1. PLAN DE RECUPERACION
BLOQUE 1
NIVEL: BGU ÁREA: Matemática ASIGNATURA: Matemática AÑO LECTIVO
Curso/Año
EGB/BGU
Primero PARALELO: QUIMESTRE: Primero 2015 – 2016
Docente: Lic. Juan Andrade Fierro Bloque Curricular: 1
INDICADORES ESENCIALES DE EVALUACIÓN
- Representa funciones lineales y afines por medio de tablas y gráficos.
- Determina la intersección de una recta con los ejes coordenados.
- Calcula la pendiente de una recta si se conocen dos puntos de dicha recta.
- Determina la pendiente de la recta a partir de la ecuación escrita en sus diferentes formas.
- Determina la ecuación de la recta dado dos parámetros (dos puntos), o un punto y la
pendiente.
- Calcula la pendiente de una recta si se conoce su posición relativa (paralela o
perpendicular) respecto a otra recta y a la pendiente de esta.
- Determina la relación entre dos rectas a partir de la comparación de sus pendientes
respectivas. (rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas)
- Resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos variables por el método de sustitución.
- Resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos variables por el método igualación.
- Resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos variables por el método de reducción.
- Resuelve inecuaciones con una variable.
- Determina el conjunto solución de una inecuación con valor absoluto.
- Resuelve inecuaciones con dos variables por el método gráfico.
- Resuelve un sistema de inecuaciones con dos variables por el método gráfico.
DESTREZAS CON CRITERIO DE DESEMPEÑO
- Representar funciones lineales, por medio de tablas y gráficas.
- Determinar la intersección de una recta con los ejes coordenados.
- Calcular la pendiente de una recta si se conocen dos puntos de dicha recta.
- Determinar la pendiente de la recta a partir de la ecuación escrita en sus diferentes formas.
- Determinar la ecuación de la recta dado dos parámetros (dos puntos), o un punto y la
pendiente.
- Calcular la pendiente de una recta si se conoce su posición relativa (paralela o
perpendicular) respecto a otra recta y a la pendiente de esta.
2. - Determinar la relación entre dos rectas a partir de la comparación de sus pendientes
respectivas. (rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas)
- Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables por el método de sustitución.
- Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables por el método igualación.
- Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables por el método de reducción.
- Resolver inecuaciones con una variable.
- Determinar el conjunto solución de una inecuación con valor absoluto.
- Resolver inecuaciones con dos variables por el método gráfico.
- Resolver un sistema de inecuaciones con dos variables por el método gráfico.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN DEL PLAN DE RECUPERACIÓN VALOR
- El plan de recuperación está dirigido a estudiantes que están próximos a
alcanzar o no alcanzaron los aprendizajes requeridos. (notas menores a 7)
- Se envía trabajos considerando las destrezas con criterio de desempeño que
el estudiante no domina en base a la rúbrica propuesta.
- La presentación del trabajo será en hojas de cuadros perforadas, puede
hacerlo directo al profesor o escanear y subir del documento.
- La fecha máxima de presentación será hasta el 26 de octubre del 2015
- El estudiante rendirá una prueba que evaluara las destrezas con criterio de
desempeño propuestas en el trabajo sobre la calificación de 10.
5P
5P
CALIFICACIÓN 10P
RUBRICA PARA PRESENTACIÓN DEL TRABAJO DE RECUPERACIÓN
ASPECTO Excelente
10
Muy
Satisfactorio
8 – 9
poco
satisfactorio
5 – 7
Insatisfactorio
> 𝟒
Entrega del
trabajo
Dentro del plazo
normal
Fuera del plazo
normal (máx.
siguiente día)
Fuera del plazo
normal (dentro
de la semana)
No entrega
durante la
semana
Organización y
formato del
trabajo
Utiliza la hoja
adecuada, datos
informativos
completos,
instrucciones
bien definidas y
No utiliza la hoja
adecuada, datos
informativos
completos, las
instrucciones
están bien
definidas y los
No utiliza la hoja
adecuada,
datos
informativos
incompletos,
instrucciones
incorrectas y
No utiliza la hoja
adecuada, falta
datos
informativos,
instrucciones no
constan y
3. los ejercicios
están en orden.
ejercicios están
en orden.
desorden en los
ejercicios.
desorden en los
ejercicios
Número de
ejercicios
resueltos.
Resuelve todos
los ejercicios
Resuelve el 80%
al 90% de los
ejercicios de
manera correcta
Resuelve el
60% al 70% de
los ejercicios de
forma correcta
Resuelve menos
del 50% de
ejercicios de
forma correcta
INSTRUMENTO DE EVALUACION
1. Construya la gráfica de las siguientes funciones mediante tabla de valores.
a) 𝑦 = 3𝑥 − 2
b) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 4
c) 𝑦 = 3 − 4𝑥
d) 𝑓(𝑥) = −2𝑥
2. Construya la gráfica de las siguientes funciones en base de la pendiente y su intersección
con el eje y.
a) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 4
b) 𝑦 =
2
3
𝑥 + 1
c) 𝑓(𝑥) = 3 − 𝑥
d) 𝑓(𝑥) = −2𝑥
3. Halle los puntos de corte de la gráfica de cada función con los ejes coordenados, sin
representarlas en el plano.
a) 𝑦 = 3𝑥
b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 4
c) 𝑦 = 3 + 2𝑥
d) 𝑓(𝑥) =
2
3
𝑥 − 3
4. Calcular la pendiente de una recta dado dos puntos
a) 𝐴(3, 4) 𝑦 𝐵(2, 5)
b) 𝐵(3, −4) 𝑦 𝐶(−2, 3)
5. Encuentre los puntos de la gráfica de cada recta. Luego, halle la pendiente de las rectas.
a)
4. b)
6. Determina la pendiente de una recta a partir de la ecuación dada en forma explícita.
a) 𝑦 = 1 − 5𝑥
b) 𝑦 =
3
4
𝑥 − 2
c) 3𝑥 + 𝑦 = 4
d) 2𝑥 = 3 + 2𝑦
7. Determina la pendiente de una recta a partir de la ecuación dada en forma implícita.
a) 2𝑥 − 3𝑦 = 4
b) 3𝑥 + 𝑦 − 5 = 3
c) 2𝑥 + 4 = 3𝑥 − 2𝑦
d)
2
3
𝑥 +
1
2
𝑦 = 2
8. Determinar la ecuación de la recta dado dos puntos, exprese en su forma explícita y
grafique.
a) 𝐴(3, −4) 𝑦 𝐵(−3, 4)
b) 𝑀(−2, 4) y N(3, -1)
c) 𝑃(−3, −4) 𝑦 𝑄(4, 2)
9. Determina la ecuación de la recta dado punto y pendiente, exprese en su forma implícita
y grafique.
5. a) 𝐴(2, 3) 𝑚 = 2
b) 𝐵(−2, 5) 𝑚 = −4
c) 𝐶(3, −4) 𝑚 =
2
3
10. Determine la posición relativa de cada par de rectas. Luego grafíquelas en el plano
cartesiano.
a) {
𝑦 = −
2
3
𝑥 + 1
2𝑦 − 3𝑥 − 2 = 0
b) {
5 = 𝑥
𝑦 = 3
c) {
1
2
𝑥 −
1
3
𝑦 = 1
3𝑥 − 2𝑦 = 6
11. En cada caso, encuentre la ecuación de la recta que pase por el punto A, que sea en el
primer caso paralela y en el segundo caso perpendicular a la recta representada en el
plano cartesiano.
a)
b)
6. 12.Indique que tipo de solución tiene cada sistema de ecuaciones de acuerdo con su
representación.
a)
b)
7. 13.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones con dos variables por el método de
sustitución.
a) {
3𝑥 − 5𝑦 = 0
𝑥 − 2𝑦 = 1
b) {
2𝑚 + 𝑛 = 9
𝑚 − 𝑛 = 3
c) {
𝑎 + 1 = 3(𝑏 − 2)
𝑎 − 2 = 2(3 − 𝑏)
d) {
𝑦
2
−
𝑥
3
= 2
𝑥
3
−
𝑦
4
= −1
14.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones con dos variables por el método de
igualación.
a) {
4𝑥 + 𝑦 = 0
−4𝑥 − 𝑦 = 0
8. b) {
2𝑥 + 𝑦 = 1
2𝑦 + 3𝑥 = 2
c) {
30 − (8 − 𝑥) = 2𝑦 + 30
5𝑥 − 29 = 𝑥 − (5 − 4𝑦)
d) {
𝑚 = 5 + 𝑛
𝑛 = 25 − 𝑚
15.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones con dos variables por el método de
reducción. (suma o resta)
a) {
6𝑥 − 4𝑦 = 12
3𝑥 + 𝑦 = 9
b) {
2𝑎 − 3𝑏 = 7
𝑏 + 2𝑎 = 14
c) {
𝑟 = 7 − 3𝑡
𝑟 + 𝑡 = 3
d) {
𝑥−4
2
+
𝑦+2
5
= 3
𝑥−3
3
−
𝑦+4
4
= 0
16. Resuelva las siguientes inecuaciones y presente el resultado en forma gráfica y por
intervalos.
a) −𝑥 + 12 ≤ 4 − 5𝑥
b) 𝑥 + 12 ≥ 7 − 4𝑥
c) 2𝑥 + 11 > 3 + 7𝑥
d) 3 − 2𝑥 < 8 − 𝑥
17. Calcule el conjunto solución de las siguientes inecuaciones con valor absoluto y presente
el resultado en forma gráfica y por intervalos.
a) | 𝑥 − 3| < 4
b) |5 − 𝑥| > 2
c) |3𝑥 − 5| − 2 ≥ 5 − 2
d) 4 + 2| 𝑥 − 3| ≤ 8
9. 18. Determine el conjunto solución de las siguientes inecuaciones lineales con dos incógnitas
en forma gráfica.
a) 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 12
b) −3𝑥 + 5𝑦 > 15
c) 𝑦 ≥ 3𝑥 − 2
19. Halle el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones en forma gráfica.
a) {
2𝑥 + 𝑦 > 4
𝑥 − 2𝑦 − 5 < 0
b) {
3𝑥 − 4𝑦 ≤ 12
𝑥 + 2𝑦 ≤ 6
c) {
2𝑥 + 5𝑦 > 5
𝑥 − 𝑦 > −3
Estudiante: Fecha:
10. FUNCIONES
FUNCIÓN LINEAL
Se llama función lineal a cualquier función polinómica de primer grado que relaciona
dos variables y tiene la forma 𝑦 = 𝑚𝑥, donde m es una constante diferente de cero
denominada “pendiente”
𝑦 = 𝑚𝑥
Por ejemplo, 𝑦 = −2𝑥; 𝑓(𝑥) =
3
4
𝑥
La representación gráfica en el plano cartesiano es una recta que pasa por el origen.
(fig.1 y 2)
Fig. 1
Fig. 2
Elaboración propia
FUNCIÓN AFIN.
Si a dos magnitudes directamente proporcionales se les aplica alguna condición inicial,
la función que la liga ya no pasa por el origen y se dice que es una función afín y su
forma es:
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Donde 𝑚 ≠ 0 𝑦 𝑏 ≠ 0
11. Ejemplos: 𝑦 = 3𝑥 − 5; 𝑦 = −2𝑥 + 4; 𝑦 =
2
3
𝑥 + 5
Las funciones afines se representan mediante líneas rectas, pues el término
independiente que las diferencia de las funciones lineales solo produce una traslación
hacia arriba o hacia abajo de la gráfica de éstas. Para dibujar la gráfica necesitamos
obtener dos puntos. (fig. 3 y 4)
Fig. 3 Fig. 4
Elaboración propia
PENDIENTE
Pendiente “m” es la constante de proporcionalidad y recibe el nombre de pendiente
de la función porque, indica el ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje “x”
positivo que la representa gráficamente. (fig. 5)
𝑚 = 𝑡𝑔𝜃 =
𝐶𝑂
𝐶𝐴
=
𝑌2−𝑌1
𝑋2−𝑋1
=
∆𝑌
∆𝑋
Fig. 5:
𝜃
𝑥1 𝑥2
𝑦1
𝑦2
∆𝑥
∆𝑦
12. Elaboración propia
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Una función lineal o afín se la puede representar en el plano cartesiano por dos métodos
que son: por tabla de valores, dado su corte con el eje “y” y pendiente y determinado
sus cortes con los ejes coordenados.
Por tabla de valores: no nos olvidemos que la función lineal o afín relaciona dos
variables “x” y “y”. La variable “y]” se denomina independiente y la variable “x” se
denomina dependiente.
Asignamos cualquier valor a la variable independiente, ya que el dominio de una función
lineal o afín son todos los números reales y obtenemos los valores de la variable
dependiente.
Ejemplo 1: Sea la función:
𝑦 = 2𝑥
𝑥 = 0 𝑦 = 2(0)
𝑦 = 0
𝑥 = 2 𝑦 = 2(2)
𝑦 = 4
Graficando en el plano cartesiano:
Fig. 6
Elaboración propia
Ejemplo 2. Sea la función: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3
X 0 2
y 0 4
13. Damos valores a la variable independiente “x” y obtenemos los valores de la variable
dependiente “y”
𝑥 = 0 𝑓(0) = 2(0) − 3
𝑓(0) = −3
𝑥 = 2 𝑓(2) = 2(2) − 3
𝑓(2) = 4 − 3
𝑓(2) = 1
Graficando en el plano cartesiano:
Fig. 7
Elaboración propia
Video tutorial
Enlace: https://www.youtube.com/watch?v=vxVJL-v-Fq0
Corte con el eje “y” y pendiente: En primer lugar representamos el corte con el eje “y”
y luego a partir de este punto, representamos la pendiente.
Ejemplo 1: 𝑓(𝑥) =
2
3
𝑥 + 1
No olvidemos que esta función esta dado de la forma explícita: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Donde m = pendiente y b= corte con el eje “y”
En nuestro ejemplo: 𝑏 = 1 𝑦 𝑚 =
2
3
1. Representamos el corte con el eje “y”, es decir; el valor de b.
x 0 2
y −3 1
14. 2. A partir de el corte con el eje “y” representamos la pendiente, donde el
incremento de x (∆𝑥 = 3) el incremento de y (∆𝑦 = 2) ya que 𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
3. Unimos estos puntos con una recta.
Fig. 8
Elaboración propia
Ejemplo 2: 𝑦 = 3 − 2𝑥
𝑚 = −2, 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 "y" es − 3
Sabemos que. 𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
La pendiente la podemos anotar como una fracción aparente 𝑚 = −
2
1
Luego, el incremento de x (∆𝑥 = 1) y el incremento de y (∆𝑦 = −2)
3
3
2
2
1
1
-2
-2
15. Fig. 9
Elaboración propia
Video tutorial
Enlace: https://www.youtube.com/watch?v=w0kmqaqD7tI
Cortes con los ejes coordenados: para determinar donde la recta corta al eje de las
“x” hacemos 𝑦 = 0, para determinar donde la recta corta al eje “y” hacemos 𝑥 = 0.
Remplazamos estos valores en la función, determinado así los cortes con los ejes
coordenados.
Ejemplo 1. 𝑦 = 2𝑥 − 2
Corte con el eje “x” Corte con el eje “y”
𝑦 = 0 0 = 2𝑥 − 2 𝑥 = 0 𝑦 = 2(0) − 2
−2𝑥 = −2 𝑦 = −2
𝑥 = 1
Fig. 10
Elaboración propia
Ejemplo 2. Sea 2𝑥 + 3𝑦 = 6
Corte con el eje “x”
𝑦 = 0 𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 2𝑥 + 3(0) = 6
2𝑥 = 6
𝑥 = 3
16. Corte con el eje “y”
𝑥 = 0 𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 2(0) + 3𝑦 = 6
3𝑦 = 6
𝑦 = 2
Fig. 11
Elaboración propia
Video tutorial
Enlace: https://www.youtube.com/watch?v=BysKqJDGBeo
17. LA RECTA
PENDIENTE DE UNA RECTA.
La pendiente de una recta, es el ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje “x”
positivo.
Se puede presentar cuatro casos para el signo que debe tener la pendiente:
Primer caso 𝑚 = +, el ángulo de inclinación de la recta con el eje de las “x” positivo será
agudo o menor a 900
Fig. 12
Elaboración propia
Segundo caso 𝑚 = −, el ángulo de inclinación de la recta con el eje de las “x” positivo
será obtuso o mayor a 900
Fig. 13
Elaboración propia
Tercer caso 𝑚 = 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎, el ángulo de inclinación de la recta con el eje “x”
positivo será recto o igual a 900
m = +
m = -
18. Fig. 14
Elaboración propia
Cuarto caso 𝑚 = 0, el ángulo de inclinación de la recta con el eje de las “x” positivo es
de 00
Fig. 15
Elaboración propia
Pendiente de la recta dado dos puntos.
Su fórmula es: 𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
o 𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
Ejemplo 1: Determinar la pendiente de la recta que pasa por los puntos
𝐴(2, −3) 𝑦 𝐵(−3, 1)
1. Graficamos los puntos y trazamos la recta, esto nos permitirá conocer de
antemano el signo de la pendiente.
Pendiente no definida
19. Fig. 16
Elaboración propia
2. Aplicamos la fórmula:
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚 =
1 − (−3)
−3 − 2
𝑚 =
1 + 3
−5
𝑚 = −
4
5
Video tutorial
Enlace: https://www.youtube.com/watch?v=wXF10NNgies
Ejemplo 2. Determinar la pendiente de la recta dado la siguiente gráfica.
20. Fig. 17
Elaboración propia
1. Encontramos dos puntos de la gráfica de la recta. (3, 2) 𝑦 (2, 1)
2. Aplicamos la formula.
m =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚 =
1 − 2
2 − 3
𝑚 =
−1
−1
𝑚 = 1
Video tutorial
Enlace: https://www.youtube.com/watch?v=ueKaqsJ5mSs
Pendiente de la recta dada en sus diferentes formas.
Forma explícita de la recta.
La recta en su forma explícita es:
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Donde m es la pendiente y b el corte con el eje y
Ejemplo 1: Determine la pendiente y el corte con el eje “y” de la siguiente ecuación de
la recta.
𝑦 = −2𝑥 + 3
Pendiente es −2
Corte con el eje “y” es 3
Ejemplo 2: Determine la pendiente y el corte con el eje “y” de la siguiente ecuación de
la recta.
𝑦 = −4 +
1
3
𝑥
Pendiente es
1
3
21. Corte con el eje “y” es −4
Ejemplo 3: Determine la pendiente y el corte con el eje “y” de la siguiente ecuación de
la recta.
2𝑥 − 5𝑦 + 4 = 0
Escribimos en su forma explicita
−5𝑦 = −2𝑥 − 4
𝑦 =
−2
−5
𝑥 −
4
−5
𝑦 =
2
5
𝑥 +
4
5
Pendiente es
2
5
Corte con el eje “y” es
4
5
Forma implícita de la recta
La ecuación de la recta en su forma implícita es:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
Si dejamos en su forma explícita la ecuación:
𝑏𝑦 = −𝑎𝑥 − 𝑐
𝑦 = −
𝑎
𝑏
𝑥 −
𝑐
𝑏
Por lo tanto la pendiente y su corte con el eje “y” de la ecuación de la recta dada su
forma implícita es:
𝑚 = −
𝑎
𝑏
𝑏 = −
𝑐
𝑏
Ejemplo 1: Determine la pendiente y el corte con el eje “y” de la siguiente ecuación de
la recta.
2𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0
𝑎 = 2; 𝑏 = −3; 𝑐 = 5
22. Pendiente 𝑚 = −
2
−3
=
2
3
Corte con el eje “y” 𝑏 = −
5
−3
=
5
3
Ejemplo 2: Determine la pendiente y el corte con el eje “y” de la siguiente ecuación de
la recta.
2
3
𝑥 +
1
2
𝑦 = 1
Podemos determinar la pendiente directamente, pero como sugerencia podemos
eliminar denominadores.
Multiplicamos toda la ecuación por el mínimo común múltiplo: 𝑚𝑐𝑚 = 6
4𝑥 + 3𝑦 = 6
Escribimos en su forma implícita:
4𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0
Determinamos los valores de a, b y c
𝑎 = 4; 𝑏 = 3; 𝑐 = −6
Remplazamos en las formulas:
Pendiente 𝑚 = −
𝑎
𝑏
= −
4
3
Corte con el eje “y” 𝑏 = −
𝑐
𝑏
= −
−6
3
= 2
Ejemplo 3: Dado el gráfico de la ecuación de la recta, determine la pendiente y el corte
con el eje “y”
1
1
2
2
23. Fig. 18
Elaboración propia
Corte con el eje “y” 𝑏 = −3
Pendiente: Partimos del corte con el eje “y” y nos desplazamos en el eje “x” de acuerdo
al gráfico 1 unidad hacia la derecha por ser positiva y en el eje “y” 2 unidades hacia
arriba por ser positiva.
Luego, considerando la fórmula:
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
=
2
1
= 2
Video tutorial
Enlace: https://www.youtube.com/watch?v=BcSzAVKc_OA
Ecuación de la recta dado dos condiciones.
1. Ecuación de la recta que pase por dos puntos.
Para determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos utilizaremos la
siguiente formula:
Sean los puntos 𝑝1(𝑥1, 𝑦1) 𝑝2(𝑥2, 𝑦2)
𝑦 − 𝑦1 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
(𝑥 − 𝑥1)
Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta en su forma implícita si se tienen los
siguientes puntos.
𝐴(−3, −2) 𝐵(4, 1)
𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠:
24. Fig. 19
Elaboración propia
Remplazamos en la fórmula:
𝑦 − (−2) =
1 − (−2)
4 − (−3)
(𝑥 − (−3))
𝑦 + 2 =
1 + 2
4 + 3
(𝑥 + 3)
𝑦 + 2 =
3
7
(𝑥 + 3)
𝑦 + 2 =
3
7
𝑥 +
9
7
7𝑦 + 14 = 3𝑥 + 9
−3𝑥 + 7𝑦 + 5 = 0
Video virtual
Enlace: https://www.youtube.com/watch?v=Ngv5OllLQlw
2. Ecuación de la recta dado punto y pendiente.
Para determinar la ecuación de la recta que pasa por un punto y nos dan la pendiente
utilizaremos la siguiente formula.
Sea: 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) 𝑦 𝑚
𝑦 − 𝑦1 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Que se desprende de la formula anterior.
25. Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta en forma explícita cuando se
conocen 𝑃1(1,3) 𝑦 𝑚 = −
1
2
Graficamos:
Fig. 20
Elaboración propia
Aplicamos la fórmula propuesta:
𝑦 − 3 = −
1
2
(𝑥 − 1)
𝑦 − 3 = −
1
2
𝑥 + 1
𝑦 = −
1
2
𝑥 + 4
Video virtual
Enlace: https://www.youtube.com/watch?v=1zSTc0yFpv0
Posición relativa entre rectas en el plano cartesiano.
Dado dos rectas diferentes en el plano, se pueden presentar tres casos: que las rectas
sean paralelas, que las rectas sean perpendiculares o las rectas sean secantes sin
formar un ángulo de 900
entre ellas.
26. Caso 1. Las rectas sean paralelas, en este caso sus pendientes serán iguales.
𝑚1 = 𝑚2
Fig. 21
Elaboración propia
Ejemplo: Determine la posición relativa del par de rectas
{
5𝑥 + 3𝑦 = 4
10𝑥 + 6𝑦 = 2
Determinamos la pendiente de cada ecuación de la recta por la formula 𝑚 = −
𝑎
𝑏
5𝑥 + 3𝑦 = 4 10𝑥 + 6𝑦 = 2
𝑚1 = −
5
3
𝑚2 = −
10
6
= −
5
3
Comparando podemos ver que 𝑚1 = 𝑚2 por lo tanto las rectas son paralelas.
Caso 2. Las rectas sean perpendiculares, en este caso el producto de sus pendientes
será −1
𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1
Fig. 22
Elaboración propia
27. Ejemplo: Determine la posición relativa entre las dos rectas.
{
𝑦 =
1
6
𝑥 + 1
𝑦 − 6𝑥 − 2 = 0
Determinamos la pendiente de cada ecuación de la recta:
𝑦 =
1
6
𝑥 + 1 𝑦 − 6𝑥 − 2 = 0
𝑚1 =
1
6
𝑚 = −
𝑎
𝑏
𝑎 = −6 𝑦 𝑏 = 1
𝑚2 = −
−6
1
= −6
Podemos ver que las pendientes no son iguales, por lo que no son paralelas, por lo tanto
consideramos el otro criterio.
𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1
1
6
∙ −6 = −1
Caso 3. Dos rectas son secantes o se cortan en un punto sin formar un ángulo recto
cuando con cumplen con las condiciones anteriores.
Ejemplo: Determine la posición relativa entre las dos rectas.
{
1
3
𝑥 +
1
2
𝑦 = 6
𝑦 =
3
4
𝑥 − 2
Determinamos las pendientes de cada ecuación de la recta.
1
3
𝑥 +
1
2
𝑦 = 6 𝑦 =
3
4
𝑥 − 2
𝑚 = −
𝑎
𝑏
𝑚2 =
3
4
𝑚1 = −
1
3
1
2
=
2
3
Comparamos las pendientes:
2
3
≠
3
4
Las rectas no son paralelas
28. 2
3
∙
3
4
≠ −1Las rectas no son perpendiculares
Por lo tanto las rectas son secantes.
Video virtual
Enlace: https://www.youtube.com/watch?v=MLEAMmD95G8
Determinar la ecuación de la recta si se conoce su posición relativa
respecto a otra recta.
Vamos a considerar dos ejemplos para entender el proceso.
Ejemplo 1. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el 𝐴(2, 4) y es perpendicular
a la recta 2𝑥 + 3𝑦 = 6
1. Determinamos la pendiente de la ecuación dada
𝑚1 = −
𝑎
𝑏
𝑎 = 2 𝑦 𝑏 = 3
𝑚1 = −
2
3
2. La pendiente obtenida remplazamos en la condición de perpendicularidad para
determinar la pendiente de la recta perpendicular.
𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1
−
2
3
∙ 𝑚2 = −1
𝑚2 =
−1
−
2
3
=
3
2
3. Determinamos la ecuación de la recta perpendicular que pase por el punto
𝐴(2,4) 𝑦 𝑚 =
3
2
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 4 =
3
2
(𝑥 − 2)
𝑦 − 4 =
3
2
𝑥 − 3
𝑦 =
3
2
𝑥 + 1
4. Graficamos las rectas para comprobar resultados.
29. 2𝑥 + 3𝑦 = 6
𝑥 = 0 2(0) + 3𝑦 = 6
3𝑦 = 6
𝑦 = 2
𝑦 = 0 2𝑥 + 3(0) = 6
2𝑥 = 6
𝑥 = 3
𝑦 =
3
2
𝑥 + 1
Ya tenemos el punto 𝐴(2,4), determinamos otro punto para trazar la recta.
𝑥 = 0 𝑦 =
3
2
(0) + 1
𝑦 = 1
Graficamos.
Fig. 23
Elaboración propia
Video virtual
Enlace: https://www.youtube.com/watch?v=57qdcNeqDj8
Ejemplo 2. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐴(5, −2) y es
paralela a la recta que pasa por los puntos (−2, −3) 𝑦 (3,3)
x 0 3
y 2 0
X 2 0
y 4 1
30. 1. Determinamos la pendiente de la recta dado dos puntos.
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚1 =
3 − (−3)
3 − (−2)
=
3 + 3
3 + 2
=
6
5
2. Aplicando la condición de paralelismo 𝑚1 = 𝑚2 tenemos que 𝑚2 =
6
5
3. Determinamos la ecuación de la recta paralela.
𝐴(5, −2) 𝑚 =
6
5
𝑦 − (−2) =
6
5
(𝑥 − 5)
𝑦 + 2 =
6
5
𝑥 − 6
𝑦 =
6
5
𝑥 − 8
Video virtual
Enlace: https://www.youtube.com/watch?v=CbIIHo9O5JE
31. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Se denomina sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas a todo conjunto
formado por dos ecuaciones lineales, cabe señalar que al sistema de ecuaciones se lo
llama también ecuaciones simultáneas.
Ejemplo:
{
3𝑥 − 2𝑦 = 5
4𝑥 + 𝑦 = 3
Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, es determinar un par ordenado
que satisfaga a ambas ecuaciones lineales.
Ejemplo: Demostrar que el par ordenado (3, −1) es la solución del sistema de
ecuaciones lineales.
{
3𝑥 − 2𝑦 = 11
−2𝑥 + 2𝑦 = −8
Remplazamos el par ordenado en ambas ecuaciones lineales.
3(3) − 2(−1) = 11 −2(3) + 2(−1) = −8
9 + 2 = 1 −6 − 2 = −8
11 = 11 −8 = −8
Obteniendo dos igualdades lo que demuestra que el par ordenado es la solución del
sistema.
Solución de un sistema
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas se la puede resolver por los
métodos: gráfico, sustitución igualación, reducción y determinantes.
De acuerdo a la planificación de recuperación pedagógica consideraremos los
siguientes métodos.
Partiremos de un ejemplo para indicarles cada método
Método de sustitución.
Ejemplo: resolver el siguiente sistema por el método de sustitución.
{
2𝑥 + 𝑦 = 1
3𝑥 + 2𝑦 = 2
32. 1. Escogemos cualquiera de las ecuaciones y despejamos una cualquiera de las
variables.
2𝑥 + 𝑦 = 1
𝑦 = 1 − 2𝑥
2. Sustituimos el valor de “y” en la ecuación no escogida, quedando una ecuación
sencilla de primer grado con una variable.
3𝑥 + 2(1 − 2𝑥) = 2
3𝑥 + 2 − 4𝑥 = 2
3𝑥 − 4𝑥 = 2 − 2
−𝑥 = 0
𝑥 = 0
3. Este valor de “x” remplazamos en la ecuación despejada de “y”
𝑦 = 1 − 2(0)
𝑦 = 1
4. Comprobamos resultados remplazando en el sistema de ecuaciones dadas.
2(0) + 1 = 1 3(0) + 2(1) = 2
1 = 1 2 = 2
Video virtual
Enlace: https://www.youtube.com/watch?v=79J9lwzuuaQ
Método de igualación
Ejemplo: resolver el sistema de ecuaciones lineales por el método de igualación.
{
3𝑥 − 4𝑦 = 15
2𝑥 + 𝑦 = 5
1. Despejamos en ambas ecuaciones la misma variable.
3𝑥 − 4𝑦 = 15 2𝑥 + 𝑦 = 5
3𝑥 = 15 + 4𝑦 2𝑥 = 5 − 𝑦
𝑥 =
15+4𝑦
3
𝑥 =
5−𝑦
2
2. Igualamos estos valores de la variable “x” y resolvemos la ecuación sencilla con una
variable.
15+4𝑦
3
=
5−𝑦
2
𝑚𝑐𝑚 = 6
33. 2(15 + 4𝑦) = 3(5 − 𝑦)
30 + 8𝑦 = 15 − 3𝑦
8𝑦 + 3𝑦 = 15 − 30
11𝑦 = −15
𝑦 = −
15
11
3. Sustituimos el valor de “y” en cualquiera de las dos ecuaciones despejadas.
𝑥 =
5 − (−
15
11
)
2
=
5 +
15
11
2
=
70
11
2
=
35
11
4. Comprobamos el resultado.
3𝑥 − 4𝑦 = 15
3 (
35
11
) − 4 (−
15
11
) = 15
105
11
+
60
11
= 15
165
11
= 15
15 = 15
Video virtual
Enlace: https://www.youtube.com/watch?v=RYlzCra2WZU
Método de reducción.
Ejemplo: Resuelva el siguiente sistema lineal por el método de reducción.
{
3𝑚 − 2𝑛 = 7
2𝑚 + 𝑛 = 14
1. Reducimos la variable “n” por lo que determinamos el mcm de los coeficientes de n
que seria 𝑚𝑐𝑚 = 2
2. Multiplicamos los coeficientes de n por una cantidad que nos dé el mcm pero con
signos opuestos.
{
3𝑚 − 2𝑛 = 7
2𝑚 + 𝑛 = 14
𝑚𝑐𝑚 = 2
3𝑚 − 2𝑛 = 7 3𝑚 − 2𝑛 = 7
34. 2𝑚 + 𝑛 = 14 /× 2 4𝑚 + 2𝑛 = 28
7𝑚 = 35
𝑚 = 5
3. Remplazamos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones para determinar el
valor de “n”.
3(5) − 2n = 7
15 − 2𝑛 = 7
−2𝑛 = −8
𝑛 = 4
4. Comprobamos el resultado en la ecuación que no se utilizó para hallar el valor de
“n”
2𝑚 + 𝑛 = 14
2(5) + 4 = 14
10 + 4 = 14
14 = 14
Video virtual
Enlace: https://www.youtube.com/watch?v=QYsAgjS5gvA
35. INECUACIONES
Inecuación es una desigualdad en donde hay cantidades desconocidas denominadas
incógnitas.
Para resolver una inecuación se sigue los mismos pasos que se aplica para resolver
una ecuación con la siguiente salvedad.
Si se multiplica o divide una inecuación por un número negativo cambia el sentido de la
inecuación.
Para resolver inecuaciones, en primer lugar revisemos la teoría sobre intervalos.
Intervalo cerrado. El intervalo es cerrado cuando se considera los valores extremos.
Utilizamos corchetes para simbolizarlo y en el gráfico empleamos círculos pintados.
Ejemplo:
[−2, 3] −2, −1,0,1,2,2
Intervalo abierto. El intervalo es abierto cuando no se considera los valores extremos.
Utilizamos corchetes invertidos o paréntesis para simbolizarlo y en el gráfico empleamos
círculos sin pintarlos.
Ejemplo:
]−1, 3[ 0,1,2
Los intervalos pueden ser abiertos solo por la derecha o izquierda, el infinito (𝛼) se
considera abierto.
Video virtual
Enlace: https://www.youtube.com/watch?v=dZOcJN7Zi7k
Resolución de una inecuación con una incógnita.
Ejemplo 1: Resuelva la inecuación por intervalo y de forma gráfica.
2𝑥 − 4 ≥ −3𝑥 + 6 Transponemos términos
-2 3
-1 3
36. 2𝑥 + 3𝑥 ≥ 6 + 4 Reducimos términos semejantes
5𝑥 ≥ 10 Dividimos toda la desigualdad para 5.
𝑥 ≥ 2 Desigualdad
Gráfico
[2, 𝛼[ Intervalo
Ejemplo 2: Resuelva la inecuación por intervalo y de forma gráfica.
𝑥 − 4 > 3𝑥 + 2
𝑥 − 3𝑥 > 2 + 4
−2𝑥 > 6 Divido para −2 toda la inecuación
𝑥 < −3 Desigualdad
Gráfico
]−𝛼 − 3[ Intervalo
Video virtual
Enlace: https://www.youtube.com/watch?v=M0xuFb8cjq8
Enlace: https://www.youtube.com/watch?v=PhXdL4GaFHg
Inecuación con valor absoluto.
Para todo número sea positivo o negativo (reales) su valor absoluto es siempre positivo.
Ejemplos:
2
-3−𝛼
α
37. |4| = 4
|−4| = 4
Determine el valor de x en la siguiente igualdad.
| 𝑥| = 5
Aquí x puede ser positivo o negativo 𝑥 = 5; 𝑥 = −5
Con esta explicación desarrollemos el siguiente ejercicio.
Ejemplo 1.
4 + 2| 𝑥 − 4| ≥ 6 Dejamos en el primer miembro el valor absoluto
2| 𝑥 − 4| ≥ 6 − 4 Reducimos términos semejantes
2| 𝑥 − 4| ≥ 2 Dividimos toda la desigualdad para 2
| 𝑥 − 4| ≥ 1
La expresión que está entre las barras puede ser positivo o negativo.
𝑥 − 4 ≥ 1 −(𝑥 − 4) ≥ 1
𝑥 ≥ 5 −𝑥 + 4 ≥ 1
−𝑥 ≥ −3
𝑥 ≤ 3
]−𝛼, 3] ∪ [5, +𝛼[
Video virtual
Enlace: https://www.youtube.com/watch?v=Z2KCLEEIuF8
Ejemplo 2.
|2𝑥 − 3| < 7
2𝑥 − 3 < 7 −(2𝑥 − 3) < 7
3 5−𝛼 +𝛼
38. 2𝑥 < 10 −2𝑥 + 3 < 7
𝑥 < 5 −2𝑥 < 4
𝑥 > −2
El resultado es el espacio con doble línea
]−2,5[
Video virtual
Enlace: https://www.youtube.com/watch?v=SviIVcrUKlg
Inecuaciones lineales con dos incógnitas.
Para resolver una inecuación con dos variables, lo primero que hacemos es
transformarla en una igualdad y graficarla, quedando dividido el plano en dos partes,
tomamos un punto que pertenezca a cada región y remplazamos en la desigualdad, si
satisface la desigualdad, esa será la región resultado.
Ejemplo 1: Resuelva la inecuación 2𝑥 − 𝑦 > 4
1. Transformamos en igualdad
2𝑥 − 𝑦 = 4
2. Graficamos
𝑥 = 0 −𝑦 = 4
𝑦 = −4
𝑦 = 0 2𝑥 − 0 = 4
𝑥 = 2
X 0 2
y −4 0
-2 5
39. Fig. 24
Elaboración propia
3. Escogemos un punto de una de las dos regiones en que quedó dividido el plano y
remplazamos en la inecuación dado, si cumple con la desigualdad la región que
pertenece el punto es la solución, caso contrario, será la otra región.
𝑃(0,0)
2𝑥 − 𝑦 > 4
2(0) − 0 > 4
0 > 4
No cumple con la desigualdad, por lo tanto la solución será la región contraria sin
incluir la recta.
Fig. 25
Elaboración propia
Video virtual
Enlace: https://www.youtube.com/watch?v=WbSS9OXD1kI
40. SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES
Vamos a tratar este tema en base de un ejemplo, como podrán observar es necesario
que ustedes entiendan bien los temas anteriores para resolver este tipo de ejercicios.
EJEMPLO: Calcular la solución de este sistema de inecuaciones lineales con dos
incógnitas.
{
2𝑥 − 3𝑦 + 6 ≥ 0
𝑥 + 2𝑦 ≤ 6
1. Resolvemos gráficamente cada inecuación
2𝑥 − 3𝑦 + 6 ≥ 0 Transformamos en igualdad
2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0 Graficamos en el plano cartesiano
𝑥 = 02(0) − 3𝑦 + 6 = 0
−3𝑦 = −6
𝑦 = 2
𝑦 = 02𝑥 − 3(0) + 6 = 0
2𝑥 = −6
𝑥 = −3
Fig. 26
Elaboración propia
El plano queda dividido en dos regiones, consideramos cualquiera de las dos
regiones y tomamos un punto que pertenezca a la región escogida, remplazamos
en la desigualdad, si cumple la región a la que pertenece el punto será la solución,
si no cumple con la desigualdad la solución será la región opuesta.
𝑃(0,0)
2𝑥 − 3𝑦 + 6 ≥ 0 Remplazando el punto escogido.
2(0) − 3(0) + 6 ≥ 0
6 ≥ 0
X 0 -3
y 2 0
41. La solución de esta inecuación es:
Fig. 27
Elaboración propia
𝑥 + 2𝑦 ≤ 6 Transformamos en igualdad
𝑥 + 2𝑦 = 6 Graficamos en el plano cartesiano
𝑥 = 0 0 + 2𝑦 = 6
2𝑦 = 6
𝑦 = 3
𝑦 = 0 𝑥 + 2(0) = 6
𝑥 = 6
Fig. 28
Elaboración propia
Escogemos el 𝑃(0,0) y remplazamos en la desigualdad a ver si cumple con esta, en
caso de cumplir, la región donde se encuentra el punto que escogimos será la solución.
𝑥 + 2𝑦 ≤ 6
0 + 2(0) ≤ 6
X 0 6
y 3 0
42. 0 ≤ 6 Si cumple con la desigualdad por lo tanto su solución es:
Fig. 29
Elaboración propia
2. Representamos en un mismo plano cartesiano las dos soluciones
Fig. 30
Elaboración propia
3. Escogemos la región del plano que cumple con las dos condiciones.
Fig. 31
Elaboración propia
