Utilizando el factor de integracion suponemos una µ(t) = et que a su vez es igual a µ(t) = eRdt. Multiplicando ambos lados por µ(t)

1. Tarea III, Ecuaciones Diferenciales I
Profesor: Dr. Josu´e Manik Nava Sede˜no
Sa´ul M´endez Guti´errez
19 de junio de 2020
1. Para cada inciso, haz lo siguiente:
I.Dibuja el campo de pendientes y a partir
de este, explica el comportamiento de las so-
luciones cuando t → ∞.
II.Encuentra la soluci´on general y ´usala para
determinar el comportamiento de las solucio-
nes cuando t → ∞
a) ˙y + y = te−t
+ 1
Con la gr´afica se observa que cuando
t → ∞, la soluci´on tiene una forma ex-
ponencial negativa estable.
Resolviendo la ecuaci´on diferencial:
dy
dt
+ y = te−t
+ 1 (1)
Utilizando el factor de integraci´on, su-
ponemos una µ(t) = et
que a su vez es
igual a µ(t) = e dt
. Multiplicando am-
bos lados por µ(t)
et dy
dt
+ y = et
te−t
+ 1 (2)
et dy
dt
+ et
y = et
te−t
+ 1 (3)
Que tiene la forma de la derivada del
producto de dos funciones, como d
dt et
=
et
por lo que:
et
y = et
te−t
+ 1 (4)
Ahora, integrando ambos con respecto
a t; como et
∗ e−t
= 1:
et
ydt = t + et
dt (5)
1

2. ⇒ et
y =
t2
2
+ et
+ C (6)
Y finalmente, dividiendo ambos lados
por µ(t) = et
y = e−t t2
2
+ 1 + K (7)
b) ˙y + y = 5 sin(2t)
Igualmente, Utilizando el factor de integra-
ci´on, suponemos una µ(t) = et
que a su vez
es igual a µ(t) = e dt
. Multiplicando ambos
lados por µ(t)
et dy
dt
+ y = 5et
sin(2t) (8)
Tiene la forma de la derivada del producto
de dos funciones, como d
dt et
= et
por lo que:
et dy
dt
+
d(et
)
dt
y = 5et
sin(2t) (9)
Siendo esta la derivada de un producto:
dy
dt
et
y = 5et
sin(2t) (10)
Integrando ambos con respecto a t; como:
dy
dt
et
ydt = 5et
sin(2t)dt (11)
et
y = 5(uv − vdu) (12)
Donde u = sin(2t), du = 2 cos(2t) y dv = et
,
v = et
→= 5 et
sin(2t) − 2et
cos(2t)dt (13)
Integrando por partes otra vez:
u = 2 cos(2t), du = −4 sin(2t) y dv = et
,
v = et
= 5 et
sin(2t) − 2et
cos(2t) + 4 et
sin(2t)dt
(14)
Ahora
5 5et
sin(2t)dt = 5 et
sin(2t) − 2et
cos(2t) + 4et
sin(2t)dt
(15)
→ 5 et
sin(2t)dt = 5 et
sin(2t) − 2et
cos(2t) + C
(16)
→ et
y = et
sin(2t) − 2et
cos(2t) + C (17)
Dividiendo sobre µ(t) = et
⇒ y = sin(2t) − 2 cos(2t) + K (18)
2. Considera el siguiente m´etodo para resolver
2

3. la ecuaci´on lineal de primer orden
˙y + p(t)y = g(t) (19)
a) Si g(t) = 0 para todo t, muestra que la
soluci´on es:
y = Ae(− p(t)dt)
(20)
Donde A es constante
Si g(t) = 0 entonces:
˙y + p(t)y = 0 (21)
En donde, si suponemos que exis-
te un termino de integraci´on µ(t) =
e( p(t)dt)
y tal que su derivada cumple
d
dt e( p(t)dt)
= ep(t)dt)
µ(t)
dy
dt
+ p(t)y = 0 (22)
e( p(t)dt) dy
dt
+ e( p(t)dt)
p(t)y = 0 (23)
Lo cual cumple con d
dt e( p(t)dt)
p(t), por
lo que se puede ver como la derivada de
una multiplicaci´on de funciones:
d
dt
e( p(t)dt)
y = 0 (24)
Integrando la ecuaci´on:
d
dt
e( p(t)dt)
y = 0 (25)
e( p(t)dt)
y = C (26)
Ahora:
→ y = C
1
e( p(t)dt)
(27)
Por lo que si A = cte
⇒ y = Ae− p(t)dt
(28)
b) Si g(t) no es cero para toda t, sup´on que
la soluci´on de la Eq. 1 es de la forma:
y = A(t)e(− p(t)dt)
(29)
donde A es una funci´on de t. Sustitu-
yendo y en la ecuaci´on diferencial Eq.
1, muestra que A(t) debe satisfacer la
condici´on:
˙A = g(t)e( p(t)dt)
(30)
Si sustituimos a y en la ecuaci´on origi-
nal, (22), tenemos:
˙y + p(t)A(t)e(− p(t)dt)
= g(t) (31)
Como la derivada de y:
dy
dt
= P(t)A(t)e(− p(t)dt)(32)
P(t)A(t)e(− p(t)dt)
+p(t)A(t)e(− p(t)dt)
= g(t)
(33)
P(t)e(− p(t)dt)
A(t)+
1
A(t)
= g(t) (34)
1
A(t)
= g(t)P(t)e( p(t)dt)
(35)
3