rango

1. PROFESOR: JULIO C BARRETO G ESC: 78 ÁLGEBRA LINEAL
TEMA III: RANGO DE UNA MATRIZ
ANTECEDENTES HISTÓRICOS
En álgebra lineal, el rango de una matriz es el número de columnas (filas respectivamente) que
son linealmente independientes. Si el rango fila y el columna son iguales, este número es
llamado simplemente rango de A. Comúnmente se expresa como r(A).
El número de columnas independientes de una matriz nmA  es igual a la dimensión del espacio
columna de .A También la dimensión del espacio fila determina el rango. El rango de A será,
por tanto, mayor o igual que uno y menor o igual que el mínimo entre m y .n
El rango es una propiedad no sólo de las matrices sino extensible a las aplicaciones lineales de
las cuales las matrices es una representación fijada la base.
Una propiedad muy importante del rango así definido y el rango de matrices definido
anteriormente, es que ambos coinciden. Es decir, dada una base arbitraria la aplicación lineal se
puede representar mediante esa base en forma de matriz resultando el rango de esa matriz
idéntico al rango de la aplicación lineal que representa.
DEFINICIÓN: Sea la matriz   ,nmijaA 
 denominamos rango de A y lo denotamos )(Ar al
número máximo de filas lineales independientes de ,A considerando estas como vectores de .n
R
Aceptamos sin demostración las siguientes afirmaciones:
i) El número máximo de filas linealmente independientes de una matriz A es igual al número
máximo de columnas linealmente independientes.
ii) Si WVT : es una transformación lineal y BB , son bases de V y W respectivamente,
entonces el rango de la transformación lineal T (es decir, igual a )Im(dim T ) y este
número no depende de las bases escogidas B y .B
EJEMPLO: Sea la matriz











121
020
101
A
Entonces el rango de la matriz A es 2 ( 2)( Ar ), puesto que las dos primeras filas son
linealmente independientes y la tercera se obtiene como combinación lineal de las dos primeras.
EJERCICIO: Demostrar que en realidad se cumple que las dos primeras filas son linealmente
independientes, formando dos vectores de la siguiente forma: ),1,0,1( ).0,2,0(

2. TEMA III: RANGO DE UNA MATRIZ
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 ÁLGEBRA LINEAL
Escríbalos luego como combinación lineal del vector ),1,2,1( notando que los escalares deben ser
igual a 1.
a) Sea la matriz









 

011
110
111
B
Entonces ,3)( Br pues las filas son linealmente independientes como podrás a bien verificarlos
como ejercicio.
b) Consideremos la matriz















3033
3011
3210
0201
C
Veamos que las dos primeras filas son linealmente independientes. En efecto, sean Rba , tales
que:
 
)0,0,0,0()3,22,,(
)0,0,0,0()3,2,,0()0,2,0,(
)0,0,0,0()3,2,1,0(0,2,0,1



bbaba
bbbaa
ba
De donde obtenemos que:











03
022
0
0
b
ba
b
a
Como 0a y ,0b tenemos que las dos primeras filas son linealmente independientes.
Luego, )(Cr es mayor o igual a 2 ( 2)( Cr ). Veamos si las tres primeras filas son linealmente
independientes: Sean Rcba ,, tales que:
 
)0,0,0,0()33,22,,(
)0,0,0,0()3,0,,()3,2,,0()0,2,0,(
)0,0,0,0()3,0,1,1()3,2,1,0(0,2,0,1



cbbacbca
cccbbbaa
cba

3. TEMA III: RANGO DE UNA MATRIZ
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 3 ÁLGEBRA LINEAL
Entonces











033
022
0
0
cb
ba
cb
ca
Es decir:











(IV)
(III)
(II)
(I)
cb
ba
cb
ca
Sustituyendo la ecuación (II) en la ecuación (IV) tenemos que ,cc  es decir, 0 cc lo cual
da como resultado que 02 c o bien .0c Así, en la ecuación (I) tenemos nos queda que 0a
y en la ecuación (III) que .0b Por tanto, las tres primeras filas son linealmente independientes
y así .3)( Cr
Verifiquemos finalmente si ,4)( Cr es decir, si las cuatro filas de la matriz C son linealmente
independientes. Sean Rdcba ,,, tales que
  )0,0,0,0()3,0,3,3()3,0,1,1()3,2,1,0(0,2,0,1  dcba
De donde puedes verificar lo siguiente:











0333
022
03
03
dcb
ba
dcb
dca
O equivalentemente:








bd
bc
ba
2
Luego, dado un valor de b digamos ,0t obtenemos una combinación lineal no trivial de las
filas de C que es igual al vector nulo y estas filas son entonces linealmente dependientes.
El rango de C es entonces igual a 3 ( 3)( Cr ).

4. TEMA III: RANGO DE UNA MATRIZ
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 4 ÁLGEBRA LINEAL
OPERACIONES ELEMENTALES
La forma de determinar el rango de una matriz hecha en los ejemplos anteriores puede resultar
muy tediosa sobre todo para matrices de orden superior a 3. A continuación veremos un método
que permite calcular el rango de una matriz de una manera más sencilla el cual nos servirá
también en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales; este método se basa en lo que
denominaremos operaciones elementales entre filas de una matriz y que se expondrá a
continuación.
OPERACIONES ELEMENTALES (ENTRE LAS FILAS DE UNA MATRIZ)
I) Intercambiar dos filas.
II) Multiplicar una fila por un número real no nulo.
III) Sumar a una fila el producto de otra fila por un número real.
Estas operaciones elementales no alteran el valor del rango de una matriz, por esto, cuando
queremos hallar el rango de una matriz dada, aplicaremos estas operaciones elementales a dicha
matriz a fin de obtener otra en la cual sea más fácil determinar el valor del rango.
MÉTODO DE REDUCCIÓN DE GAUSS-JORDAN
El método de Gauss-Jordan, consiste en aplicar operaciones elementales a una matriz con el fin
de obtener una nueva matriz que sea más sencilla de tratar que la matriz inicial, en el sentido de
que tenga muchos ceros. A continuación señalamos los pasos a seguir en la aplicación del
método.
Dada una matriz ,A seguimos los siguientes pasos:
a) Ubicar, si existe, un elemento igual a 1 en la matriz .A Si no hay tal elemento este se
puede obtener por las operaciones entre filas (salvo si 0A ), la fila en que se halla el
elemento 1, se llama fila pivote.
b) Con la operación III convertir en cero los demás elemento de la columna en que se halla
el elemento 1 escogido.
c) Repetir los pasos a y b escogiendo el elemento 1 entre aquellos elementos que no
pertenecen a filas pivotes anteriores.
EJEMPLO: Veamos ahora como utilizar el método de Gauss-Jordan para hallar el rango de una
matriz dada. Consideremos la matriz















2803
4132
3520
4111
A

5. TEMA III: RANGO DE UNA MATRIZ
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 5 ÁLGEBRA LINEAL
i) Escogemos el elemento .111 a Con la primera fila como la fila pivote.
ii) Con la operación III (Multiplicando la primera fila por -2 y sumándola a la tercera fila y
multiplicando la primera fila por -3 y sumándola a la cuarta fila)obtenemos la matriz:















10530
12110
3520
4111
iii) Multiplicando la tercera fila por -1 (Operación II), para colocar esta tercera fila como fila
pivote, obtenemos:














10530
12110
3520
4111
iv) Aplicamos la operación III (Multiplicando la tercera fila por 1 y sumándola a la primera fila,
multiplicando la tercera fila por -2 y sumándola a la segunda fila y multiplicando la tercera
fila por -3 y sumándola a la cuarta fila) obtenemos:














46200
12110
21300
16201
v) Convirtamos en 1 un elemento que no esté en las filas primera y tercera, es decir, en las
anteriores filas pivotes, aplicando la operación II por ejemplo, a la segunda fila:














46200
12110
7100
16201
Lo cual se obtiene dividiendo por -3 todos los elementos de esta tercera fila.
vi) Multiplicando la segunda fila por -2, -1 y -2 y sumándola a las filas primera, tercera y cuarta,
respectivamente, obtenemos:

6. TEMA III: RANGO DE UNA MATRIZ
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 6 ÁLGEBRA LINEAL














32000
19010
7100
30001
vii) Multiplicando la cuarta fila por
32
1
 nos queda:













1000
19010
7100
30001
viii) Multiplicando la cuarta fila (Fila pivote) por -30, 7 y -19, y sumándola a las filas primera,
segunda y tercera, respectivamente, obtenemos:












1000
0010
0100
0001
Y esta matriz tiene evidentemente rango 4, luego la matriz A considerada anteriormente tiene
rango 4.
EJERCICIO: Sea la matriz
















35432
26053
13627
50312
A
Efectué operaciones elementales a la matriz A y verifique que se puede llegar a la siguiente
matriz:
















003900170
0197042
10903
0042117

7. TEMA III: RANGO DE UNA MATRIZ
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 7 ÁLGEBRA LINEAL
En esta última matriz se observa que las columnas segunda, tercera, cuarta y quinta son
linealmente independientes, luego el rango de la matriz es mayor o igual a 4, pero como la matriz
tiene solo 4 filas, el rango es menor o igual a 4, en conclusión el rango es 4.
INVERSA DE UNA MATRIZ
Se puede probar, aunque aquí se acepte sin demostración, que una matriz A cuadrada de orden
n es invertible si y sólo si tiene rango máximo, es decir, .)( nAr 
Una forma de encontrar la inversa de una matriz cuadrada nn con el método de Gauss-Jordan
es la siguiente:
1) Se copian las matrices nI (Matriz identidad de orden n ) y la matriz A de la siguiente
forma:  nIAB 
2) Se efectúan operaciones elementales entre filas de ;B si se consigue transformar A en la
matriz identidad entonces la matriz identidad de la derecha quedará trasformada en ,1
A
la matriz inversa de la matriz .A Si la matriz A no es invertible, al efectuar las
operaciones elementales puede conseguirse al menos una fila cuyos elementos son todos
nulos, en cuyo caso .)( nAr 
EJEMPLO: Determinemos si existe la inversa de la matriz















1000
1300
2120
0021
A
Copiemos la matriz  4IA y aplicamos operaciones elementales a está tratando que la matriz A
se transforme en .4I Realice las operaciones elementales y colóquela sobre las flechas que
separan cada bloque abreviándola de la siguiente manera por ejemplo si tenemos la siguiente:
Multiplicando la primera fila por -2 y sumándola a la tercera fila lo colocamos .2 31 FF 










































































1000
3
1
3
1
00
6
5
6
1
2
1
0
3
5
3
1
11
1000
0100
0010
0001
1000
3
1
3
1
00
3
5
3
1
10
0001
1000
0100
0020
0021
1000
1100
2010
0001
1000
0300
0120
001
1000
0100
0010
0001
1000
1300
2120
001

8. TEMA III: RANGO DE UNA MATRIZ
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 8 ÁLGEBRA LINEAL










































































1000
3
1
3
1
00
6
5
6
1
2
1
0
3
5
3
1
11
1000
0100
0010
0001
1000
3
1
3
1
00
3
5
3
1
10
0001
1000
0100
0020
0021
1000
1100
2010
0001
1000
0300
0120
001
1000
0100
0010
0001
1000
1300
2120
001
Luego, la matriz A es invertible y su inversa es






















1000
3
1
3
1
00
6
5
6
1
2
1
0
3
5
3
1
11
1
A
Para verificar que efectivamente esta es la matriz inversa debemos hacer el siguiente producto de
matrices y obtener:
4
1
. IAA 
Donde el producto de dos matrices )( ijaA  de dimensión nm y otra matriz )( jkbB  de
dimensión pn es la matriz BA. dada por: )(. ikcBA 
Con  jkijik bac .
Es decir, cada elemento ikc se obtiene multiplicando la fila i -ésima de la primera matriz por la
columna k -ésima de la segunda matriz.
EJEMPLO: Sean las matrices
,
654
321






A











2-
0
8
1-
9
7
B
Tenemos que:




































222
1203264528
6083187
)2.(60.58.4)1.(69.57.4
)2.(30.28.1)1.(39.27.1
2-
0
8
1-
9
7
654
321
AB

9. TEMA III: RANGO DE UNA MATRIZ
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 9 ÁLGEBRA LINEAL










































2067
222
1203264528
6083187
)2.(60.58.4)1.(69.57.4
)2.(30.28.1)1.(39.27.1
2-
0
8
1-
9
7
654
321
AB
NOTA: Observa que el producto de una matriz de orden 32 por otra de orden 23 es una
matriz de orden ,22 por eso es que debe tenerse cuidado al multiplicar matrices.
EJERCICIOS:
1) Utilizar el método de reducción de Gauss-Jordan para determinar el rango de las
siguientes matrices:
a)













3654
4301
5231
0720
b)














27393
12583
15210
04321
c)















13
51
320
21
cba
cba
c
ba
, donde .., Rcba 
d)














12
001
120
00
bac
c
c
ba
, donde .., Rcba 
2) Determina, en caso que exista, la matriz inversa de cada una de las matrices:
a)











110
011
101
A

10. TEMA III: RANGO DE UNA MATRIZ
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 10 ÁLGEBRA LINEAL
b) 




 



cos
cos
sen
sen
B , .R
c)













121
102
123
C
d)















1000
3211
1310
2101
D
EQUIVALENCIA Y SIMILARIDAD (MATRICES SIMILARES)
DEFINICIÓN: Se dice que dos matrices A y B de nn sobre el cuerpo K son semejantes si
existe una matriz invertible P de nn sobre K tal que:
BAPP 1
Uno de los significados del término transformación de semejanza es una transformación de la
matriz A en la matriz B.
PROPIEDADES
Las matrices semejantes comparten varias propiedades:
 Poseen el mismo rango.
 El mismo determinante.
 La misma traza.
 Los mismos valores propios (aunque los vectores propios, en general, serán distintos),
 El mismo polinomio característico, y
 El mismo polinomio mínimo.
Hay dos razones para estas características:
 Dos matrices semejantes pueden pensarse como dos descripciones de una misma
transformación lineal, pero con respecto a bases distintas;
 La transformación XPPX 1
 X es un automorfismo del álgebra asociativa de todas las
matrices de .nn

11. TEMA III: RANGO DE UNA MATRIZ
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 11 ÁLGEBRA LINEAL
Otra manera de ver la definición anterior es la siguiente:
Diremos que dos matrices de orden A y B son similares si hay una matriz C de orden nn
invertible tal que ,1
ACCB 
 o escrito de otra forma .ACCB 
EJEMPLO: Notemos que las matrices
















35
24
,
10
12
BA
Son similares ya que hay una matriz 








11
12
C Una manera de ver que la matriz es
invertible es hallando su determinante:
0312)1(2
11
12
det)det( 







C
Ahora, veamos que:











































11
13
1010
1214
1).1()1.(0)1).(1(2.0
1.1)1.(2)1.(12.2
11
12
10
12
AC
AC
AC
AC












































11
13
3254
3458
)3.(1)2).(1(5.14).1(
)3).(1()2.(25).1(4.2
35
24
11
12
CB
CB
CB
CB

12. TEMA III: RANGO DE UNA MATRIZ
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 12 ÁLGEBRA LINEAL




























11
13
3254
3458
)3.(1)2).(1(5.14).1(
)3).(1()2.(25).1(4.2
CB
CB
CB
Así, .CBAC 
EJERCICIOS: Decida si los siguientes pares de matrices son semejantes. Justifique su
respuesta.
a)











324
202
423
A y














110
121
011
B
b) 






33
24
A y 






65
01
B
c) 






33
24
A y 






60
11
B
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 Anton, H. (1994). Introducción al Álgebra Lineal. Tercera Edición. Editorial Limusa, S.
A de C. V. Noriega Editores. México.
 Barreto, J. (2015). Introducción al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eléctricos, al balanceo de ecuaciones químicas, a la investigación de operaciones y la
programación lineal. Colección de Universitaria. Volume 1. Spanish Edition. ISBN-
10: 1506029175. ISBN-13: 978-1506029177. Año 2015.
https://www.createspace.com/5230822
 Luís, González. (1981). Álgebra II. Universidad Nacional Abierta. Décima primera
reimpresión 2007. Caracas, Venezuela.
 Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra
lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial
Reverté.
 Serge Lang. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Interamericano S. A. México D. F