Semana 2

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2013-III
TRIGONOMETRÍA
Semana Nº 2
“Sector Circular”

SECTOR CIRCULAR Donde:
Es aquella porción de círculo limitado por dos l : longitud de arco
radios y un arco de circunferencia θ : Número de radianes del ángulo
central
r: radio de la circunferencia
Ejemplo:
Del gráfico mostrado, calcular la longitud
de arco (l), siendo 0: centro.

De la figura se obtiene:
A0B Sector Circular

Solución:
π
l= . 18
Longitud de Arco (l); Es aquella en unidades de
6
l = 3π cm
longitud de un arco de circunferencia, se calcula
mediante el producto del número de radianes
PROPIEDAD:
del ángulo central y el radio de la
circunferencia.
Deducción: Sea la circunferencia con
centro en “0” y radio “r” comparando la A1 L α
longitud de arco y el ángulo central como = 1 =
se muestra en la figura siguiente:
A2 L2 θ
(Radio constante)

Área Del Sector Circular: El área de un
Sector Circular se calcula mediante el producto
del número de radianes del ángulo con el radio
de la circunferencia elevado al cuadrado
dividido entre dos.
Deducción:
Teniendo en cuenta el significado
geométrico de 1rad. se tiene:
Longitud de Arco Ángulo Central
l θ rad.
r 1 rad.
De donde se obtiene l=θ.r.

Centro Preuniversitario de la UNS S-02 1 Ingreso Directo

NÚMERO DE VUELTAS (nv): El número de
vueltas que da una rueda de radio “r” al
desplazarse (sin resbalar) se calcula mediante
el cociente de la longitud que describe el centro
de la rueda dividido entre 2πr. (perímetro de la
rueda).
Comparando (por regla de tres simple)
Área de un Sector Circular Ángulo Central
π r2 2π rad.
S θ rad.
Resolviendo se obtiene:
θr2 lr
En esta figura el número de vueltas que da la
S = también: S=
2 2
rueda de radio (r) al desplazarse desde “A”
hasta “B” se calcula:
l2
S=
2θ lc L
nv = ; θg = ;
Ejemplo: 2π r r
Del gráfico mostrado, calcular el área del θg
sector A0B. 0: centro. n =
2π
(lc : longitud descrita por el centro de la rueda).

(*) Cuando una rueda (aro, disco) va rodando sobre
una superficie curva.
Solución:
π 62
S = .
3 2
S = 6π cm2

Área del Trapecio Circular:

α (R + r ) α (R − r )
n = n =
2πr 2πr

(*) Ruedas unidas por una faja o en contacto.

L +L 
S =  1 2 d
 2 
S = COD − AOB
S S

Valor numérico del ángulo central
L1 − L 2 Se cumple:
θ= ; (0 < θ < 2 π)
θ1r1 = θ2r2
d n1r1 = n2r2
L1 = L2


L1 L
(*) Ruedas unidades por sus centros. Se cumple: θ1 = θ2 n1 = n2 = 2
r1 r2

Propiedad
R

R
R
7S
R 5S
3S
S
0
R R R
R

PROBLEMA θ θ
RESUELTOS Sx = a² − b²
2 2
θ
1) Halle el área sombreada: Sx = a² − b²
a) π
A 2 
C
b) 2 π 1π
Sx =  ÷6²
c) 3 π
2 6  
o 30º 6 36 π
d) 4 π Sx =
12
e) 5 π Sx = 3π
D
RESOLUCIÓN B RPTA.: C

A 2) Se tiene una bicicleta cuyas ruedas
a C tienen por radios R1 y R2 (R1 < R2); cuando
la rueda menor gira αº la mayor gira αg.
¿En qué relación se encuentra los radios?
o 30º 6 3 8 9 3 9
a) b) c) d) e)
7 13 10 10 4
Sx = S∆AOB − S∆COD b RESOLUCIÓN
D Si θ1 y θ2 son los ángulos que giran la rueda
B
menor y mayor respectivamente.

αg
αº R2
Centro Preuniversitario de la UNS S-02 3
R1 Ingreso Directo

a) 85 b) 9 c) 10 d) 10,5 e) 11
RESOLUCIÓN
En una bicicleta se cumple que: l RECORRIDA
#V =
θ1R1 = θ2R2 2π r
αºR1 = (αg)R2 Sabemos: lr = (π) (21) = 21π
 9  21 π
αºR1 = ( αº )  ÷R 2 ⇒ # vueltas =
 10  2 π ( 1)
R1 9 #v = 10,5
=
R 2 10 RPTA.: D
RPTA.: C
5) De la figura mostrada, la rueda de radio
3) Se tienen dos ruedas conectadas por una r, gira sin resbalar sobre la superficie de
faja; si hacemos girar la faja, se observa radio 240 r. ¿Cuál es la longitud recorrida
que las ruedas giran ángulos que suman por el centro de la rueda hasta que el punto
144º. Determine la diferencia de los B este en contacto con la superficie de la
números de vueltas que dan estas ruedas curva, si: m S AOB = 120º, r = 18u?
si sus radios miden 3 m y 5 m B
1 1 1 1 1 r
a) b) c) d) e)
3 8 9 4 10
RESOLUCIÓN A
θ1 + θ2 = 144º

5 B
3 240 r A

→ L1 = L2 → θ1R1 = θ2R2 a)24 π b) 24,1π c)24,2π d) 24,3π e) 24,4π
θ1 R 2 V 5 RESOLUCIÓN
= ⇒ 1 =
θ2 R1 V2 3
π
L AB
» = 240º ( 18u) = 24π
180
θ1 θ 144π 1
+ 2 = g
2π 2 π 180 2π B
2 2
V1 + V2 = ⇒ 8k = ⇒ V1 − V2 = 2k r
5 5
1 1 A
k= V1 − V2 = 2g L
20 20
1
r

=
0

10
24

RPTA.: E

4) Halle el número de vueltas que da la B
rueda de radio (r = 1) al ir de la posición A
hasta la posición B. De la figura:
L 24π
=
241r 240 r
20

r o
A o B r

L = 24,1 π ii) Perímetro = Perímetro
RPTA.: B
→ 2R + L = 4a
6) En la figura, el trapecio circular ABCD y a
el sector circular COD tienen igual área.
m
Halle:
n

a)
2
A
a S a
2 D
1
b)
2 a
o m n
→ (2R+L)²=16a²→(2R+L)² = 8(2a²)
c) 2 → 4R² + 4R.L + L² = 8(R.L)
d) 2 → 4R² − 4R.L +L² = 0
C
B → (2R−L)² = 0 → 2R − L = 0
e) 1
→ 2R = L → 2R = θ R → θ = 2
RESOLUCIÓN
RPTA.: B

PROBLEMA DE
n CLASE
θrad S m S
L2 + 2 L3
1) De la figura mostrada calcule: , si
m²  11.L1
menor : S =
2θ  L1 , L 2 y L 3 son longitudes de arcos y

 AB = BC = CD y “K” es el área del sector
 ÷ circular JAH
n² 
mayor : 2S = 
2θ 

1 m²
=
2 n²
1 m m 2
= → = A) 4 B) ½ C) 1 D) 3/2 E) 2
2 n n 2
RPTA.: A
2) La medida del ángulo central de un sector
7) Se tiene un sector circular y un circular de radio R es 24º y se desea
cuadrado, con equivalente área e igual disminuirlo 18º de tal manera que el área no
perímetro; luego la medida, en radianes, de varié si aumentamos el radio una longitud
su ángulo central correspondiente resulta “x” .determinar “x”
ser: A) R B) 2R C) R/2 D) R/3 E) 3R
1 1
A)1 rad B) 2 rad C) rad D)4rad E) rad
2 4
RESOLUCIÓN 3) De la figura mostrada, Siendo O centro del
sector circular AOB y COD,
Condiciones: AC = BD = x , LCD = x −1 ,
LgR
i) S =S →
2
= a² LAB = x + 1 , entonces el valor de θ.x
, es:
→ R.L = 2a²


6) La figura adjunta es una semicircunferencia
donde O es el punto medio de AD. Si el área
de la región sombreada es π y m<BOC =
90º, determine el área de la región
triangular BDC.

A) 1 B) 1,5 C)2 D) 2,5 E) 3

4) De la figura mostrada si AOB, COD y EOF
son sectores circulares, además;
π 2π
OA = OB = LCD , CE = DF = LAB A) B) C)
π −2 π −2
; AC = BD = LEF . Calcule: π
1 +θ 3
π +2
M =
1 −θ 2π
π +2
D) π +2 E)
π −2

7) En la figura mostrada, Se muestra dos
circunferencias de radios r1 y r2 (r1 < r2) y L1
, L2 son las longitudes de arco de los
sectores circulares , AOB y COD
1 1 respectivamente. calcular L1/L2
A) B) C)1 D) 2
4 2
E) 4

5) De la figura AOB y COD son sectores
circulares. El área de la región COD es S y
de la región ABCD es 2S; si LAB = l ,
determine CB −1 −1
A) r1 .r2 B) r2 .r1
C) r1 − r2
D) r1 .r2 E) r1 + r2

8) En la semicircunferencia mostrada, O es el
A)
S
l
(
6 −2 3 ) B)
S
l
(
7 −2 3 ) centro; además el área de la región
sombreada es “x”, Siendo A1 y A2 las áreas

C)
S
l
(
8 −2 3 ) de los sectores circulares AOB y COD
respectivamente. Determine A1 + A2.

S
l
(
9 −2 3 )
D) E)
S
l
(
11 − 2 3 )


2πx πx 12) Si el perímetro de la región sombreada es
A) B)
4π − 3 3 8π − 6 3
3πx
, calcule la longitud del lado del
C) 4π + 3 3
cuadrado ABCD.
πx
πx
D) 8π + 3 3 E) 8π + 6 3

9) En la figura mostrada, R A = RB = 2cm ,
O' O' ' = 2 2cm , Calcule el área de la A) ½ B) 1 C) D) E) 2
región sombreada.

13) De la figura mostrada sí r = 3 ; AM = 6,
MB =8. Calcule el número entero de vueltas
que da la rueda al ir desde A hasta B sin
deslizamiento.

A) B) C)
2π − 2 2π − 3
2π − 7
2
D) E)
2π − 4 2π − 5
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
10) Determine el área de un sector circular en
función de su perímetro P, si se sabe que 14) En la figura. Si la rueda “A” gira un ángulo de
dicha área es máxima. 300g ¿Qué ángulo girara la rueda D?
RA = 3, RB = 4, RC = 1, RD =2
P2
P2 P2
A) B) C) 8 D)
2 4
P2
P2
16 E) 32
11) En la figura mostrada, el extremo “A” del
péndulo recorre los arcos L1 y L2 hasta llegar
a C . Halle “x” (en m), si L1 + L2 = 8πm
A) 1620º B) 1680º C)1690º D) 1720º E) 1800º

15) En el sistema mostrado, las ruedas A y B
están unidas por una faja, y las ruedas B y C
están unidas por un eje común. Halle el
número de vueltas que da la rueda “C” si la
rueda “A” barre un ángulo de 2160º

A) 7 B) 8 C) 8.5 D) 9 E) 9.2


a 10 veces su diferencia. Entonces, el
cociente entre los ángulos barridos, de la
rueda menor a la rueda mayor es:
10
9 9
A) B) C) 9 D)
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
11 10
11
PROBLEMA DE
11
9 E)
REPASO 10
4) En la circunferencia de la figura mostrada,
1) En la figura mostrada r1 = 2u , r2 = 4u , r3 =
dos autos A y B parten del punto P en la
3u, r4 = 8u ; si las dos esferitas se
misma dirección, con velocidades VA y VB
encuentran inicialmente al mismo nivel y la
respectivamente; después de un tiempo “t”
rueda de radio r1, gira un ángulo de medida 1
el ángulo central formados por sus
rad, entonces la diferencia de alturas (h),
posiciones finales mide 90º. Calcule el valor
después de este giro (en u), es:
de a (en radianes), si se cumple que V A es a
VB como 2 es a 5.

π
A) 2.5 B)2 C) 3 D) 3,5 E) 1 π π π
A) B) C) D) 3
6 5 4
2) De la figura mostrada, determinar el
número de vueltas que da una rueda de π
E)
radio r para recorrer el circuito MNP. 2
5) Se tiene dos monedas colocadas sobre una
mesa. Las monedas tienen diámetros D1 y
D2, siendo D1 > D2. La moneda más grande
esta fija y la moneda pequeña rueda sobre
el borde de la otra, haciendo un recorrido
completo y dando exactamente 3 vueltas.
D1
calcule:
R + 3r R − 3r R − 3r D2
A) B) C) D)
6r 6r 2r A) 2 B) 1,5 C) 2, 5 D) 3 E) 3,5
3R − r 3R − r
E)
6) En la figura, m<ABC = 30(x+1)º/π
2r 6r LAC = (2x - 1)m y el radio de la circunferencia
tiene por medida 3m, calcular x.
3) Dos ruedas de radio r y R (r < R), recorren
la misma distancia horizontal. Si la suma del
número de vueltas de ambas ruedas es igual


A)
430πR B) 432πR C)
438πR D)

500πR E) 600πR

10) Sobre una pista circular, 3 móviles parten al
mismo tiempo de un mismo punto y están
animados con un movimiento uniforme con

A) ¼ B) 1/3 C) ½ D) 1 E) 2 velocidades de . Calcule el

tiempo en que por primera vez se encuentran
7) En la figura, las áreas de las superficies los tres móviles.
ABCD y DOC cumplen la relación
A) 6 min B) 8 C)10 D) 12 E) 14
2m
S ABCD = 2.S DOC .calcule − 3
n 11) En la figura mostrada, la rueda “A” gira 20
vueltas y la rueda “B” gira 5 vueltas. Calcule
la separación entre sus puntos de tangencia,
en cm respecto al suelo.
Si rA = 2cm y rB = 8cm

A)0 B) ½ C) 1 D) 3/2 E) 2

8) En la figura mostrada ABCD es un cuadrado
de lado 4u. calcule el área de la región A) 2(1 +15π ) B)
sombreada. 3( 2 + 20π )
C) 5( 2 +10π ) D)
8(1 + 20π ) E) 4( 3 + 30π )

12) En el sistema adjunto. ¿Cuánto medirá el
ángulo (en radianes) que se debe girar para
A) que los centros de las esferas A y B se
π +1 B) π + 2 C)
π + 3 D) encuentren a la misma altura si inicialmente
π + 4 E) π + 5 dicha diferencia de alturas es de 14
unidades?
9) El tramo de una vía férrea curvilínea está 5 u

formado por 36 arcos sucesivos. El primer 2 u
π
arco corresponde a un ángulo de rad ,
37
A
con un radio tal como R, el segundo
B
corresponde a un ángulo central doble del
anterior, el tercero corresponde a un ángulo el a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 2,5
triple del primero y con un ángulo también el
triple del primero y así sucesivamente hasta el
último arco. Encontrar la longitud total de la
vía férrea curvilínea.


S1
13) De la figura, calcular ; siendo S1:
S2
Área del sector AOB y S2: Área del sector
COD.

a a a
a) b) c) d)
a +b a −b a − 2b
a a
e)
a + 2b 2a + b


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