1. Análisis de Algoritmos Programación dinámica (Dynamic Programming) Modificado por Leonardo Bernal Zamora

2. Terminología Grafos Monterrey Reynosa Tampico Cd. Victoria Saltillo México DF ARCO (carretera) NODO (ciudad) SUBGRAFO

3. Terminología... Monterrey Reynosa Tampico Cd. Victoria Saltillo México DF Adyacentes

4. Terminología... Monterrey Reynosa Tampico Cd. Victoria Saltillo México DF Vecinos de Cd. Victoria

5. Terminología... Monterrey Reynosa Tampico Cd. Victoria Saltillo México DF CAMINO

6. Terminología... A B C E D A B C E D Grafo No-Dirigido Grafo Dirigido (Digrafo)

7. Terminología... Monterrey Reynosa Tampico Cd. Victoria Saltillo México DF 45 32 21 96 57 13 19 Grafo Ponderado

8. Terminología... Monterrey Reynosa Tampico Cd. Victoria Saltillo México DF Ciclo

11. Funcion Dijkstra (L[1..n,1..n]):matriz[2..n] D: matriz[2..n], P:matriz[2..n] C=2,3,...,n {S=N-C} Para i=2 hasta n D[i]=L[1,i] Fin_Para Repetir n-2 veces v=algún elemento de C que minimice D[v] C = C – {v} {S = S U {v}} Para cada w  C Si D[w]>D[v]+L[v,w] entonces D[w] = D[v] + L[v,w] P[w] = v Fin_si Fin_para Fin_Repetir Devolver D 1 5 5 w={2} D[2]>D[5]+L[5,2] No w={3} D[3]>D[5]+L[5,3] No w={4} D[4]>D[5]+L[5,4] Si D[4]=D[5]+L[5,4] D[4]=20 P[4]=5 20 5 4 w={2} D[2]>D[4]+L[4,2] Si D[2]=40 P[2]=4 w={3} D[3]>D[4]+L[4,3] No 4 40 4 3 3 w={2} D[2]>D[3]+L[3,2] Si D[2]=35 P[2]=3 35 3 50 5 3 4 1 2 10 50 10 5 100 30 20 L 1 2 3 4 5 1 0 50 30 100 10 2  0    3  5 0   4  20 50 0  5    10 0 D 2 3 4 5 P 2 3 4 5 C S v

14. Ejemplo MATRIZ DE ADYACENCIAS A B C D E A 0 2  10  B  0 9  5 C 12  0 6  D    0 7 E   3  0 7 A B C D E 2 5 9 3 10 12 6

15. Ejemplo MATRIZ DEL CAMINO MÁS CORTO A B C D E A 0 2 10 10 7 B 20 0 8 14 5 C 12 14 0 6 13 D 22 24 10 0 7 E 15 17 3 9 0 7 A B C D E 2 5 9 3 10 12 6

19. Ejemplo Nota : si existe un valor y la sumatoria es indefinida Se deja el valor que se encuentre, y si es superior la suma se deja el mínimo D 0 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 A 1 0 2  10  B 2  0 9  5 C 3 12  0 6  D 4    0 7 E 5   3  0 D 1 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 A 1 0 2  10  B 2  0 9  5 C 3 12 14 0 6  D 4    0 7 E 5   3  0 C-A + A-B = 12 + 2 Mínimo entre: C-D y C-A + A-D 7 A B C D E 2 5 9 3 10 12 6

20. Ejemplo D 1 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 A 1 0 2  10  B 2  0 9  5 C 3 12 14 0 6  D 4    0 7 E 5   3  0 D 2 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 A 1 0 2 11 10 7 B 2  0 9  5 C 3 12 14 0 6 19 D 4    0 7 E 5   3  0 A-B + B-C = 2 + 9 A-B + B-E = 2 + 5 Mínimo entre:C-D y C-B + B-D C-B + B-E = 14 + 5 7 A B C D E 2 5 9 3 10 12 6

21. Ejemplo D 3 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 A 1 0 2 11 10 7 B 2 21 0 9 15 5 C 3 12 14 0 6 19 D 4    0 7 E 5 15 17 3 9 0 D 2 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 A 1 0 2 11 10 7 B 2  0 9  5 C 3 12 14 0 6 19 D 4    0 7 E 5   3  0 E-C + C-A = 3 + 12 B-C + C-A = 9 + 12 Mínimo entre:A-E y A-C + C-E Mínimo entre:A-D y A-C + C-D 7 A B C D E 2 5 9 3 10 12 6

22. Ejemplo D 4 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 A 1 0 2 11 10 7 B 2 21 0 9 15 5 C 3 12 14 0 6 13 D 4    0 7 E 5 15 17 3 9 0 D 3 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 A 1 0 2 11 10 7 B 2 21 0 9 15 5 C 3 12 14 0 6 19 D 4    0 7 E 5 15 17 3 9 0 Mínimo entre:C-E y C-D + D-E Mínimo entre:A-E y A-D + D-E 7 A B C D E 2 5 9 3 10 12 6

23. Ejemplo D 4 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 A 1 0 2 11 10 7 B 2 21 0 9 15 5 C 3 12 14 0 6 13 D 4    0 7 E 5 15 17 3 9 0 Mínimo entre:B-A y B-E + E-A Mínimo entre:A-C y A-E + E-C D-E + E-A = 7 + 15 D 5 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 A 1 0 2 10 10 7 B 2 20 0 8 14 5 C 3 12 14 0 6 13 D 4 22 24 10 0 7 E 5 15 17 3 9 0 MATRIZ META 7 A B C D E 2 5 9 3 10 12 6

35. ALGORITMO DE PRIM

36. ALGORITMO DE PRIM

39. Ejemplo

46. ALGORITMO DE KRUSKAL

47. ALGORITMO DE KRUSKAL http://lear.inforg.uniovi.es/ioperativa/TutorialGrafos/minimaexp/kruskal/appletKruskal.htm

50. Ejercicio Dado un Grafo Conexo Ponderado No Dirigido G = (V, A, p), encontrar un Árbol de Recubrimiento de G, tal que la suma de los pesos de sus |V| − 1 aristas sea mínimo. Desarrollo Solución tomando “e” como Punto de parida