Proposiciones logicas

INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLÓGICO PÚBLICO CAJAMARCA – ANEXO MAGDALENA
MÓDULO: MATEMÁTICA
UNIDAD: LÓGICA Y FUNCIONES
____________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Lic. Lorena López Chuquimago
“Mira que te mando que te esfuerces y seas valiente; no temas ni desmayes porque Jehová tu
Dios estará contigo en donde quiera que vayas”
I CICLO
PROPOSICIONES LÓGICAS MATEMÁTICAS
I. CONCEPTO DE PROPOSICION
Las proposiciones constituyen los elementos de inferencia, es decir, son parte de todo
proceso de razonamiento lógico, por eso es preciso estudiar todo lo concerniente a ellas.
Consideremos en primer lugar, que a toda expresión u oración del lenguaje se le denomina
enunciado. Así por ejemplo, consideremos los siguientes enunciados:
1. El rectángulo es cuadrilátero
2. La suma de dos números impares es impar
3. Fujimori fue presidente del Perú
4. ¿Cuándo es el examen?
5. ¡Viva la matemática!
6. No ensucie la pared.
II. CLASES DE PROPOSICIONES
Consideremos los ejemplos:
a) La proposición “Juan es un abogado y profesor”, se puede descomponer en las
proposiciones. “Juan es abogado” y “Juan es profesor”, que son proposiciones en su
forma más elemental, que constan de un sujeto: Juan y de un predicado: es abogado, en el
primer caso, o es profesor en el segundo. Estas proposiciones reciben el nombre de
proposiciones simples o atómicas. De ahí que, la proposición “Juan es un abogado y
profesor”, no es simple, y se llama compuesta o molecular.
b) La proposición “Rosa y María son amigas”, no se puede descomponer en otras
proposiciones simples, pues si las descompondríamos en “Rosa es amiga” y “María es
amiga”, estas no son proposiciones porque no tiene sentido decir que son verdaderas o
No son proposiciones
porque no se puede saber
si es “V” o “F”
V
F
V
PROPOSICION, es todo enunciado al cual, con buen sentido, se le puede asignar uno y sólo
uno de los llamados valores de verdad o valores veritativos: VERDADERO(1) o FALSO(0)

____________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
falsas. Por lo tanto, esta proposición es simple, y consta de dos sujetos y un predicado y
equivale a decir “Rosa es amiga de María”.
c) La proposición “Un número no es positivo”, es la negación de la proposición “Un número
es positivo”, que es una proposición simple o atómica, de tal manera que la negación de
ésta, no constituye una proposición simple, sino molecular o compuesta.
2.1. PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS
Ejemplos:
a) 8 es un número par.
b) Juan tiene más edad que Pedro.
c) 7, 9, 11 son primos entre sí.
d) Seré un buen profesional en mecánica automotriz(Aquí el sujeto está tácito y es “yo”)
Notación: Las proposiciones simples o atómicas se simbolizan por letras:
p, q, r, s, t
P1, P2, P3
P, Q, R, S, T
Así por ejemplo, la proposición “Hoy día hay clases de matemática”, lo podemos
representar por la variable p, de tal forma que resulta.
P= “Hoy día hay clases de matemática”
2.2. PROPOSICIÓN MOLECULA
Ejemplo:
“La matemática es divina”
“La lógica es interesante”
Con ellas se puede formar proposiciones compuestas tales como:
a) La matemática es divina y la lógica es interesante.
b) La matemática es divina o la lógica es interesante.
c) Si la matemática es divina, entonces la lógica es interesante.
d) La matemática no es divina.
Es la proposición en su forma más elemental, consta de uno o varios sujetos y de un solo
predicado que afirma algo en torno a dichos sujetos.
VARIABLES
PROPOSICIONALES
Porque reemplazan a
cualquier proposición.
Es la proposición que está constituida por dos o más proposiciones simples o atómicas, o es
una negación.

____________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
III. CONECTIVOS LÓGICOS
CONECTIVO
LÓGICO
SÍMBOLO
OPERACIÓN
ASOCIADA
SIMBOLIZACIÓN
SIGNIFICADO
…y… Conjunción P y q
… o… Disyunción
Inclusiva
P o q o ambos
O…o… Disyunción
Exclusiva
P o q pero no
ambos
Si…, entonces Condicional Si p, entonces q
…Si y sólo si… Bicondicional P si y sólo si q
…no… Negación No p
Ni…ni… Negación
Conjunta
Ni p ni q
No…o no… Negación Alterna No p o no q
TABLAS DE VERDAD
 Negación: El valor de verdad de la negación es el contrario de la proposición negada
P  P
1V 0F
0F 1V
 Conjunción: Solamente si las componentes de la conjunción son ciertas,
la conjunción es cierta.
P Q P  Q
1V 1V 1V
1V 0F 0F
0F 1V 0F
0F 0F 0F

____________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
 Disyunción: La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos
componentes.
P Q P  Q
1V 1V 1 V
1V 0F 1 V
0F 1V 1 V
0F 0F 0 F
 Condicional: El condicional solamente es falso cuando el antecedente es
verdadero y el consecuente es falso. De la verdad no se puede seguir la
falsedad.
P Q PQ
1V 1V 1V
1V 0F 0F
0F 1V 1V
0F 0F 1V
 Bicondicional: El bicondicional solamente es cierto si sus componentes
tienen el mismo valor de verdad.
P Q P Q
1V 1V 1V
1V 0F 0F
0F 1V 0F
0F 0f 1V
EJERCICIOS RESUELTOS
(p Λ ¬ p) → q
1
1
0
0
0
0
0
0
2º
0
0
1
1
1º
1
1
0
0
1
1
1
1
3º
1
0
1
0
(p V q) ↔ (q V p)
1
1
0
0
1
1
1
0
1º
1
0
1
0
1
1
1
1
2º
1
0
1
0
1
1
1
0
1º
1
1
0
0

____________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
1. Simboliza las siguientes proposiciones:
a. No vi la película, pero leí la novela: ¬p ˄ q
b. Ni vi la película ni leí la novela: ¬p ˄ ¬q
c. No es cierto que viese la película y leyese la novela: ¬ (p ˄ q)
d. Vi la película aunque no leí la novela: p ˄ ¬q
e. No me gusta trasnochar ni madrugar: ¬p ˄ ¬q
f. O tú estás equivocado o es falsa la noticia que has leído: p ˅ q
(p Λ q) → p
1
1
0
0
1
0
0
0
1º
1
0
1
0
1
1
1
1
2º
1
1
0
0
(p V q) → q
1
1
0
0
1
1
1
0
1º
1
0
1
0
1
0
1
1
2º
1
0
1
0
[(p → q) Λ ¬ q] → ¬ p
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0

____________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
g. Si no estuvieras loca, no habrías venido aquí: ¬p → ¬q
h. Llueve y o bien nieva o sopla el viento: p ˄ (q ˅ r)
i. O está lloviendo y nevando o está soplando el viento: (p ˄ q) ˅ r)
j. Si hay verdadera democracia, entonces no hay detenciones arbitrarias ni
otras violaciones de los derechos civiles: p → (¬q ˄ ¬r)
k. Roberto hará el doctorado cuando y solamente cuando obtenga la
licenciatura: p ↔ q
l. Si viene en tren, llegará antes de las seis. Si viene en coche, llegará antes
de las seis. Luego, tanto si viene en tren como si viene en coche, llegará antes de las
seis:
p → q, r → q |- (p ˅ r) →
2. Simboliza:
a. Si p, entonces q: p → q
b. No es el caso que p y q: ¬ (p ˄ q)
c. p solamente si q y no-r: p ↔ (q ˄ ¬r)
d. p o no-q: p ˅ ¬q
e. Si p y q, entonces no-r o s: (p ˄ q) → (¬r ˅ s)
f. Si p, entonces q, y si q, entonces p: (p → q) ˄ (q → p)

____________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
g. Si p y q, entonces r. p. Luego si q, entonces r: (p ˄ q) → r, p |- q → r
h. Si p y q, entonces r. Si r y s, entonces t. Luego si p y q y s, entonces t
(p ˄ q) → r, (r ˄ s) → t |- (p ˄ q ˄ s) → t
TAREA
Construye las tablas de verdad de:
a. ¬p ˄ q
b. ¬p ˄ ¬q
c. (p ˅ ¬q) ˅ p
d. (p → q) ˄ p
e. (p ↔ q) ˄ ¬p
f. [¬(p → q) ˅ (p ↔ q)] ˄ [(¬p → q) ˅ ¬p]

____________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
LÓGICA Y FUNCIONES
PRÁCTICA DIRIGIDA
PARTE I
Analice y marcar con una X, en caso sea SI o No, y explique el Por qué en ambos casos.
Nº LISTA DE PROPOSICIONES Y NO
PROPOSICIONES
ES PROPOSICIÓN? EXPLICAR ¿POR QUÉ?
1 Saturno gira en torno al sol. SI NO
2
Dime mejor muchacho si no es mejor esperar a
la muerte dormido
SI NO
3 Cada paso del teorema de Thales. SI NO
4 Mañana será feriado. SI NO
5 Hay vida en Júpiter SI NO
6 Yo soy aquel SI NO
7 ¡Dios mío que la profesora me apruebe! SI NO
8
El reglamento debe ser cambiado por otro
mejor.
SI NO
9
El presidente del Perú debe ser elegido por un
periodo de cuatro años.
SI NO
10 Si yo llegara a las estrellas SI NO
11 ¡Ya llegó mi turno! SI NO
12 ¿Me odias? SI NO
13 Desearía que te comportaras mejor SI NO
14 Todo rombo es un cuadrado SI NO
15
La adición de pares ordenados de números
naturales.
SI NO
16 Dos rectas paralelas determinan un plano SI NO

____________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
17 Estudiar es triunfar SI NO
18 Cada vez que te miro Casimiro. SI NO
19 Llueve SI NO
29 Juan ama a Rosa. SI NO
30 Quisiera ira a la fiesta que me invitaron. SI NO
31 ¿Qué es Lógica? SI NO
32 4 + 4 = 8 SI NO
33 Quisiera poderte ayudar. SI NO
34 !Por Júpiter!, !Casi me saco la lotería! SI NO
35 ¡Espero que te mejores! SI NO
36
El número dos es par, pero el número tres es
impar.
SI NO
37
Ojalá apruebe el módulo de matemática.
SI NO
38 Lorenzo es inteligente, sin embargo es floja SI NO
39 3 > 5 SI NO
40 La materia ni se crea ni se destruye. SI NO

____________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
PARTE II
 Analice si las siguientes proposiciones son Atómicas o Moleculares, en caso de ser
moleculares subrayar los conectores lógicos.
1. Carlos vive en Perú o en Chile.
2. Si los mamíferos son mortales, entonces la especie está en extinción
3. Los turistas enamoran y se van
4. El principito no podía comprender a la gente adulta
5. Mark y Ana son actores.
6. Manuel es hermano de Abel y Sofía
7. Un polígono es un pentágono si y solo sí tiene cinco lados.
8. Dos de los congresistas son Cajamarquinos
9. Los estudiantes peruanos tienen mucha personalidad
10. Roberto y Sandra son limeños
11. Los peces son acuáticos porque respiran por branquias
12. Iré a verte aunque llueva
13. Este libro tiene más páginas que aquel otro
14. Tan bueno es Juan como Pedro
15. Sin libertad de expresión no hay democracia
16. La materia no se crea ni se destruye
17. Si la memoria no me engaña mañana es tu cumpleaños
18. Callar es otorgar
19. La matemática es una ciencia exacta sin embargo es muy formativa
20. Ni estudias ni trabajas

____________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL
Dos esquemas o dos proposiciones, por ejemplo A y B, son equivalentes, cuando unidos
por bicondicional el resultado es una tautología.
A ≡ B que se lee “A es equivalente a B”

____________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________

Proposiciones logicas

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (20)

Último

Último (20)

Proposiciones logicas