En la presentación verán algo mas sobre derivación y sobre su gráfica a mas profundidad, Así mismo, hay ejemplos para que tengan una mejor comprensión de la noción de la derivada. Además, pueden encontrar una serie de ejercicios para resolver.
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Definición de la derivada
1. Definición de la derivada
Si f es una función derivable en un intervalo (a,b) є R, la función derivada de f
es la que a cada x ε (a,b) le hace corresponder la derivada de f en dicho punto.
Esta función se designa por: f ’(x) , Dx , y’ ó dy/dx
La derivada de una función es un límite.
a-x
f(a)f(x)
lim
h
f(x)h)f(x
lim
ax0h
2. x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf
hx 0
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0
Tangente
Gráfica de la derivada
5. 5. Si f y g son funciones derivables y a y b son
constantes se tiene que:
xgxfxgxf
4. Si f es derivable y c constante, se tiene:
xfcxcf
Propiedades de la derivada
6. 7. Si f y g son funciones derivables y
diferente de cero, entonces la derivada del
cociente es:
)(xg
)(
)()()()(
)(
)(
2
xg
xgxfxgxf
xg
xf
6. Si f y g son funciones derivables, entonces la
derivada del producto es:
xgxfxgxfxgxf
*
Propiedades de la derivada
7. 8. Si y , entonces la regla de la
cadena se define por:
)('*)(')( xgxgffog
)()'( xfog n
9. Si y , entonces la regla de la
cadena para funciones con exponente se
define por:
n
xgxf )()(
)()()(
1
xgxgnxf
n
n
Propiedades de la derivada
8. • EJEMPLO 1
• Hallar la ecuación de la recta tangente a la función y = - x2 + 4x
• x=1,5 y = – 2,25 + 6 = 3,75
• Punto de tangencia P(1,5 , 3,75)
• La función derivada es:
• f ’ (x) = – 2x + 4
• (Ya realizada anteriormente)
• La derivada en x=1,5 vale:
• f ’ (1,5) = – 2.1,5 + 4 = 1
• Por la ecuación punto-pendiente:
• y – yo = m.(x – xo)
• y – 3,75 = 1.(x – 1,5)
• Y además podemos deducir:
• f ’(1) = m = 2 > 0 Creciente
Ejemplos de derivación
9. • EJEMPLO 2
• Hallar la ecuación de la recta tangente a la función y = - x2 + 4x
• x=3 y = – 9 + 12 = 3
• Punto de tangencia P(3, 3)
• La función derivada es:
• f ’ (x) = – 2.x + 4
• (Ya realizada anteriormente)
• La derivada en x=3 vale:
• f ’ (3) = – 2.3 + 4 = – 2
• Por la ecuación punto-pendiente:
• y – yo = m.(x – xo)
• y – 3 = – 2.(x – 3)
• Y además podemos deducir:
• f ’(3) = m = – 2 < 0 Decreciente
Ejemplos de derivación
10. 1. y= 𝑥4
2. Y= 𝑥3
+3𝑥2
+ 9
3. Y= 4 𝑥 + (𝑥 + 1)
4. Y= 𝑥2 + 2𝑥
5. 1
√𝑥
+ 𝑥3 − 3x
6.
8.
7.
10.
9. .
Ejercicios de derivación
Realizar los siguientes ejercicios
teniendo en cuenta la anterior teoría: