se obtiene al operarlas con la
bicondiconal es una tautología.

45. 43
2.8. Algebra Booleana:
Hacia 1850, el matemático y lógico irlandés George Boole
(1851-1864), desarrolló un sistema matemático para formular
proposiciones lógicas con símbolos, de manera que los
problemas pueden ser escritos y resueltos de una forma
similar al álgebra tradicional.
El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo
centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un
operador binario “ º “ definido en éste juego de valores acepta
un par de entradas y produce un solo valor booleano, por
ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas
booleanas y produce una sola salida booleana. Para cualquier
sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales,
de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y
otras propiedades del sistema.
El Álgebra de Boole se aplica en el análisis y el diseño de los
sistemas digitales.
Una variable booleana es cualquier símbolo que en un
instante determinado sólo puede tomar uno de dos valores:
0 y 1.
Existen varios tipos de circuitos lógicos que se utilizan para
implementar funciones lógicas u operaciones lógicas. Estos

46. 44
circuitos son los elementos básicos que constituyen los
bloques sobre los que se construyen sistemas digitales más
complejos, como por ejemplo una computadora.
2.8.1. Magnitudes Analógicas y Digitales:
Los circuitos electrónicos se dividen en dos categorías:
digitales y analógicos.
La electrónica digital utiliza magnitudes digitales que
toman valores discretos.
Representación de los valores muestreados
(cuantificación) de la magnitud analógica temperatura.
Cada valor representado por un punto puede digitalizarse,
representándolo como un código digital que consta de una
serie de 1s y 0s.

47. 45
La electrónica analógica emplea magnitudes analógicas
que toman valores continuos.
Gráfica de una función analógica (temperatura en función
del tiempo)
En las aplicaciones electrónicas, los datos digitales se
pueden procesar de forma más fiable que los datos
analógicos. Cuando es necesario su almacenamiento, el
ruido (fluctuaciones de tensión no deseadas) no afecta a
las señales digitales tanto como a las señales analógicas.
2.8.2. Señales Digitales:
La información binaria que manejan los sistemas digitales
aparece en forma de señales digitales que representan
secuencias de bits.
Cuando la señal está a nivel ALTO, se representa con 1
binario, mientras que si la señal está a nivel BAJO, lo
indica un 0 binario.

48. 46
Cada bit dentro de una secuencia ocupa un intervalo de
tiempo definido denominado periodo del bit.
En los sistemas digitales, todas las señales se sincronizan
con una señal de temporización básica de reloj.
El reloj es una señal periódica en la que cada intervalo
entre impulsos (el periodo) equivale a la duración de 1 bit.
Ejemplo de una señal de reloj sincronizada con la señal A
2.8.3. Funciones y Variables Lógicas:
Variables Lógicas: Representa un suceso o magnitud
que toma valores entre dos posibles. Estos dos valores
son excluyentes entre ellos, se expresan mediante
proposiciones. Las proposiciones se pueden clasificar
como verdaderas o como falsas.

49. 47
Funciones Lógicas: Cuando se combinan proposiciones
se forman funciones lógicas o proposiciones lógicas.
Por ejemplo: “si la bombilla no está fundida y el interruptor
está dado, la luz está encendida”. Las dos primeras
proposiciones son las condiciones de las que depende la
proposición “la luz está encendida”. Ésta es cierta sólo si
las dos primeras lo son.
Por tanto, una función lógica calcula el valor de una
variable (dependiente) a partir de otra u otras variables
(independientes).
2.8.4. Propiedades del Algebra de Boole:
Un álgebra booleana es una estructura algebraica formada
por un conjunto B en el cual se han definido dos
operaciones cerradas en B, llamadas “suma” y
“multiplicación”, que representaremos con los símbolos (+)
y (.) y que satisfacen las propiedades 1-5 que se describen
a continuación.
Que sean operaciones cerradas en B significa que los
resultados de sumar y de multiplicar cada dos elementos
de B son también elementos de B.

50. 48
1. Las dos operaciones son conmutativas, es decir,
cualesquiera sean a, b є B,
i) a+b = b+a y
ii) a.b =b.a
2. Las dos operaciones son asociativas, es decir,
cualesquiera sean a, b, c є B,
i) a+(b+c) =(a+ b)+c y
ii) a. (b.c) =(a.b).c
3. Existe, para cada una de las operaciones, un elemento
neutro. Denotando con 0A el elemento neutro de la
suma y con 1A el elemento neutro de la multiplicación,
se tiene entonces que, para cada aєB,
i) a+0A = 0A+a = a
ii) a.1A = 1A.a = a
Hemos utilizado los símbolos 0A y 1A para denotar “el
cero del álgebra” y “el uno del álgebra”
respectivamente. Esto, porque no son los conocidos 0
y 1 del conjunto de los números reales, sino elementos
de B que se comportan como ellos en sus respectivas

51. 49
operaciones; de ahí sus nombres. No sobra anotar que
los elementos neutros son distintos, 0A ≠1A.
4. Para cada elemento a є B existe un elemento único, ā,
llamado el complemento de a, caracterizado por estas
propiedades:
i) a+a= 1A
ii) a.a= 0A
Sobre la base de lo anterior, para que un elemento de
B sea el complemento de a debe satisfacer dos
condiciones: la primera es que al sumar a con el posible
complemento, ā, el resultado debe ser el “uno del
álgebra”, 1A. La segunda, es que el producto de a con
el posible ā debe ser igual al “cero del álgebra”, 0A.
5. Cada una de las operaciones (+) y (.) es distributiva
con respecto a la otra, es decir, para elementos
arbitrarios a, b y c en B,
i. a. (b+c) = (a.b) + (a.c)
ii. a+(b.c) = (a+b) . (a+c)

52. 50
Aunque las propiedades asociativas pueden deducirse
de las restantes de la lista anterior, es frecuente
incluirlas entre las propiedades básicas de la definición.
2.8.5. Operaciones Lógicas:
Las operaciones lógicas pueden representarse a través de
símbolos gráficos y de tablas de verdad.
Las líneas conectadas a la izquierda de cada símbolo son
las entradas (input) y las líneas a la derecha son las salidas
(output).
El funcionamiento de las puertas, operaciones y funciones
lógicas se describe con las tablas de verdad.

53. 51
Son representaciones tabulares que especifican la salida
de la puerta o función lógica para todas las posibles
combinaciones de entradas.
2.8.6. Compuertas Lógicas:
Son circuitos que aceptan valores lógicos a la entrada y
producen valores lógicos a la salida. Un circuito que realiza
una operación lógica determinada (NOT, AND, OR) se
llama puerta lógica.
Lógica Combinatoria: Cuando en un circuito lógico el
estado de las salidas depende sólo del estado de las
entradas, es decir combinaciones de diferentes valores
lógicos a la entrada de un circuito lógico hacen que
aparezcan distintos valores lógicos a la salida.
Lógica Secuencial: Si el estado de la salida depende del
estado delas entradas y también del estado anterior del
circuito.
Con relación a un circuito, consideraremos sólo los
controles incorporados a él para impedir o permitir el paso
de la corriente por sus diferentes caminos. Estos controles
son los interruptores o switches, de funcionamiento tipo
on-off.

54. 52
En la imagen se presenta el caso de un único interruptor.
Cuando está en posición on (cerrado) permite el paso de
corriente; cuando está en posición off (abierto) no hay
paso de corriente.
Compuerta AND: Es una de las puertas básicas con la
que se construyen todas las funciones lógicas. Tiene dos
o más entradas y una única salida, realiza la operación que
se conoce como multiplicación lógica y tiene un símbolo
lógico estándar:
Compuerta OR: Es otra de las puertas básicas con las
que se construyen todas las funciones lógicas.

55. 53
Tiene dos o más entradas y una única salida, realiza la
operación que se conoce como suma lógica:
Compuerta NOT: Realiza la operación denominada
inversión o complementación, Cambia el nivel lógico al
nivel opuesto. En términos de bits cambia:
– Un 1 por un 0.
– Un 0 por un 1.
Compuerta NAND: Es un elemento lógico popular debido
a que se puede utilizar como puerta universal:
Se pueden combinar para implementar las operaciones de
las puertas AND, OR y del Inversor.

56. 54
El término NAND es una contracción de NOT-AND e
implica: Una función AND con la salida complementada
(negada).
Compuerta NOR: Al igual que la puerta NAND, es un
elemento lógico útil porque también se puede emplear
como puerta universal: Se pueden usar combinadas para
implementar las operaciones AND, OR y del Inversor.
El término NOR es una contracción de NOT-OR e implica:
Una función OR con la salida complementada (negada).

57. 55
Puertas XOR y XNOR: Las puertas OR-exclusiva (XOR)
y NOR-exclusiva (XNOR) se forman mediante la
combinación de otras puertas ya vistas.
Debido a su importancia fundamental en muchas
aplicaciones, estas puertas se tratan como elementos
lógicos básicos con su propio símbolo único.
Compuerta X− OR: La puerta XOR tiene sólo dos
entradas:
La salida es un nivel ALTO si:
La entrada X está a nivel BAJO y la entrada Y está a nivel
ALTO o, si la entrada X está a nivel ALTO y la entrada Y
está a nivel BAJO.
Compuerta X−NOR: La puerta XNOR, al igual que la
XOR, sólo tiene dos entradas:
La salida es un nivel BAJO si:

58. 56
La entrada X está a nivel BAJO y la entrada Y está a nivel
ALTO o si la entrada X está a nivel ALTO y la entrada Y
está a nivel BAJO.
2.8.7. Compuertas Lógicas Integradas:
Existen varias tecnologías de circuitos integrados digitales
que se usan para implementar las puertas lógicas básicas.
Las más extendidas:
– CMOS
– TTL
Para aplicaciones más especializadas:
– ECL
La función de las puertas lógicas básicas es la misma
independientemente de la tecnología de circuitos
integrados que se utilice.

59. 57
Características:
•CMOS (Complementary Metal-Oxide Semiconductor)
Se implementa con un tipo de transistor de efecto de
campo.
•TTL (Transistor-Transistor Logic)
Se implementa mediante transistores bipolares.
•ECL (Emitter-CoupledLogic)
También se implementa mediante la tecnología bipolar.
CMOS y TTL sólo difieren en el tipo de componentes de
circuito y los valores de los parámetros, y no en las
operaciones lógicas básicas.
•Una puerta AND CMOS realiza la misma operación lógica
que una puerta AND TTL.
•La diferencia entre ambas se encuentra en las
características de funcionamiento, tales como: La
velocidad de conmutación (retardo de propagación), a
disipación de potencia y la inmunidad al ruido.

60. 58
2.8.7.1. CMOS:
Es la tecnología utilizada en los circuitos de gran escala
de integración y microprocesadores. La cual es la más
popular en la actualidad y su mayor ventaja reside en
ofrecer mucha menor disipación de potencia.
2.8.7.2. TTL:
Es una tecnología de circuitos integrados muy popular,
su mayor ventaja reside en las grandes velocidades de
conmutación y también ofrece una enorme variedad
de dispositivos.

61. 59
3. CAPITULO III: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:
3.1. CONCLUSIONES:
- Como hemos podido examinar en todos los temas
expuestos en la presente investigación sobre la lógica
podemos concluir que la lógica es una herramienta muy
importante y útil para el desarrollo del estudiante de
ingeniería de sistemas, que gracias a ella, la tecnología tanto
en computadoras y la tecnología móvil ha podido dar pasos
importantes en la historia, para la mejora del desarrollo de
sistemas de comunicación y administración, que son
utilizados para el beneficio y desarrollo de la sociedad.
- La lógica ayuda a pensar con claridad, orden, profundidad
y coherencia, a hilvanar ideas y elaborar pensamientos
racionales. En la búsqueda de la verdad.
- Tras el estudio de las nombradas funciones matemáticas,
podemos concluir en que son muy importantes especial en la
ingeniería de sistemas ya que se pudo observar a lo largo del
desarrollo los diferentes usos de la lógica en la vida diaria
modelo que podemos aplicar frente a cierta problemática.

62. 60
3.2. RECOMENDACIONES:
Se recomienda a los futuros estudiantes de cualquier rama de
la ingeniería, aplicar y practicar los conocimientos y leyes de
la lógica y del algebra booleana si lo que se quiere, es aportar
nuevos conocimientos importantes en las tecnologías de la
información además de los sistemas informáticos en este
mundo globalizado, las cuales serán una herramienta de
mucha ayuda para su desarrollo.
A todos a aquellos que desean ahondar y aportar sobre el
tema expuesto en el presente escrito, les recomendamos
sintetizar y ejemplificar lo más posible la cantidad excesiva de
información que abunda en la red y en las bibliotecas.

63. 61
Fuentes de Información:
Bibliografía:
1. Lord Acton En: Popper Karl Raimundo. La lógica de la investigación
científica. Madrid, Tecnos, (1962).
2. Morado Estrada Raymundo. ¿Para quién la lógica? Cuaderno del
Seminario de Pedagogía Universitaria UNAM, (2005).
3. Sergio Augusto Cardona torres. Lógica y matemática para ingeniería
de sistemas y computación. Colombia, Armenia, Quindío, (2010).
4. José Antonio Marina, “Teoría de la Inteligencia Creadora”.
Anagrama. Barcelona, (1993).
5. Stephanie Peñaranda Leyte, “Lógica en la Vida Cotidiana”, (2015)
6. Fundamentos de Sistemas Digitales. T. L. FLOYD. (Prentice Hall,
2000).
7. F. García Merayo, Matemática Discreta. Editorial Thomson, 2a
Edición, (2005).
8. R. P. Grimaldi, Matemáticas discreta y combinatoria. Editorial
Addison Wesley Iberoamericana, (1997).

64. 62
Glosario de Términos:
Magnitudes:
Es una propiedad que poseen los fenómenos o las relaciones entre ellos,
que permite que puedan ser medidos (expresados por números reales no
negativos y usando la unidad pertinente). Dicha medida, es representada
por una cantidad.
Digital:
Se aplica al aparato o instrumento de medición que suministra la
información mediante dígitos o elementos finitos o discretos.
Bit:
En informática y otras disciplinas, unidad mínima de información, que
puede tener solo dos valores (cero o uno).
CMOS:
Es la tecnología utilizada en los circuitos de gran escala de integración y
microprocesadores.
TTL:
Es una tecnología de construcción de circuitos electrónicos digitales

65. 63
Anexos:
ARISTOTELES
GEORGE BOOLE

66. 64
CONSTRUCCION DE UN CIRCUITO LOGICO CON EL ALGEBRA DE BOOLE
SISTEMAS APLICADOS EN LA INGENIERIA DE SISTEMAS