1. CIRCULO Y CIRCUNFERENCIA
Profesor:
Rodolfo Arias Carrasco.

2. Un círculo es un conjunto de puntos de un plano cuya distancia
entre un punto fijo llamado centro y cualquier punto de él es menor
o iguala un valor constantes. El valor constantes es el radio del
círculo.

3. Un sector circular es una porción del círculo determinado
por dos radios y el arco comprendido entre ellos.
Un segmento circular es una porción
del círculo determinada por una cuerda y
uno de los arcos determinados por ella

4. Un trapecio circular es la región del
círculo determinada por dos
circunferencias concéntricas y por dos
radios
Un anillo (o corona) circular es
una porción del círculo limitada por
dos circunferencias concéntricas

5. CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico de un conjunto
de infinitos puntos que equidistan de un punto fijo. A tal punto se le llama
centro de la circunferencia

6. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
Flecha o
N
sagita Q
Cuerda PQ Recta
M secante
P
Radio
A B
Arco BQ
Centro
Diámetro
( AB )
T
Recta
Punto de tangencia tangente

7. PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
01.-Radio trazado al punto de tangencia es
perpendicular a la recta tangente.
L
R
R ⊥L

8. 02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda
la biseca (divide en dos segmentos congruentes).
P
N
M
R
Q
R ⊥ PQ ⇒ PM = MQ

9. 03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las
paralelas.
A B
 
C D
Si : AB // CD ⇒ mAC = mBD

10. 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia
les corresponden arcos congruentes.
A C
Cuerdas congruentes
Arcos congruentes
B
Las cuerdas D
equidistan del
centro
Si : AB = CD ⇒ mAB = mCD

11. POSICIONES RELATIVAS DE DOS
CIRCUNFERENCIAS
01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro.
R
r
d = Cero ;; d :: distancia
d = Cero d distancia

12. 02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.
R
r
R r
Distancia entre
los centros (d)
d>R+r
d>R+r

13. 03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un
punto común que es la de tangencia.
Punto de tangencia
R
r
R r
Distancia entre
los centros (d)
d = R + rr
d = R +

14. 04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un
punto en común que es la de tangencia.
Punto de
tangencia
R
r
R
d
d = R -- r
d=R r d: Distancia entre los centros

15. 05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes
que son las intersecciones.
R r
Distancia entre
los centros (d)
(( R – r )) < d < (( R + r ))
R–r <d< R+r

16. 06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son
perpendiculares en el punto de intersección.
R
r
Distancia entre
los centros (d)
d22 = R22 + r22
d =R +r

17. 06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.
R
r
d
d < R -- r
d<R r d: Distancia entre los centros

18. PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede
trazar dos rayos tangentes que determinan dos
segmentos congruentes.
A
R
α
α P
R
B AP = PB
AP = PB

19. 2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes
A
B
R
r
r
R
D
C
AB = CD
AB = CD

20. 3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.
A
R D
r
r
R B
C
AB = CD
AB = CD

21. TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la
suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la
hipotenusa mas el doble del inradio.
Inradio
b Circunradio
a r
R R
c
a + b = c + 2r
a + b = c + 2r a + b = 2 (( R + rr ))
a + b = 2 R+

22. TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados
opuestos son iguales.
b
Cuadrilátero circunscrito
c
a
d
a + c = b + d
a + c = b + d

24. 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del
arco que se opone.
A
r
C α
r
B
α = mBA
α = mBA

25. 2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a
la semisuma de las medidas de los arcos opuestos
A D
β
C
B
mAB + mCD
β=
2

26. 3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la
medida del arco opuesto y por lo tanto, es igual a la mitad
de la medida del ángulo central.
A
B
θ
C
mBA
θ=
2

27. 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSCRITO.- Es igual a
la mitad de la medida del arco opuesto y por lo tanto, es
igual a la mitad de la medida del ángulo central.
A
C
δ
B
mBA
δ=
2

28. 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad
de la medida del arco ABC.
A
ε
C B
mCBA
ε=
2

29. 6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a
la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.
A mACB - mBA
α=
2
C α O
B
α + mBA = 180°
α + mBA = 180°

30. b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la
semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.
B
C
β O
D
A
mBA - mDC
β=
2

31. c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra
secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los
arcos opuestos.
B
θ O
C
A
mBA - mCB
θ=
2