2. ¿QUÉ ES UN ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTA? Antes de abordar el tema se hace una breve introducción de lo que es una ecuación diferencial exacta; una ecuación diferencial M(x,y) + N(x,y) es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencia de alguna función F(x,y). Una ecuación diferencial de primer orden de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 Es una ecuación diferencial exacta o ecuación exacta), si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.
3. Ejemplo 2ytdy + y2dt = 0. Aquí: M = 2yt, N = y2. Entonces: F(y,t) =∫2ytdy + Ψ (t) = y2 t + Ψ (t)En la función Ψ(t) se incluye la constante de integración. ∂ F/∂ t = y2 + Ψ’ (t) Como N = ∂ F/∂ t , esto significa que N = y2 .Se igualan entonces (2) y (3) y queda y2 = y2 + Ψ´(t) y Ψ´(t) = 0 . Se integra Ψ’ (t) y queda Ψ(t) = ∫ Ψ’ (t) = ∫ 0dt = k El resultado de F(y,t) será y2t + k. La solución es F(y,t) = C.. Sustituyendo queday2 t + k = C1. Como C = C1 – k, entonces y(t) = Ct-1/2, C es arbritaria.
4. FACTOR INTEGRANTE Si existe una funcion (x,y) tal que f(x)dx+ g(y)dy=0, entonces f(x,y) Mdx + f(x,y)Ndy=0 es exacta, si alguno de los 2 valores “m” o “n” al derivar parcialmente no equivalente proceder a obtener un factor llamado integrante.
5. ¿COMO SE OBTIENE EL FACTOR INTEGRANTE? Para x sea f(x,y) el factor donde p(x)= My – Ny/N Para y sea f(x,y) el factor donde p(x)= Nx – Ny/M Sea ∫ p(x) ∫ p(y) M=e ó M=e donde M ó U= Factor Integrante