Descripción de la paridad en la ecuación del espectro de fourier

1. Notas: Análisis de Fourier. Kevin Jessid Figueroa Maza
Propiedad de Paridad en la transformada de Fourier
A partir de la definición del espectro dada por las ecuaciones de Fourier, surgen muchos
teoremas útiles e interesantes. Uno de particular interés es el resultado de trabajar con ondas
Reales [ℝ] . En cualquier circuito físico que pueda concebirse, las formas de onda de
voltaje (o de corriente) son funciones reales (a diferencia de funciones complejas) en el
tiempo.
Ecuación del Espectro:
V (f )=F[v(t)]≃∫−∞
∞
v(t)e
− j2πft
dt
Ec. 4. Chapter 2. Signals and Spectra [Carlson – Communication System]
TEOREMA.:La simetría espectral de señales reales. Si W (t) es real, entonces
W (−f )=W∗(f ) Ec.1
(El asterisco denota la operación de conjugada).
Demostración: A partir de la ecuación
W (f )=F[w(t)]=∫−∞
∞
[w(t)]e
−j 2π ft
dt Ec.2
Se obtiene:
W (−f )=∫−∞
∞
w(t)e
j2π ft
dt Ec. 3
y tomando el conjugado de la ecuación Ec.[2] se obtiene:
W (f )=∫−∞
∞
w(t)e
j2π ft
dt Ec.4
Pero ya que W (t ) es real, w (t)=w(t) y la ecuación Ec.1, sigue debido a que los lados
derechos de las ecuaciones Ec.[2] y Ec.[3] son iguales. Puede también mostrarse que
si W (t) es real y resulta ser una función par de t , entonces W (t) también es real. De
manera similar, si W (t) es real y es una función impar de t , entonces W (t) es
imaginaria.
para una W (t) real, el espectro de magnitud es par alrededor del origen (es decir, de
f =0 ), o

2. Notas: Análisis de Fourier. Kevin Jessid Figueroa Maza
|W (−f )|=|W (f )| Ec.5
y el espectro de fase es impar alrededor del origen:
θ(−f )=−θ(f ) Ec.6
Esto puede demostrarse fácilmente escribiendo el espectro en forma polar:
W (f )=|W (f )|e
jθ(f )
W (−f )=|W (−f )|e
jθ(f )
W (f )=|W (f )|e
−jθ(f )