Tecnicas de Programacion Orientadas a Objetos Licenciatura - ULACIT

1. Crecimiento Asintótico de una
Función ƒ(x) y su relación con el
rendimiento de la programación
Ing. Juan Ignacio Zamora MSc | Ulacit 2012.

2. • Sean X y Y dos conjuntos de números
reales.
• Una función “ƒ” de una variable real “X” de
X a Y es una correspondencia que asigna
a cada numero {x} de X a un numero {y}
de Y
Función Real de Una Variable Real

3. • Al conjunto “X” se le llama dominio de “ƒ”.
• El valor {y} se le llama “imagen” de {x} por f y se denota
por ƒ(x).
– X = { 1, 2, 3 ….. n}
– Y = {… 1, 2, 3, …}
• El recorrido “ƒ” se denomina como el subconjunto de “Y”
formado por todas las imágenes de los números de “X”
Función Real de Una Variable Real

4. Dominio
de
{x}
Recorrido
y
=
ƒ(x)
ƒ Y
X = {1,2,3}
Y = {1,2,3,4}
Recorrido
de
una
Función

5. • Una función X a Y es “Inyectiva” si a cada valor
{y} perteneciente al recorrido le corresponde
exactamente un valor del dominio.
• Se dice que una función es “Suprayectiva” o
“Biyectiva” si su recorrido es todo “Y”
• Sobreyectiva: para cada imagen (y) existe un
elemento en el dominio.
Dominio y Pertenencia
Pre
Imagen
{dominio}
Imagen
{codominio}

6. • La variable {x} es la variable
independiente.
• La variable {y} es la variable dependiente.
– Podemos decir que el área “A” de un círculo
está en función de su radio y denota como
Variables Involucradas
y su relación…

7. Funciones
Con dominio Explícito

8. Función Implícita y Explícita

9. • Una relación entre 2 conjuntos “X” y “Y” es
un conjunto de pares ordenados de la
forma (x , y) donde {x} es un elemento de
“X” y {y} es un elemento de “Y”.
Notación de Funciones

10. • Los puntos de la gráfica están dados por
los puntos (x, ƒ(x) ), donde {x} pertenece
al dominio de ƒ.
– {x} : es la distancia al eje Y
– ƒ(x) : es la distancia al eje X
Gráfica de una Función
El término ƒ(x) fue definido por el matemático Leohnard Euler

11. • Funciones Algebraicas (polinómicas,
radicales, racionales)
• Funciones Trigonométricas (sen, cos, tan)
• Exponenciales y Logarítmicas
Funciones Elementales
Y su clasificación

12. • n: es el grado de la función
• ai: es el coeficiente y an es el coeficiente
dominante
• a0: es el término constante
Grado de una Función
Y sus componentes

13. • Grado Cero (constante)
• Grado Uno (Lineal)
• Grado Dos (Cuadrática)
• Grado Tres (Cúbica)
Grados de una Función
Coeficiente Dominante

14. • Se da por la combinación de 2 funciones
• Sean f y g dos funciones.
– La combinación dada por f * g(x) = f(g(x))
– El dominio de f * g es el conjunto de todos los
{x} del dominio de {g} tales que el dominio de
g(x) pertenece a “f”….
Función Compuesta

15. Dominio de la Función Compuesta
{x}
g(x)
f(g(x))
ƒ
g
Dominio f
Dominio g
ƒ * g

16. • La composición ƒ * g suele ser distinta a la
composición g *ƒ
– f(x) = 2x – 3
– g(x) = cos x
Composición ƒ * g

17. Notación “Big O”
Para la determinación del
crecimiento en algoritmos
programados

18. • Se usa para representar consumo a través
del tiempo (recursos, memoria, etc)
• Permite cuantificar rendimientos de
funciones con base a su estructura
• Define la correlacion del crecimiento del
tiempo de ejecución de un algoritmo en
función de las operaciones a ejecutar.
Notación Asintótica

19. Comportamiento Asintótico

20. Posibles Comportamientos
De una función

21. • Para una determinada función g(n) se
denota
• g(n) define los límites asintóticos de la
función ƒ(n).
• Existen funciones asintóticas positivas y
asintóticas no negativas para valores
grandes de n.
• Por tanto es asintótica no negativa
Notación
Cuando existe el peor y el mejor rendimiento

22. Notación
Cuando existe el peor y el mejor rendimiento

23. • Una función cuadrática por
tanto es para a>0
• Es más, para cualquier polinomio
• Como una constante es un polinomio
grado cero
Notación
Cuando existe el peor y el mejor rendimiento

24. • La notación define los límites para el
peor y el mejor caso
• “Big - O”, define solamente el límite del
peor caso.
– Regla:
– O(cg(n)) = { f(n) donde existe una constante c
positiva y 0 <= f(n) <= cg(n) para todo n0 >=
n }
Notación “Big - O”
El peor caso

25. Notación “Big - O”
El peor caso
Demostración

26. • La notación “Big Omega” funciona
inversamente al “Big O” al identificar el
límite inferior de rendimiento.
– Regla:
– Ω(cg(n)) = { f(n) donde existe una constante c
positiva y 0 <= cg(n) <= f(n) para todo n0 >=
n }
Notación “Big - Omega” Ω”
El mejor caso

27. Para 2 funciones
Tenemos que
Sí y solo sí
Notación
TEOREMA para ambos límites

28. • O – Notación: f(n) puede alcanzar el límite
superior…
• o – Notación (“little o”): f(n) tiende al tratar de
alcanzar el límite, pero no llega.
Otras Notaciones
Little – o : cuando tiende al límite superior

29. • ω – Notación es a Ω – Notación como o –
Notación es a O Notación.
• “ω” denota por tanto la tendencia al límite
inferior, pero no lo alcanza. f(n) = ω(cg(n))
Otras Notaciones
Little – omega ω : cuando tiende al límite inferior

30. Relación entre las Notaciones
Tendencias

31. Análisis de Código Fuente
Ejemplo 1

32. Análisis de Código Fuente
Ejemplo 2

33. Análisis de Código Fuente
Ejemplo 3

34. Ejemplo 4
Mejor y Peor Caso

35. Órdenes de Complejidad
Tiempos Aproximados de Resolución ( n muy grande)