Se pide hallar el valor de f(6) dado que se conocen f(4)=125, f'(4)=74, f''(4)=30, f'''(4)=6 y las demás derivadas son cero. Usando la fórmula general para derivadas de orden superior, se obtiene que f(6) ≅ 341.

1. EJERCICIOS<br />Hallar el valor de f(6) dado que f(4)=125, f’(4)= 74, f’’(4)= 30, f’’’(4)=6, y todas las siguientes derivadas de orden superior de f(x)=0 en x=4.<br />SOLUCION:<br />f6=125*200!+74*211!+30*222!+6*233!<br />f6≅341<br />TALLER#2 Métodos Numéricos<br />1. Determine el n-ésimo polinomio de Taylor centrado en c de:<br />a) n = 4 c = 1 = xi<br />b) , n = 4 c = 1 = xi<br />Serie de Taylor<br />Solución<br />a) n = 4 c = 1 = xi<br />- Calculamos cada una de las derivadas de la función dada, evaluándola en Xi=1:<br />- Haciendo uso de la serie de Taylor y reemplazando los valores de las derivadas, resolvemos para encontrar el polinomio:<br />b) , n = 4 , c = 1 = xi<br />- Calculamos cada una de las derivadas de la función dada evaluándolas en Xi=1:<br />- Haciendo uso de la serie de Taylor y reemplazando los valores de las derivadas, resolvemos para encontrar el polinomio:<br />2. Para f(x) = arcsen (x)<br />a) Escribir el polinomio de MclaurinP3(x) para f(x).<br />Solución. <br />Hallamos cada una de las derivadas de la función dada y la evaluamos en xi=0 (condición de Mclaurin):<br />Haciendo uso de la Serie de Taylor:<br />Reduciendo términos el polinomio de Mclaurin para f(x)=arcsen(x), es:<br />b) Completar la siguiente tabla para P3(x) y para f(x) (Utilizar radianes).<br />-Los cálculos son realizados para cada uno de los valores de x representados en la tabla:<br />-Los Valores obtenidos se indican a continuación:<br />X-0,75-0,5-0,2500,250,50,75f(x)-0,8481-0,5236-0,252700,25270,52360,8481P3(x)-0,8203-0,5208-0,252600,25260,52080,8203%E3,2780,53480,0395700,039570,53483,278<br />- Dibujar sus graficas en los mismos ejes coordenados.<br />3. Confirme la siguiente desigualdad con la ayuda de la calculadora y complete la tabla para confirmar numéricamente.<br />Solución: Desarrollamos la función por la serie de Mclaurin, partiendo de la serie de Taylor con xi=0<br />Para S2 el polinomio es:<br />Para S3 el polinomio es:<br />- Los cálculos son realizados para cada uno de los valores de x representados en la tabla:<br />Los cálculos se indican a continuación:<br />Grafique y analice los resultados obtenidos<br />x0,00,20,40,60,81S200,18000,32000,42000,48000,5000In (x+1)00,18230,33640,47000,58770,6931S300,18260,34130,49200,65060,8333<br />4. A partir de la serie de Taylor demostrar las expresiones de diferencia finita regresiva y diferencia finita centrada.<br />Serie de Taylor:<br />Para diferencia finita regresiva: <br />- Con la serie de Taylor truncamos en el segundo término, obteniendo:<br />- Despejando la primera derivada:<br />(1)<br />Para diferencia finita centrada:<br />Para lograr obtener la ecuación correspondiente se requiere tener las series de diferencia finita regresiva y progresiva.<br />Serie de Taylor para diferencias finitas progresivas:<br />Con la serie de Taylor truncamos en el segundo término, obteniendo:<br />Ecuación para diferencias finitas progresivas, despejando la primera derivada:<br />f´xi=fxi+1-fxi(2)<br />Restando la ecuación (1) de (2), obtenemos:<br />fxi+1-fxi-1=2f´xixi+1-xi-1<br />Despejando la primera derivada:<br />5. Usando los términos de la serie de Taylor, aproxime la función f(X)=cos(x) en x0=π/3 con base en el valor de la función f y sus derivadas en el punto x1=π/4. Empiece con solo el termino n=0 agregando sucesivamente un término hasta que el error porcentual sea menor que la tolerancia, tomando 4 cifras significativas.<br />Solución:<br />Tolerancia<br />Según al enunciado:<br />Hallamos las derivadas de la función:<br />Reemplazando tenemos:<br />Ahora empezamos a agregar término por término:<br />Siguiente término:<br />Siguiente término:<br />4339590510540<br />Se continúa agregando términos hasta que como se muestra en la tabla:<br />TérminosResultadoεa(%)10.707120.522035.4630.49784.8640,49990.4250,50000.0260.50000<br />Vemos que la aproximación usando el sexto término de la serie cumple con la tolerancia exigida. <br />