1) El documento presenta varios problemas relacionados con racionales, áreas de figuras geométricas, ángulos y distancias. 2) Se piden calcular áreas de paralelogramos, triángulos y sectores circulares, así como hallar ángulos y distancias usando propiedades de ángulos alternos internos, correspondientes y verticales. 3) También incluye ejercicios sobre adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones de números racionales y fracciones algebraicas.

1. PROBLEMAS CON RACIONALES. GRADO OCTAVO<br />Tengo que vender 40 libros de poesía en 3 día . El primer día vendo un ½ del total de libros, el segundo día vendo 1/5 de los que me quedan. ¿Cuántos libros tengo que vender el tercer día?<br />Si un kilo de arroz cuesta $3286/8, ¿Cuánto costara 9/6 de kilo?<br />El domingo recojo 2/3 de hojas de papel blanco, el lunes 4/5, el martes 3/2, y el miércoles 5/3 ¿Cuántas he recogido en los 4 días?<br />¿Por cuál numero se multiplica 2/3 para que se convierta en 5/8?<br />Un reloj se adelanta 2/5 de minuto cada hora ¿Cuánto se adelanta en 9/4 de hora? <br />El lado de un cuadro equivale a 17/4 de metro. ¿Cuál es el valor de su área?<br />La base de un triangulo mide 16/5 de m y la altura mide 5/4 de m ¿Cuál es su área? <br />Sobre un préstamo de $20000 he cancelado ¾ de la deuda. Abono $2000¿Cuánto debo aun?<br />Tenía $2000. El lunes gaste la mitad del dinero inicial, el martes gaste ¼ de lo que me quedo y el miércoles el resto. ¿Cuánto gaste cada día?<br />Invente un problema que tenga que ver con racionales.<br />Resuelva utilizando productos notables<br />Utiliza la división sintética para hallar el cociente y el residuo de:<br />FACTORIZAR:<br />Al factorizar X2 + 6x – 7, los factores son.<br />Al factorizar 2 x2 + 5x - 3, los factores son.<br />¿Cuánto le falta a x2- 4x para ser un trinomio cuadrado perfecto?<br />La factorización de x2- 9 es.<br />Los factores del polinomio x2 – 5x + 6 son.<br />El mcd de los polinomios y2 – y – 2, y2 – 2y, y2 - 3y + 2 es.<br />El mcm de los polinomios x2 – x – 12, x2 + 3x, x2 – 4x es.<br />La suma de las fracciones algebraicas 2bb2-6 y 3b+1b2 - 2b-24 es.<br />El producto de las fracciones algebraicas x2+ 2x-15x2 9x+18 y x2- 2x-24x2 - 2x -35 es.<br />El cociente de la división 2a2+ 7a+32a2 9a-5 ÷ 2a2+ 7a + 34a2 - 1 es. <br /> La resta de las fracciones algebraicas 2z z2+ z - 42 - 1z2 - 2z - 63 es. <br />GRADO NOVENO<br />La diferencia de dos números es 40 y 1/8 de su suma es 11. Hallar los números.<br />la suma de dos números es 190 y 1/9 de su diferencia es 2. Hallar los números.<br />Los 2/3 de la suma de dos números son 74 y los 3/5 de su diferencia 9. Hallar los números.<br />5 trajes y 3 sombreros cuestan 4180 pesos, y 8 trajes y 9 sombreros 6940. Hallar el precio de un traje y de un sombrero.<br />Un hacendado compró 4 vacas y 7 caballos por 514 pesos y mas tarde, a los mismos precios, compró 8 vacas y 9 caballos por 818 pesos. Hallar el costo de una vaca y de un caballo.<br />En un cine, 10 entradas de adulto y 9 de niño cuestan 512 pesos y 17 de niño y 15 de adulto 831 pesos. Hallar el precio de una entrada de adulto y una de niño.<br />Si a 5 veces el mayor de dos números se añade 7 veces el número menor, la suma es 316, y si a 9 veces el menor se resta el cuádruple del mayor, la diferencia es 83. Hallar los números.<br />Una persona tiene pollos y patos en total 70 animales. Si comprara 20 pollos tendría que el número de éstos sería el doble del número de patos. Cuantos pollos y patos tiene?<br />Un padre da a sus hijos 920 pesos para ir al colegio, cuanto recibe cada uno si el menor recibe la tercera parte de lo que recibe el mayor.<br />La suma de los inversos de dos números es 20 y la diferencia es 6. Cuáles son los números.<br />La diferencia de dos números es 14 y ¼ de su suma es 13. Hallar los números.<br />La suma de dos números es 40 y 1/8 de su diferencia es 11. Hallar los números.<br />13. Los 2/3 de la suma de dos números son 74 y los 3/5 de su diferencia es 9. Hallar los números.<br />6 libras de café y 5 libras de azúcar costaron 2,270 dólares y 5 libras de café, y 4 libras de azúcar costaron 1.880 dólares. Hallar el precio de una libra de café y una de azúcar.<br />Si a los dos términos de una fracción se añade 3, el valor de la fracción es ½ y si a los dos términos se resta 1, el valor de a fracción es 1/3. Hallar la fracción.<br />Si a los dos términos de la fracción se resta 3 y el valor de la fracción es 1/3 y si los términos se aumentan en 5, el valor de la fracción es 3/5. Hallar la fracción.<br />Si el numerador de una fracción se aumenta en 26 el valor de la fracción es 3 y si el denominador se disminuye en 4, el valor es 1. Hallar la fracción.<br />dos números están en relación de 3 a 4, si el menor se aumenta en 2 y el mayor disminuye en 9 la relación es de 4 a 3. Hallar los números.<br />Un comerciante empleó 6720 pesos en comprar trajes a 375 pesos y sombreros a 45 pesos. Si la suma del número de trajes y el número de sombreros que compró es 54. Cuantos trajes y sombreros compro.<br />La suma de las cifras de un número es 14 y si al número se suman 36, la cifra se invierte. Hallar el número.<br />ECUACIONES SIMULTÁNEAS<br />SOLUCIONES APLICANDO LOS METODOS VISTOS.<br /> 2. 3. 4. <br /> 6. 7. 8. <br /> 10. 11. 12. <br /> 14. 15. 16. <br /> Graficar Y=2 x Y= (1/2) x<br /> Que podemos concluir de las dos graficas, cual es el dominio y el rango<br />Cuando es creciente y decreciente la función exponencial<br />Graficar Y= Log 2 x Y= Log 1/ 2 x<br />Que rango y dominio tiene las funciones<br />Cuando la función logarítmica es creciente y decreciente<br />Escriba dos características de la función logarítmica y dos de la exponencial<br />Aplicar propiedades de logaritmos y resolver<br />Log a _2x2 / (2X + 3) 1 / 3<br />Log a (x2 + 5)( 7x – 9) / 3x <br />½ Log a a + 3 Log a m +1<br />TALLER COMPLEJOS<br />Escribe verdadero o falso. En caso de falsedad modifica la expresión para que sea verdadera.<br />La unidad imaginaria es <br />Las potencias de i son i1, i2, i3,i4.<br />Los números imaginarios son números reales<br />Los números complejos están contenidos en los números reales.<br />Todo numero complejo tiene parte real y parte imaginaria<br />Dos números complejos se denominan conjugados si solo difieren en el signo de la parte imaginaria.<br />2. Exprese cada una de las siguientes raíces cuadradas como un número imaginario.<br />a. b. c. <br />d.e.<br />3. Resuelve<br />a. b. c. d.<br />4. Resuelve<br />a. b. c. <br />d. e. f. g. <br />5. Calcula<br />a. b. c. d. <br />e. i14; i1.215; i109f. i6 * i5 g. i7 * i8h. 1+i+i2+i3+…+i16<br />i. j. k. l. <br />m. n. o. p. <br />6. Representa en el plano complejo los siguientes números complejos<br />a. b. c. d. e. <br />7. Representa en el plano complejo los conjugados de cada uno de los números complejos del ejercicio anterior<br />8. Calcula las siguientes adiciones y sustracciones de números complejos<br />a. b. <br />c. d. <br />9. Calcula los productos<br />a. b. <br />c. <br />10. Calcula las siguientes divisiones<br />a. b. c. d. <br />11. Realiza gráficamente el numeral 8.<br />12. Realiza la operación indicada y escribe el resultado en la forma a+bi<br />a. b. <br />c. d. <br />e. f. <br />g. h. <br />i. j. <br />k. l. <br />GRADO DECIMO<br />1. calcula el área de un paralelogramo cuyos lados miden 34 y 15 centímetros y el ángulo entre ambos es de 62º 40´.<br />2. Si una carretera sube 12 metros en una distancia horizontal de 200 metros, halla el ángulo que forma la carretera con la horizontal.<br />3. Uno de los lados congruentes de un triangulo isósceles mide 6 centímetros y uno de los ángulos de la base mede 27º 10´; calcula la base y la altura.<br />4. para alcanzar la cima de un muro de 6 metros de altura se utiliza una escalera de 10 metros. Si la escalera se extiende 2 metros mas halla del muro, determina la inclinación respecto a la horizontal.<br />5. Desde un faro situado a70 metros sobre el nivel del mar se observa un bote en un ángulo de depresión de 20º30´, ¿a que distancia esta el bote del punto situado a nivel del agua y directamente bajo el punto de observación?.<br />6. La diagonal de un polígono regular mide 9 metros, calcula el radio del a circunferencia circunscrita al polígono.<br />7. Calcula la altura de un globo que se encuentra directamente sobre una ciudad, si el ángulo de depresión de otra ciudad situada a 7km es de 121 12´.<br />8. Una bandera cuya asta mide 6 metros esta situada sobre una columna. Desde cierto, el extremo superior de la bandera se ve con un ángulo de elevación de 20º y el extremo inferior se observa con un ángulo de 12º 30´; calcula la altura de la columna y la distancia al punto de observación.<br />9. Una estatua de 5,5 metros de alta esta colocada sobre un pedestal. Si desde un punto situado a 25 metros se observa el extremo superior de la estatua con un ángulo de 27º 40´. ¿Cuál es la altura del pedestal?<br />10. Dos aviones parten d en mismo punto; el primero hacia el norte con una velocidad de 320 Km./h y el segundo hacia el este con una velocidad de 400 Km./h. ¿A que distancia se encuentra uno del otro, después de 2 horas?.<br />11. Desde un punto situado a una distancia de 100 metros del pie de la perpendicular se observa una cometa A con un ángulo de elevación de 86º 40´ y otra cometa B situada justamente debajo de esta con un ángulo de 47º 20´. ¿Cuál es la distancia entre las dos cometas?.<br />12. Desde un avión de 1500 metros de altura se observa una embarcación, con un ángulo de depresión de 34º, y sobre el mismo plano, en sentido opuesto, se observa el puerto mediante un ángulo de depresión de 45º. ¿A que distancia se encuentra el barco del puerto?.<br />13. desde un faro de 30 metros de alto se divisa un barco con un ángulo de depresión de 26º; un tiempo después, se observa el mismo barco con un ángulo de depresión de 62º, ¿Qué distancia a recorrido el barco?. <br />Resolver los siguientes problemas de aplicación de sectores circulares.<br />1. Determinar la longitud del arco de un sector circular de radio 150m y ángulo central de 4π/15 rad.<br />2. ¿Cuanto medirá el radio de un sector circular cuyo ángulo central mide 52º y la longitud del arco es de 100m?<br />3. ¿Cuanto medirá el ángulo central de un sector circular de radio 150cm y cuyo arco mide 120cm?<br />4. En una finca se requiere construir un portero de forma de sector circular que encierre 40.000m2 y cuyo radio sea de 187m de longitud.<br />a. ¿Cuánto debe medir el ángulo central del potrero?<br />b. ¿Cuánto alambre de púas será necesario para cercarlo si el cerco debe tener cinco hilos de alambre y el potrero tendrá dos puertas de 2.28m cada una?<br />c. Aproximadamente ¿Cuántos postes serán necesarios para el cerco si estos van separados 2.5m uno del otro?<br />5. En un parque de recreación se quiere construir una piscina en forma de sector circular con un ángulo central de 60º.<br />a. ¿Cuál debe ser el radio de la piscina si el arco debe medir 5m?<br />b. ¿Cuál será su volumen, en litros, si la piscina debe tener una profundidad constante de 1.5m? El volumen de la piscina es V=Abasex H y el área se la base es el área de un sector circular. V= θπr2360H <br />Además 1m3= 1.000 litros.<br />6. El péndulo de un reloj de pared mide 35cm de longitud y oscila 12º a cada lado de la vertical. ¿Cuánto medirá el arco recorrido por el extremo inferior del péndulo?<br />7. El reflector de la ciudad de hierro lanza un rayo luminoso hacia las nubes. La luz se proyecta en forma de sector circular con un alcance máximo de 300m y un ángulo central de π/6 rad, ¿Cuánto medirá el área iluminada y cual la longitud del arco de luz?<br />8. Una pizza de 50.24cm de diámetro se divide en ocho porciones iguales de forma de sector circular. ¿Cuál será el perímetro de cada porción? ¿y cuál su volumen si la pizza tiene un centímetro de espesor?<br />9. Una insignia de tela tiene forma de sector circular, con un ángulo central de 0.75 rad y un área de 24cm2.<br />a. ¿Cuál será el radio del escudo?<br />b. ¿Cuánto medirá el perímetro de la insignia? <br />c. ¿Cuántas puntadas serán necesarias para coserlo al uniforme sabiendo que cada puntada se avanza 4mm?<br />d. ¿Cuánto hilo se necesita para coser un escudo si por cada puntada se emplean 5mm de hilo?<br />Un piloto de avión desea aproximarse a la pista de aterrizaje con un ángulo de 15 con la horizontal. Si vuela a una altura de 180 m. ¿a que distancia de la pista debe empezar el descenso? <br />Un árbol vertical esta sobre la falda de un cerro que forma un ángulo de 15 con la horizontal. ¿Cuál es la altura del árbol si cuando el ángulo de elevación del sol es de 30 la sombra proyectada por el árbol es de 35 m ?<br />Dos soldados quieren estimar la distancia entre su campamento situado en el punto A y otro campamento en C en el lado opuesto de un lago. Ellos marcan una línea desde su campamento hasta un punto B a 50 metros. Resulta que el ángulo BAC mide 88 y el ángulo 75.¿cuál es la distancia entre los dos campamentos?<br />.<br />Dos barcos parten simultáneamente del mismo puerto, el primero en dirección 75º N.E. a una velocidad de 36 millas/h y el segundo en dirección 10º S.O. a 28 millas/h. al cabo de 2 horas y media de navegar ¿a qué distancia se encuentran el uno del otro?<br /> <br />Desde la parte más alta de la torre eléctrica el Angulo de elevación a la chimenea es de 47º y desde la base el Angulo de elevación a la chimenea es de 63º. si la torre eléctrica tiene una altura de 17m ¿Qué altura tiene la chimenea?<br />Desde un globo aerostático que se encuentra a 950m de altura se observa, con un ángulo de depresión de 7º un motociclista que avanza por una carretera recta; el observador gira el visor 136º y con un ángulo de depresión de 5º observa una estación de gasolina a orilla de la misma carretera. ¿a qué distancia de la gasolinera esta el motociclista? <br /> <br />De un puerto parten 3 barcos. El primero a las 6 a.m. en dirección 17º sur del oeste, con una velocidad de 70 Km./h; el segundo zarpa a las 7:30 a.m. en dirección 10º sur del este, con una velocidad de 60 Km./h; y el tercero a las 8:30 a.m. en dirección 20º al oeste del norte, con una velocidad de 50 Km./h. ¿Qué distancia separa a cada barco de los otros dos a las 10 de la mañana?<br />el pistón de una máquina de vapor se mueve horizontalmente. La barra de conexión mide 48 pulgadas y la biela 16 pulgadas. Hállese el valor del Angulo entre la biela y la horizontal del pistón cuando el ángulo entre la horizontal del pistón y la barra de conexión mide 16º<br />Si en un triangulo ABC sus lados miden a=4cm b=7cm y c= 10cm determina el ángulo mayor.<br />Una escalera de 5m de largo es recostada sobre un muro inclinado, alcanzando una altura de 5m sobre dicho muro. Si la parte inferior de la escalera esta a 2,5m del muro halla la inclinación del muro.<br />Dos vías de ferrocarril se cruzan formando un ángulo de 75º. En un instante pasa por el cruce un tren con una velocidad de 70km/h. transcurridos 15min cruza por el mencionado punto otro tren que va por la otra vía a una velocidad de 130 Km./h determina la distancia que separa a los 2 trenes 15min depuse del paso de el segundo tren por el punto de cruce.<br />Un topógrafo situado en un punto C localiza dos puntos Ay B en los lados opuestos de un lago. Si C esta a 5 Km. de a y a 8km de B y además el Angulo C mide 36º calcula. El ancho del lago.<br />Dos fuerzas de 100 y 120 Kg. se aplican a un mismo punto A si el Angulo entre sus direcciones de 75º cuál es la magnitud de la fuerza<br />UTILIZA LA CALCULADORA<br />.Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones:<br />a.sen 3π/4 + cos 2π – 1/5 sen π/2 b. 1/3 cos π/2 + 3 ctg 3π/2 – 2 sen π<br />c.4 tg 180 – 3 sen 30 + 2 cos 60 d.5 cos 45 + 2 sen 45 – 3 tg 45<br />e. 3 tg 360 + 5 sen 30 - 2 cos 45 f. sec60cos60 + csc60sen 60 + 1 <br />g. sen 30 cos30 + 5 tg 30<br />2. realiza las siguientes operaciones y escríbelas en notación científica.<br />a.(0.90324)(0.0005432) b. 0.2315/(5.480)2 c.4.033/0.00000021 d. 0.143/15000<br />e.0.2315x10-99 – 0.2308x10-99 f. (80000000)2(0.000003)/(600000)(0.0002)4 <br />g. (0.433)3-(2.31)-4 + 0.0932 /5.23x103 h. (32-53)2 + (33-22)2 <br />i. (35+32)(325 -310+34) j. (332+10)(332-10) k. 23 (343+4612)<br />l.(18+6243) / 39 m. 2 +3-5/2-3-5 <br />1.Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones:<br />a.sen 3π/4 + cos 2π – 1/5 sen π/2 b. 1/3 cos π/2 + 3 ctg 3π/2 – 2 sen π<br />c.4 tg 180 – 3 sen 30 + 2 cos 60 d.5 cos 45 + 2 sen 45 – 3 tg 45<br />e. 3 tg 360 + 5 sen 30 - 2 cos 45 f. sec60cos60 + csc60sen 60 + 1 <br />g. sen 30 cos30 + 5 tg 30<br />2. realiza las siguientes operaciones y escríbelas en notación científica.<br />a.(0.90324)(0.0005432) b. 0.2315/(5.480)2 c.4.033/0.00000021 d. 0.143/15000<br />e.0.2315x10-99 – 0.2308x10-99 f. (80000000)2(0.000003)/(600000)(0.0002)4 <br />g. (0.433)3-(2.31)-4 + 0.0932 /5.23x103 h. (32-53)2 + (33-22)2 <br />i. (35+32)(325 -310+34) j. (332+10)(332-10) k. 23 (343+4612)<br />l.(18+6243) / 39 m. 2 +3-5/2-3-5 <br /> <br /> <br />