SlideShare una empresa de Scribd logo
1 
C u r s o : Matemática 
Material N° 16 
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 16 
UNIDAD: GEOMETRÍA 
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y TEOREMAS 
DEFINICIONES 
CIRCUNFERENCIA: Dado un punto O y una distancia r, se 
llama circunferencia de centro O y 
radio r al conjunto de todos los puntos del 
plano que están a la distancia r del 
punto O. 
RADIO: Trazo cuyos extremos son el centro de la 
circunferencia y un punto de ésta ( OA ). 
CUERDA: Trazo cuyos extremos son dos puntos de 
una circunferencia ( DE). 
DIÁMETRO: Cuerda que contiene al centro de la 
circunferencia ( BC ). Es la cuerda de 
mayor longitud. 
r 
O 
1 
SECANTE: Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (PQ) 
radio 
O 
TANGENTE: Recta que intersecta a la circunferencia en un sólo punto (TM). T punto de 
tangencia. 
ARCO: Es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de 
ella ( CE ). 
ÁNGULO DEL CENTRO: Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus 
rayos son radios de la misma (EOD). 
EJEMPLOS 
1. ¿Cuál de las siguientes opciones es FALSA? 
A) El diámetro de una circunferencia es el doble de su radio 
B) La mayor cuerda de una circunferencia es el diámetro 
C) En circunferencias congruentes los radios son congruentes 
D) Al intersectarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman ángulos del 
centro. 
E) Por tres puntos cualesquiera siempre pasa una circunferencia 
0: Centro 
r: Radio 
C(O,r) =  (O,r) 
(O,r) 
cuerda 
diámetro 
secante 
tangente 
arco 
C 
A 
Q 
M 
P 
B 
D E 
T
2. ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera? 
A) Una cuerda no puede pertenecer a una secante 
B) Una cuerda puede pertenecer a una tangente 
C) La tangente intersecta en más de un punto a la circunferencia 
D) Los rayos de un ángulo del centro son cuerdas 
E) El diámetro es una cuerda 
3. En la circunferencia de centro O (fig. 1) de diámetro AB , el ángulo AOC mide 54o. 
2 
¿Cuál es la medida del ángulo BCO? 
A) 17º 
B) 24º 
C) 27º 
D) 32º 
E) No se puede determinar 
4. Según los datos de la circunferencia de centro en O (fig. 2),  +  es 
A) 198º 
B) 168º 
C) 144º 
D) 132º 
E) 126º 
O 
5. En la circunferencia de la figura 3, OD y OC son radios. ¿Cuál(es) de las siguientes 
relaciones es (son) siempre verdadera(s)? 
I) ODC = OCD 
II) AE  OE 
III) DE  CE 
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo III 
D) Sólo I y III 
E) I, II y III 
B 
A 
O 
fig. 3 
D 
C 
E 
B 
A 
C 
fig. 1 
O 
fig. 2 
39o  48o 
 
A 
B 
C
3 
MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO 
En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo del centro que 
subtiende dicho arco. 
D 
ÁNGULO INSCRITO: Es todo ángulo cuyo vértice es un punto 
de la circunferencia y parte de sus rayos 
son cuerdas de ésta (FHG). 
G 
TEOREMA 
Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad del arco que subtiende el 
mismo arco. 
C 
O 
D 
O  
E 
EJEMPLOS 
1. En la circunferencia de centro O (fig. 1), se cumple que el arco BA es igual al arco DC y 
el arco AED más el arco CB es igual a 3 veces el arco BA. Entonces, la medida del x 
es 
A) 45º 
B) 60º 
C) 72º 
D) 84º 
E) 90º 
B 
2. AC y BE son diámetros de la circunferencia de centro O (fig. 2). Si BOA = 2COB, 
entonces el CDB mide 
A) 30º 
B) 35º 
C) 45º 
D) 60º 
E) 120º 
fig. 2 
E 
D 
C 
O 
A B 
H 
F 
x 
O 
D 
A 
C 
fig. 1 
E 
DE = EOD =  
E 
 O 
O: centro de la circunferencia 
 
 
A B 
 
 
O 
A B 
 
A B 
 = 1 
2 

3. Según los datos entregados en la circunferencia de centro O de la figura 3, ¿cuánto 
4 
mide el ángulo ? 
A) 35º 
B) 40º 
C) 70º 
D) 120º 
E) 150º 
4. En la circunferencia de centro O de la figura 4,  +  = 90º. Entonces, la medida de  
es 
A) 15º 
B) 30º 
C) 45º 
D) 60º 
E) 75º 
 
O 
 fig. 4 
5. En la circunferencia de centro O (fig. 5), AC es diámetro. Entonces, la medida de  es 
A) 10º 
B) 20º 
C) 40º 
D) 80º 
E) 140º 
6. En la circunferencia de centro O y diámetro BC de la figura 6, ¿cuánto mide el BCA? 
A) 22º 
B) 34º 
C) 36º 
D) 44º 
E) 68º 
7. En la circunferencia de centro O de la figura 7, BOA = 70º y COB = 40º. ¿Cuánto 
mide el ángulo ABC? 
A) 140º 
B) 125º 
C) 120º 
D) 110º 
E) 95º 
 
A 
B 
O 
C 
20º fig. 5 
68º 
O 
C 
A B 
fig. 6 
 
x + 50° 
x 
fig. 3 
2x + 30° 
O 
O 
A C 
B 
fig. 7
TEOREMA 
Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden un mismo arco tienen igual medida. 
TEOREMA 
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. 
A O B 
TEOREMA 
En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios. 
 
TEOREMA 
La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. 
QP tangente en P  QP  OP r Q 
5 
EJEMPLOS 
1. En la figura 1, TPQ = 140º y QRP = 15º. ¿Cuánto mide el PQT? 
A) 15º 
B) 20º 
C) 25º 
D) 30º 
E) 35º 
T R 
2. Si en la circunferencia de la figura 2,  +  +  = 90°, entonces la medida de  es 
A) 15º 
B) 30º 
C) 45º 
D) 60º 
E) 90º 
O 
P 
P Q 
fig. 1 
 =   
 
BCA = 90º 
 +  = 180º 
 +  = 180º 
A 
C 
 
 
 
B 
D 
C 
O: centro de la circunferencia 
P 
 
Q 
 
fig. 2 

3. En la figura 3, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Entonces, x = 
6 
A) 30º 
B) 65º 
C) 115º 
D) 130º 
E) 230º 
D C 
30º 
4. En la figura 4, AC es diámetro de la circunferencia de centro O. ¿Cuánto mide el ángulo BCA? 
A) 15º 
B) 25º 
C) 35º 
D) 55º 
E) 70º 
5. En la figura 5, PT es tangente a la circunferencia de centro O, en T. ¿Cuánto mide el OPT? 
A) 10º 
B) 20º 
C) 30º 
D) 40º 
E) 50º 
6. En la circunferencia de centro O de la figura 6, PA y PB son tangentes en A y B, 
respectivamente. ¿Cuánto mide el ángulo BCA? 
A) 25º 
B) 50º 
C) 65º 
D) 100º 
E) 130º 
B 
C O P 
O 50º 
7. En la figura 7, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Si  = 145° y  =  – , 
entonces  es igual a 
A) 35º 
B) 45º 
C) 55º 
D) 60º 
E) 70º 
B 
55º 
O 
A C 
fig. 4 
T 
P 
O 
fig. 5 
40º 
 
 
C 
B 
D 
fig. 7 
 
 
A 
fig. 3 
35º x 
A B 
A 
fig. 6
 fig. 2 
7 
ANGULO INTERIOR EN LA CIRCUNFERENCIA 
El ángulo interior de la circunferencia es aquel que se forma al intersectarse 
interiormente dos cuerdas, como se muestra en la figura 1, y su medida corresponde a la 
semisuma de los arcos que subtiende. 
 = 
BA + CD 
ANGULO EXTERIOR EN LA CIRCUNFERENCIA 
El ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la 
circunferencia, pudiendo ser sus rayos, tangentes o secantes a la misma ,como se muestra 
en la figura 2, y su medida corresponde a la semidiferencia de los arcos que subtiende. 
ANGULO SEMI INSCRITO 
El ángulo semi-inscrito es aquel cuyo vértice está sobre la circunferencia, sus rayos lo 
forman una cuerda AC y una recta L tangente en A , como se muestra en la figura 3, su 
medida corresponde a la mitad del arco que subtiende. 
EJEMPLO 
1. En la circunferencia de la figura 4, la recta L es tangente en B, el ángulo DBC mide 50º 
y el arco EB mide 140º, entonces el valor de x + y es 
A) 70º 
B) 80º 
C) 90º 
D) 100º 
E) 120º 
2 
A B 
 
C 
D 
fig. 1 
 = 
DC AB 
2 
 
P 
B 
A 
C 
D 
 = 
AC 
2 
 
A 
L 
C 
fig. 3 
y 
L 
B 
x C 
D 
E 
fig. 4
2. AD y BC son cuerdas que se intersectan en E (fig. 5). Si el arco BA mide 60º y el arco 
CD mide 100º, ¿cuánto mide el ángulo ? 
8 
A) 20º 
B) 60º 
C) 80º 
D) 100º 
E) 160º 
fig. 5 
3. La recta L tangente a la circunferencia en el punto A (fig. 6). Si el triángulo ABC es 
isósceles de base AB, entonces el ángulo DAC mide 
A) 20º 
B) 25º 
C) 35º 
D) 40º 
E) 70º 
4. En la circunferencia de la figura 7, ángulo CPA mide 40º, si el arco AC es el triple del 
arco DB, entonces ¿cuánto suman los arcos CD y BA? 
A) 40º 
B) 80º 
C) 120º 
D) 160º 
E) 200º 
RESPUESTAS 
Ejemplos 
Págs. 1 2 3 4 5 6 7 
1 y 2 E E C B A 
3 y 4 C A D D C A B 
5 y 6 C B C C A C E 
7 y 8 B C E E 
DMTRMA16 
A 
E 
C 
D 
B 
 
fig. 7 
A 
B 
C 
D 
P 
Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web 
http://www.pedrodevaldivia.cl/ 
fig. 6 
B 
A 
40º C 
D 
L

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Actividad 4 geometria tercero medio
Actividad 4 geometria tercero medioActividad 4 geometria tercero medio
Actividad 4 geometria tercero medio
flori
 
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CON TRIGONOMETRIA
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CON TRIGONOMETRIARESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CON TRIGONOMETRIA
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CON TRIGONOMETRIA
jorge la chira
 
66 combinatoria
66 combinatoria66 combinatoria
66 combinatoria
Marcelo Calderón
 
34 guía ejercitación
34 guía ejercitación34 guía ejercitación
34 guía ejercitación
Marcelo Calderón
 
4
44
Angulos en la circunferencia prueba 2
Angulos en la circunferencia prueba 2Angulos en la circunferencia prueba 2
Angulos en la circunferencia prueba 2
Diego Agurto Morales
 
Teorema de thales prueba rocket
Teorema de thales prueba rocketTeorema de thales prueba rocket
Teorema de thales prueba rocket
Hernan Rodriguez Troncoso
 
2010 i semana 15
2010   i semana 152010   i semana 15
2010 i semana 15
IverSutizal1
 
Ab1 2014 f_01
Ab1 2014 f_01Ab1 2014 f_01
67 ejercicios combinatoria
67 ejercicios combinatoria67 ejercicios combinatoria
67 ejercicios combinatoria
Marcelo Calderón
 
72 ejercicios volúmenes
72 ejercicios volúmenes72 ejercicios volúmenes
72 ejercicios volúmenes
Marcelo Calderón
 
Ficha 1 sistemas de medidas angulares
Ficha 1  sistemas de medidas angularesFicha 1  sistemas de medidas angulares
Ficha 1 sistemas de medidas angulares
Jorge Javier Dextre
 
7° elementos secundarios de triangulo
7° elementos secundarios de triangulo7° elementos secundarios de triangulo
7° elementos secundarios de triangulo
Ruth Sanzana
 
Geometria 5° 2 b
Geometria 5° 2 bGeometria 5° 2 b
Geometria 5° 2 b
349juan
 
Teoría y Problemas de Razones Trigonométricas y Triángulos Notables ccesa007
Teoría y Problemas de Razones Trigonométricas y Triángulos Notables  ccesa007Teoría y Problemas de Razones Trigonométricas y Triángulos Notables  ccesa007
Teoría y Problemas de Razones Trigonométricas y Triángulos Notables ccesa007
Demetrio Ccesa Rayme
 
Geom3 2014 g_03
Geom3 2014 g_03Geom3 2014 g_03
Balotario de geometria abril 2013 seleccion
Balotario de geometria abril 2013 seleccionBalotario de geometria abril 2013 seleccion
Balotario de geometria abril 2013 seleccion
karlosnunezh
 
EJERCICIOS DE GEOMETRIA
EJERCICIOS DE GEOMETRIAEJERCICIOS DE GEOMETRIA
EJERCICIOS DE GEOMETRIA
Moisés Apaza Quincho
 
51 ejercicios raíces y función raíz cuadrada
51 ejercicios raíces y función raíz cuadrada51 ejercicios raíces y función raíz cuadrada
51 ejercicios raíces y función raíz cuadrada
Marcelo Calderón
 
Practica 5 circunferencia seleccion
Practica 5 circunferencia seleccionPractica 5 circunferencia seleccion
Practica 5 circunferencia seleccion
Karlos Dieter Nunez Huayapa
 

La actualidad más candente (20)

Actividad 4 geometria tercero medio
Actividad 4 geometria tercero medioActividad 4 geometria tercero medio
Actividad 4 geometria tercero medio
 
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CON TRIGONOMETRIA
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CON TRIGONOMETRIARESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CON TRIGONOMETRIA
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CON TRIGONOMETRIA
 
66 combinatoria
66 combinatoria66 combinatoria
66 combinatoria
 
34 guía ejercitación
34 guía ejercitación34 guía ejercitación
34 guía ejercitación
 
4
44
4
 
Angulos en la circunferencia prueba 2
Angulos en la circunferencia prueba 2Angulos en la circunferencia prueba 2
Angulos en la circunferencia prueba 2
 
Teorema de thales prueba rocket
Teorema de thales prueba rocketTeorema de thales prueba rocket
Teorema de thales prueba rocket
 
2010 i semana 15
2010   i semana 152010   i semana 15
2010 i semana 15
 
Ab1 2014 f_01
Ab1 2014 f_01Ab1 2014 f_01
Ab1 2014 f_01
 
67 ejercicios combinatoria
67 ejercicios combinatoria67 ejercicios combinatoria
67 ejercicios combinatoria
 
72 ejercicios volúmenes
72 ejercicios volúmenes72 ejercicios volúmenes
72 ejercicios volúmenes
 
Ficha 1 sistemas de medidas angulares
Ficha 1  sistemas de medidas angularesFicha 1  sistemas de medidas angulares
Ficha 1 sistemas de medidas angulares
 
7° elementos secundarios de triangulo
7° elementos secundarios de triangulo7° elementos secundarios de triangulo
7° elementos secundarios de triangulo
 
Geometria 5° 2 b
Geometria 5° 2 bGeometria 5° 2 b
Geometria 5° 2 b
 
Teoría y Problemas de Razones Trigonométricas y Triángulos Notables ccesa007
Teoría y Problemas de Razones Trigonométricas y Triángulos Notables  ccesa007Teoría y Problemas de Razones Trigonométricas y Triángulos Notables  ccesa007
Teoría y Problemas de Razones Trigonométricas y Triángulos Notables ccesa007
 
Geom3 2014 g_03
Geom3 2014 g_03Geom3 2014 g_03
Geom3 2014 g_03
 
Balotario de geometria abril 2013 seleccion
Balotario de geometria abril 2013 seleccionBalotario de geometria abril 2013 seleccion
Balotario de geometria abril 2013 seleccion
 
EJERCICIOS DE GEOMETRIA
EJERCICIOS DE GEOMETRIAEJERCICIOS DE GEOMETRIA
EJERCICIOS DE GEOMETRIA
 
51 ejercicios raíces y función raíz cuadrada
51 ejercicios raíces y función raíz cuadrada51 ejercicios raíces y función raíz cuadrada
51 ejercicios raíces y función raíz cuadrada
 
Practica 5 circunferencia seleccion
Practica 5 circunferencia seleccionPractica 5 circunferencia seleccion
Practica 5 circunferencia seleccion
 

Destacado

31 ejercicios de ángulos en la circunferencia y teoremas
31 ejercicios de ángulos en la circunferencia y teoremas31 ejercicios de ángulos en la circunferencia y teoremas
31 ejercicios de ángulos en la circunferencia y teoremas
Marcelo Calderón
 
Guia1
Guia1Guia1
Guia1
xrukaguax
 
Circunferencia proporcionalidad y semejanza
Circunferencia proporcionalidad y semejanzaCircunferencia proporcionalidad y semejanza
Circunferencia proporcionalidad y semejanza
Hender Chapoñan
 
Resumen circunferencia
Resumen circunferenciaResumen circunferencia
Resumen circunferencia
sitayanis
 
Teorema de las cuerdas
Teorema de las cuerdasTeorema de las cuerdas
Teorema de las cuerdas
dianazuluaga1
 
Teorema de cuerdas
Teorema de cuerdasTeorema de cuerdas
Teorema de cuerdas
Camila Moncada
 
Problemas sobre circunferencia
Problemas sobre circunferenciaProblemas sobre circunferencia
Problemas sobre circunferencia
Jose Sanchez
 
Practica 2 de trigonometria sector circular seleccion
Practica 2 de trigonometria sector circular seleccionPractica 2 de trigonometria sector circular seleccion
Practica 2 de trigonometria sector circular seleccion
Karlos Dieter Nunez Huayapa
 
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Razones  trigonométricas de  un  ángulo  agudoRazones  trigonométricas de  un  ángulo  agudo
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
justusrios
 
Problemas sobre razones trigonométricas inversas y complementarias
Problemas sobre razones trigonométricas inversas y complementariasProblemas sobre razones trigonométricas inversas y complementarias
Problemas sobre razones trigonométricas inversas y complementarias
Liceo Naval
 
EJERCICIOS DE RAZONES TRIGONOMETRICAS DE 45º
EJERCICIOS DE RAZONES TRIGONOMETRICAS DE 45ºEJERCICIOS DE RAZONES TRIGONOMETRICAS DE 45º
EJERCICIOS DE RAZONES TRIGONOMETRICAS DE 45º
Juan Jose Falcon Vizcarra
 
Actividades de la longitud de la circunferencia
Actividades de la longitud de la circunferenciaActividades de la longitud de la circunferencia
Actividades de la longitud de la circunferencia
Celiamagister
 
Sector circular
Sector circularSector circular
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOSRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
EDWIN RONALD CRUZ RUIZ
 
Ejercicios de Geometría
Ejercicios de GeometríaEjercicios de Geometría
Ejercicios de Geometría
JRIOSCABRERA
 
Razones trigonométricas de ángulos agudos i
Razones trigonométricas de ángulos agudos iRazones trigonométricas de ángulos agudos i
Razones trigonométricas de ángulos agudos i
JUANCA
 
Actividad 5 geometria circunferencia i
Actividad 5 geometria circunferencia iActividad 5 geometria circunferencia i
Actividad 5 geometria circunferencia i
Karlos Dieter Nunez Huayapa
 
Razones trigonometricas de angulos notables
Razones trigonometricas de angulos notablesRazones trigonometricas de angulos notables
Razones trigonometricas de angulos notables
EDWIN RONALD CRUZ RUIZ
 
Ejercicios + solucionarios circunferencia y círculo
Ejercicios + solucionarios circunferencia y círculoEjercicios + solucionarios circunferencia y círculo
Ejercicios + solucionarios circunferencia y círculo
Julio López Rodríguez
 

Destacado (19)

31 ejercicios de ángulos en la circunferencia y teoremas
31 ejercicios de ángulos en la circunferencia y teoremas31 ejercicios de ángulos en la circunferencia y teoremas
31 ejercicios de ángulos en la circunferencia y teoremas
 
Guia1
Guia1Guia1
Guia1
 
Circunferencia proporcionalidad y semejanza
Circunferencia proporcionalidad y semejanzaCircunferencia proporcionalidad y semejanza
Circunferencia proporcionalidad y semejanza
 
Resumen circunferencia
Resumen circunferenciaResumen circunferencia
Resumen circunferencia
 
Teorema de las cuerdas
Teorema de las cuerdasTeorema de las cuerdas
Teorema de las cuerdas
 
Teorema de cuerdas
Teorema de cuerdasTeorema de cuerdas
Teorema de cuerdas
 
Problemas sobre circunferencia
Problemas sobre circunferenciaProblemas sobre circunferencia
Problemas sobre circunferencia
 
Practica 2 de trigonometria sector circular seleccion
Practica 2 de trigonometria sector circular seleccionPractica 2 de trigonometria sector circular seleccion
Practica 2 de trigonometria sector circular seleccion
 
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Razones  trigonométricas de  un  ángulo  agudoRazones  trigonométricas de  un  ángulo  agudo
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
 
Problemas sobre razones trigonométricas inversas y complementarias
Problemas sobre razones trigonométricas inversas y complementariasProblemas sobre razones trigonométricas inversas y complementarias
Problemas sobre razones trigonométricas inversas y complementarias
 
EJERCICIOS DE RAZONES TRIGONOMETRICAS DE 45º
EJERCICIOS DE RAZONES TRIGONOMETRICAS DE 45ºEJERCICIOS DE RAZONES TRIGONOMETRICAS DE 45º
EJERCICIOS DE RAZONES TRIGONOMETRICAS DE 45º
 
Actividades de la longitud de la circunferencia
Actividades de la longitud de la circunferenciaActividades de la longitud de la circunferencia
Actividades de la longitud de la circunferencia
 
Sector circular
Sector circularSector circular
Sector circular
 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOSRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
 
Ejercicios de Geometría
Ejercicios de GeometríaEjercicios de Geometría
Ejercicios de Geometría
 
Razones trigonométricas de ángulos agudos i
Razones trigonométricas de ángulos agudos iRazones trigonométricas de ángulos agudos i
Razones trigonométricas de ángulos agudos i
 
Actividad 5 geometria circunferencia i
Actividad 5 geometria circunferencia iActividad 5 geometria circunferencia i
Actividad 5 geometria circunferencia i
 
Razones trigonometricas de angulos notables
Razones trigonometricas de angulos notablesRazones trigonometricas de angulos notables
Razones trigonometricas de angulos notables
 
Ejercicios + solucionarios circunferencia y círculo
Ejercicios + solucionarios circunferencia y círculoEjercicios + solucionarios circunferencia y círculo
Ejercicios + solucionarios circunferencia y círculo
 

Similar a 30 ángulos en la circunferencia y teoremas

209 ptr-11-angulos en la circunferencia web 2016
209 ptr-11-angulos en la circunferencia web 2016209 ptr-11-angulos en la circunferencia web 2016
209 ptr-11-angulos en la circunferencia web 2016
Pilar Lizama
 
Ma 16 2007
Ma 16 2007Ma 16 2007
Ma 16 2007
Ma 16 2007Ma 16 2007
13 angulos en la circunferencia
13 angulos en la circunferencia13 angulos en la circunferencia
13 angulos en la circunferencia
cris253225
 
AngulosenlaCircunferencia.pdf
AngulosenlaCircunferencia.pdfAngulosenlaCircunferencia.pdf
AngulosenlaCircunferencia.pdf
Anura Cortázar Cáez
 
G angulos en_la_circunferencia_uc1
G angulos en_la_circunferencia_uc1G angulos en_la_circunferencia_uc1
G angulos en_la_circunferencia_uc1
Sita Yani's
 
31 ejercicios de ángulos en la circunferencia y teoremas
31 ejercicios de ángulos en la circunferencia y teoremas31 ejercicios de ángulos en la circunferencia y teoremas
31 ejercicios de ángulos en la circunferencia y teoremas
Marcelo Calderón
 
Circunferencia y circulo1
Circunferencia y circulo1Circunferencia y circulo1
Circunferencia y circulo1
Marcelo Jara
 
60 ejercicios geometría proporcional 2
60 ejercicios geometría proporcional 260 ejercicios geometría proporcional 2
60 ejercicios geometría proporcional 2
Marcelo Calderón
 
27 polígonos y cuadriláteros
27 polígonos y cuadriláteros27 polígonos y cuadriláteros
27 polígonos y cuadriláteros
Marcelo Calderón
 
59 geometría proporcional 2
59 geometría proporcional 259 geometría proporcional 2
59 geometría proporcional 2
Marcelo Calderón
 
Ma 11 2007
Ma 11 2007Ma 11 2007
Ma 11 2007
Ma 11 2007Ma 11 2007
Geo san diego: en este documento estan muchas posibles ptreguntas para el ex...
Geo  san diego: en este documento estan muchas posibles ptreguntas para el ex...Geo  san diego: en este documento estan muchas posibles ptreguntas para el ex...
Geo san diego: en este documento estan muchas posibles ptreguntas para el ex...
Felipe Suárez
 
AngulosyTriangulos.pdf
AngulosyTriangulos.pdfAngulosyTriangulos.pdf
AngulosyTriangulos.pdf
Anura Cortázar Cáez
 
AngulosyTriangulos.pdf
AngulosyTriangulos.pdfAngulosyTriangulos.pdf
AngulosyTriangulos.pdf
Anura Cortázar Cáez
 
Geometria 4° 2 b
Geometria 4° 2 bGeometria 4° 2 b
Geometria 4° 2 b
349juan
 
Ma 17 2007
Ma 17 2007Ma 17 2007
Ma 17 2007
Ma 17 2007Ma 17 2007
63 guía ejercitación-
63  guía ejercitación-63  guía ejercitación-
63 guía ejercitación-
Marcelo Calderón
 

Similar a 30 ángulos en la circunferencia y teoremas (20)

209 ptr-11-angulos en la circunferencia web 2016
209 ptr-11-angulos en la circunferencia web 2016209 ptr-11-angulos en la circunferencia web 2016
209 ptr-11-angulos en la circunferencia web 2016
 
Ma 16 2007
Ma 16 2007Ma 16 2007
Ma 16 2007
 
Ma 16 2007
Ma 16 2007Ma 16 2007
Ma 16 2007
 
13 angulos en la circunferencia
13 angulos en la circunferencia13 angulos en la circunferencia
13 angulos en la circunferencia
 
AngulosenlaCircunferencia.pdf
AngulosenlaCircunferencia.pdfAngulosenlaCircunferencia.pdf
AngulosenlaCircunferencia.pdf
 
G angulos en_la_circunferencia_uc1
G angulos en_la_circunferencia_uc1G angulos en_la_circunferencia_uc1
G angulos en_la_circunferencia_uc1
 
31 ejercicios de ángulos en la circunferencia y teoremas
31 ejercicios de ángulos en la circunferencia y teoremas31 ejercicios de ángulos en la circunferencia y teoremas
31 ejercicios de ángulos en la circunferencia y teoremas
 
Circunferencia y circulo1
Circunferencia y circulo1Circunferencia y circulo1
Circunferencia y circulo1
 
60 ejercicios geometría proporcional 2
60 ejercicios geometría proporcional 260 ejercicios geometría proporcional 2
60 ejercicios geometría proporcional 2
 
27 polígonos y cuadriláteros
27 polígonos y cuadriláteros27 polígonos y cuadriláteros
27 polígonos y cuadriláteros
 
59 geometría proporcional 2
59 geometría proporcional 259 geometría proporcional 2
59 geometría proporcional 2
 
Ma 11 2007
Ma 11 2007Ma 11 2007
Ma 11 2007
 
Ma 11 2007
Ma 11 2007Ma 11 2007
Ma 11 2007
 
Geo san diego: en este documento estan muchas posibles ptreguntas para el ex...
Geo  san diego: en este documento estan muchas posibles ptreguntas para el ex...Geo  san diego: en este documento estan muchas posibles ptreguntas para el ex...
Geo san diego: en este documento estan muchas posibles ptreguntas para el ex...
 
AngulosyTriangulos.pdf
AngulosyTriangulos.pdfAngulosyTriangulos.pdf
AngulosyTriangulos.pdf
 
AngulosyTriangulos.pdf
AngulosyTriangulos.pdfAngulosyTriangulos.pdf
AngulosyTriangulos.pdf
 
Geometria 4° 2 b
Geometria 4° 2 bGeometria 4° 2 b
Geometria 4° 2 b
 
Ma 17 2007
Ma 17 2007Ma 17 2007
Ma 17 2007
 
Ma 17 2007
Ma 17 2007Ma 17 2007
Ma 17 2007
 
63 guía ejercitación-
63  guía ejercitación-63  guía ejercitación-
63 guía ejercitación-
 

Más de Marcelo Calderón

Resumen-psu-biologia
Resumen-psu-biologiaResumen-psu-biologia
Resumen-psu-biologia
Marcelo Calderón
 
530 Preguntas (PSU) matematica oficial rectificado.
530 Preguntas (PSU) matematica oficial rectificado.530 Preguntas (PSU) matematica oficial rectificado.
530 Preguntas (PSU) matematica oficial rectificado.
Marcelo Calderón
 
49 ejercicios potencias, ecuación exponencial, función exponencial
49 ejercicios potencias, ecuación exponencial, función exponencial49 ejercicios potencias, ecuación exponencial, función exponencial
49 ejercicios potencias, ecuación exponencial, función exponencial
Marcelo Calderón
 
71 volúmenes
71 volúmenes71 volúmenes
71 volúmenes
Marcelo Calderón
 
70 guía ejercitación-
70  guía ejercitación-70  guía ejercitación-
70 guía ejercitación-
Marcelo Calderón
 
69 ejercicios probabilidades
69 ejercicios probabilidades69 ejercicios probabilidades
69 ejercicios probabilidades
Marcelo Calderón
 
68 probabilidades
68 probabilidades68 probabilidades
68 probabilidades
Marcelo Calderón
 
65 ejercicios estadística y gráficos
65 ejercicios estadística y gráficos65 ejercicios estadística y gráficos
65 ejercicios estadística y gráficos
Marcelo Calderón
 
65 ejercicios estadística y gráficos
65 ejercicios estadística y gráficos65 ejercicios estadística y gráficos
65 ejercicios estadística y gráficos
Marcelo Calderón
 
64 estadística y gráficos
64 estadística y gráficos64 estadística y gráficos
64 estadística y gráficos
Marcelo Calderón
 
62 ejercicios trigonometría
62 ejercicios trigonometría62 ejercicios trigonometría
62 ejercicios trigonometría
Marcelo Calderón
 
61 trigonometría
61 trigonometría61 trigonometría
61 trigonometría
Marcelo Calderón
 
58 ejercicios geometría proporcional 1
58 ejercicios geometría proporcional 158 ejercicios geometría proporcional 1
58 ejercicios geometría proporcional 1
Marcelo Calderón
 
57 geometría proporcional 1
57 geometría proporcional 157 geometría proporcional 1
57 geometría proporcional 1
Marcelo Calderón
 
56 guía ejercitación-
56  guía ejercitación-56  guía ejercitación-
56 guía ejercitación-
Marcelo Calderón
 
55 ejercicios ecuación 2do grado y función cuadrática
55 ejercicios ecuación 2do grado y función cuadrática55 ejercicios ecuación 2do grado y función cuadrática
55 ejercicios ecuación 2do grado y función cuadrática
Marcelo Calderón
 
54 ecuación 2do grado y función cuadrática
54 ecuación 2do grado y función cuadrática54 ecuación 2do grado y función cuadrática
54 ecuación 2do grado y función cuadrática
Marcelo Calderón
 
53 ejercicios logaritmos y función logarítmica
53 ejercicios logaritmos y función logarítmica53 ejercicios logaritmos y función logarítmica
53 ejercicios logaritmos y función logarítmica
Marcelo Calderón
 
52 logaritmos y función logarítmica
52 logaritmos y función logarítmica52 logaritmos y función logarítmica
52 logaritmos y función logarítmica
Marcelo Calderón
 
50 raíces y función raíz cuadrada
50 raíces y función raíz cuadrada50 raíces y función raíz cuadrada
50 raíces y función raíz cuadrada
Marcelo Calderón
 

Más de Marcelo Calderón (20)

Resumen-psu-biologia
Resumen-psu-biologiaResumen-psu-biologia
Resumen-psu-biologia
 
530 Preguntas (PSU) matematica oficial rectificado.
530 Preguntas (PSU) matematica oficial rectificado.530 Preguntas (PSU) matematica oficial rectificado.
530 Preguntas (PSU) matematica oficial rectificado.
 
49 ejercicios potencias, ecuación exponencial, función exponencial
49 ejercicios potencias, ecuación exponencial, función exponencial49 ejercicios potencias, ecuación exponencial, función exponencial
49 ejercicios potencias, ecuación exponencial, función exponencial
 
71 volúmenes
71 volúmenes71 volúmenes
71 volúmenes
 
70 guía ejercitación-
70  guía ejercitación-70  guía ejercitación-
70 guía ejercitación-
 
69 ejercicios probabilidades
69 ejercicios probabilidades69 ejercicios probabilidades
69 ejercicios probabilidades
 
68 probabilidades
68 probabilidades68 probabilidades
68 probabilidades
 
65 ejercicios estadística y gráficos
65 ejercicios estadística y gráficos65 ejercicios estadística y gráficos
65 ejercicios estadística y gráficos
 
65 ejercicios estadística y gráficos
65 ejercicios estadística y gráficos65 ejercicios estadística y gráficos
65 ejercicios estadística y gráficos
 
64 estadística y gráficos
64 estadística y gráficos64 estadística y gráficos
64 estadística y gráficos
 
62 ejercicios trigonometría
62 ejercicios trigonometría62 ejercicios trigonometría
62 ejercicios trigonometría
 
61 trigonometría
61 trigonometría61 trigonometría
61 trigonometría
 
58 ejercicios geometría proporcional 1
58 ejercicios geometría proporcional 158 ejercicios geometría proporcional 1
58 ejercicios geometría proporcional 1
 
57 geometría proporcional 1
57 geometría proporcional 157 geometría proporcional 1
57 geometría proporcional 1
 
56 guía ejercitación-
56  guía ejercitación-56  guía ejercitación-
56 guía ejercitación-
 
55 ejercicios ecuación 2do grado y función cuadrática
55 ejercicios ecuación 2do grado y función cuadrática55 ejercicios ecuación 2do grado y función cuadrática
55 ejercicios ecuación 2do grado y función cuadrática
 
54 ecuación 2do grado y función cuadrática
54 ecuación 2do grado y función cuadrática54 ecuación 2do grado y función cuadrática
54 ecuación 2do grado y función cuadrática
 
53 ejercicios logaritmos y función logarítmica
53 ejercicios logaritmos y función logarítmica53 ejercicios logaritmos y función logarítmica
53 ejercicios logaritmos y función logarítmica
 
52 logaritmos y función logarítmica
52 logaritmos y función logarítmica52 logaritmos y función logarítmica
52 logaritmos y función logarítmica
 
50 raíces y función raíz cuadrada
50 raíces y función raíz cuadrada50 raíces y función raíz cuadrada
50 raíces y función raíz cuadrada
 

Último

Informe de Evaluacion Diagnostica de Matematica 1-5 Ccesa007.pdf
Informe de Evaluacion Diagnostica de Matematica 1-5 Ccesa007.pdfInforme de Evaluacion Diagnostica de Matematica 1-5 Ccesa007.pdf
Informe de Evaluacion Diagnostica de Matematica 1-5 Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Fundamentos del diseño audiovisual para presentaciones y vídeos (2 de julio d...
Fundamentos del diseño audiovisual para presentaciones y vídeos (2 de julio d...Fundamentos del diseño audiovisual para presentaciones y vídeos (2 de julio d...
Fundamentos del diseño audiovisual para presentaciones y vídeos (2 de julio d...
Cátedra Banco Santander
 
Informe de Evaluacion Diagnostica de Comunicacion 1-5 Ccesa007.pdf
Informe de Evaluacion Diagnostica de Comunicacion 1-5 Ccesa007.pdfInforme de Evaluacion Diagnostica de Comunicacion 1-5 Ccesa007.pdf
Informe de Evaluacion Diagnostica de Comunicacion 1-5 Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Fichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCO
Fichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCOFichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCO
Fichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCO
mariahernandez632951
 
Introducción a las herramientas de Google Apps (3 de julio de 2024)
Introducción a las herramientas de Google Apps (3 de julio de 2024)Introducción a las herramientas de Google Apps (3 de julio de 2024)
Introducción a las herramientas de Google Apps (3 de julio de 2024)
Cátedra Banco Santander
 
1. QUE ES UNA ESTRUCTURAOCTAVOASANTA TERESA .pptx
1. QUE ES UNA ESTRUCTURAOCTAVOASANTA TERESA .pptx1. QUE ES UNA ESTRUCTURAOCTAVOASANTA TERESA .pptx
1. QUE ES UNA ESTRUCTURAOCTAVOASANTA TERESA .pptx
nelsontobontrujillo
 
EJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANA
EJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANAEJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANA
EJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANA
dairatuctocastro
 
PLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚ
PLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚPLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚ
PLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚ
Ferrer17
 
Presentación sobré la culturas Lima, la cultura Paracas y la cultura Vicús.
Presentación  sobré la culturas Lima,  la  cultura Paracas y la cultura Vicús.Presentación  sobré la culturas Lima,  la  cultura Paracas y la cultura Vicús.
Presentación sobré la culturas Lima, la cultura Paracas y la cultura Vicús.
Juan Luis Cunya Vicente
 
Flipped Classroom con TIC (1 de julio de 2024)
Flipped Classroom con TIC (1 de julio de 2024)Flipped Classroom con TIC (1 de julio de 2024)
Flipped Classroom con TIC (1 de julio de 2024)
Cátedra Banco Santander
 
LABERINTOS DE DISCIPLINAS OLÍMPICAS. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
LABERINTOS DE DISCIPLINAS OLÍMPICAS.  Por JAVIER SOLIS NOYOLALABERINTOS DE DISCIPLINAS OLÍMPICAS.  Por JAVIER SOLIS NOYOLA
LABERINTOS DE DISCIPLINAS OLÍMPICAS. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
JAVIER SOLIS NOYOLA
 
El mensaje en la psicopedagogía.........
El mensaje en la psicopedagogía.........El mensaje en la psicopedagogía.........
El mensaje en la psicopedagogía.........
DenisseGonzalez805225
 
Taller Intensivo de Formación Continua 2024
Taller Intensivo de Formación Continua 2024Taller Intensivo de Formación Continua 2024
Taller Intensivo de Formación Continua 2024
maria larios
 
Curación de contenidos (1 de julio de 2024)
Curación de contenidos (1 de julio de 2024)Curación de contenidos (1 de julio de 2024)
Curación de contenidos (1 de julio de 2024)
Cátedra Banco Santander
 
PLAN DE TRABAJO DIA DEL LOGRO 2024 URP.docx
PLAN DE TRABAJO DIA DEL LOGRO 2024 URP.docxPLAN DE TRABAJO DIA DEL LOGRO 2024 URP.docx
PLAN DE TRABAJO DIA DEL LOGRO 2024 URP.docx
william antonio Chacon Robles
 
Lecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docx
Lecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docxLecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docx
Lecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docx
Alejandrino Halire Ccahuana
 
ACERTIJO MATEMÁTICO DEL MEDALLERO OLÍMPICO. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
ACERTIJO MATEMÁTICO DEL MEDALLERO OLÍMPICO. Por JAVIER SOLIS NOYOLAACERTIJO MATEMÁTICO DEL MEDALLERO OLÍMPICO. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
ACERTIJO MATEMÁTICO DEL MEDALLERO OLÍMPICO. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
JAVIER SOLIS NOYOLA
 
Aplicaciones móviles de grabación (2 de julio de 2024)
Aplicaciones móviles de grabación (2 de julio de 2024)Aplicaciones móviles de grabación (2 de julio de 2024)
Aplicaciones móviles de grabación (2 de julio de 2024)
Cátedra Banco Santander
 
Introducción a los Sistemas Integrados de Gestión
Introducción a los Sistemas Integrados de GestiónIntroducción a los Sistemas Integrados de Gestión
Introducción a los Sistemas Integrados de Gestión
JonathanCovena1
 
Taller intensivo de formación continua. Puebla.
Taller intensivo de formación continua. Puebla.Taller intensivo de formación continua. Puebla.
Taller intensivo de formación continua. Puebla.
OscarCruzyCruz
 

Último (20)

Informe de Evaluacion Diagnostica de Matematica 1-5 Ccesa007.pdf
Informe de Evaluacion Diagnostica de Matematica 1-5 Ccesa007.pdfInforme de Evaluacion Diagnostica de Matematica 1-5 Ccesa007.pdf
Informe de Evaluacion Diagnostica de Matematica 1-5 Ccesa007.pdf
 
Fundamentos del diseño audiovisual para presentaciones y vídeos (2 de julio d...
Fundamentos del diseño audiovisual para presentaciones y vídeos (2 de julio d...Fundamentos del diseño audiovisual para presentaciones y vídeos (2 de julio d...
Fundamentos del diseño audiovisual para presentaciones y vídeos (2 de julio d...
 
Informe de Evaluacion Diagnostica de Comunicacion 1-5 Ccesa007.pdf
Informe de Evaluacion Diagnostica de Comunicacion 1-5 Ccesa007.pdfInforme de Evaluacion Diagnostica de Comunicacion 1-5 Ccesa007.pdf
Informe de Evaluacion Diagnostica de Comunicacion 1-5 Ccesa007.pdf
 
Fichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCO
Fichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCOFichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCO
Fichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCO
 
Introducción a las herramientas de Google Apps (3 de julio de 2024)
Introducción a las herramientas de Google Apps (3 de julio de 2024)Introducción a las herramientas de Google Apps (3 de julio de 2024)
Introducción a las herramientas de Google Apps (3 de julio de 2024)
 
1. QUE ES UNA ESTRUCTURAOCTAVOASANTA TERESA .pptx
1. QUE ES UNA ESTRUCTURAOCTAVOASANTA TERESA .pptx1. QUE ES UNA ESTRUCTURAOCTAVOASANTA TERESA .pptx
1. QUE ES UNA ESTRUCTURAOCTAVOASANTA TERESA .pptx
 
EJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANA
EJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANAEJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANA
EJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANA
 
PLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚ
PLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚPLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚ
PLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚ
 
Presentación sobré la culturas Lima, la cultura Paracas y la cultura Vicús.
Presentación  sobré la culturas Lima,  la  cultura Paracas y la cultura Vicús.Presentación  sobré la culturas Lima,  la  cultura Paracas y la cultura Vicús.
Presentación sobré la culturas Lima, la cultura Paracas y la cultura Vicús.
 
Flipped Classroom con TIC (1 de julio de 2024)
Flipped Classroom con TIC (1 de julio de 2024)Flipped Classroom con TIC (1 de julio de 2024)
Flipped Classroom con TIC (1 de julio de 2024)
 
LABERINTOS DE DISCIPLINAS OLÍMPICAS. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
LABERINTOS DE DISCIPLINAS OLÍMPICAS.  Por JAVIER SOLIS NOYOLALABERINTOS DE DISCIPLINAS OLÍMPICAS.  Por JAVIER SOLIS NOYOLA
LABERINTOS DE DISCIPLINAS OLÍMPICAS. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
 
El mensaje en la psicopedagogía.........
El mensaje en la psicopedagogía.........El mensaje en la psicopedagogía.........
El mensaje en la psicopedagogía.........
 
Taller Intensivo de Formación Continua 2024
Taller Intensivo de Formación Continua 2024Taller Intensivo de Formación Continua 2024
Taller Intensivo de Formación Continua 2024
 
Curación de contenidos (1 de julio de 2024)
Curación de contenidos (1 de julio de 2024)Curación de contenidos (1 de julio de 2024)
Curación de contenidos (1 de julio de 2024)
 
PLAN DE TRABAJO DIA DEL LOGRO 2024 URP.docx
PLAN DE TRABAJO DIA DEL LOGRO 2024 URP.docxPLAN DE TRABAJO DIA DEL LOGRO 2024 URP.docx
PLAN DE TRABAJO DIA DEL LOGRO 2024 URP.docx
 
Lecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docx
Lecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docxLecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docx
Lecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docx
 
ACERTIJO MATEMÁTICO DEL MEDALLERO OLÍMPICO. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
ACERTIJO MATEMÁTICO DEL MEDALLERO OLÍMPICO. Por JAVIER SOLIS NOYOLAACERTIJO MATEMÁTICO DEL MEDALLERO OLÍMPICO. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
ACERTIJO MATEMÁTICO DEL MEDALLERO OLÍMPICO. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
 
Aplicaciones móviles de grabación (2 de julio de 2024)
Aplicaciones móviles de grabación (2 de julio de 2024)Aplicaciones móviles de grabación (2 de julio de 2024)
Aplicaciones móviles de grabación (2 de julio de 2024)
 
Introducción a los Sistemas Integrados de Gestión
Introducción a los Sistemas Integrados de GestiónIntroducción a los Sistemas Integrados de Gestión
Introducción a los Sistemas Integrados de Gestión
 
Taller intensivo de formación continua. Puebla.
Taller intensivo de formación continua. Puebla.Taller intensivo de formación continua. Puebla.
Taller intensivo de formación continua. Puebla.
 

30 ángulos en la circunferencia y teoremas

  • 1. 1 C u r s o : Matemática Material N° 16 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 16 UNIDAD: GEOMETRÍA ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y TEOREMAS DEFINICIONES CIRCUNFERENCIA: Dado un punto O y una distancia r, se llama circunferencia de centro O y radio r al conjunto de todos los puntos del plano que están a la distancia r del punto O. RADIO: Trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un punto de ésta ( OA ). CUERDA: Trazo cuyos extremos son dos puntos de una circunferencia ( DE). DIÁMETRO: Cuerda que contiene al centro de la circunferencia ( BC ). Es la cuerda de mayor longitud. r O 1 SECANTE: Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (PQ) radio O TANGENTE: Recta que intersecta a la circunferencia en un sólo punto (TM). T punto de tangencia. ARCO: Es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de ella ( CE ). ÁNGULO DEL CENTRO: Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus rayos son radios de la misma (EOD). EJEMPLOS 1. ¿Cuál de las siguientes opciones es FALSA? A) El diámetro de una circunferencia es el doble de su radio B) La mayor cuerda de una circunferencia es el diámetro C) En circunferencias congruentes los radios son congruentes D) Al intersectarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman ángulos del centro. E) Por tres puntos cualesquiera siempre pasa una circunferencia 0: Centro r: Radio C(O,r) =  (O,r) (O,r) cuerda diámetro secante tangente arco C A Q M P B D E T
  • 2. 2. ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera? A) Una cuerda no puede pertenecer a una secante B) Una cuerda puede pertenecer a una tangente C) La tangente intersecta en más de un punto a la circunferencia D) Los rayos de un ángulo del centro son cuerdas E) El diámetro es una cuerda 3. En la circunferencia de centro O (fig. 1) de diámetro AB , el ángulo AOC mide 54o. 2 ¿Cuál es la medida del ángulo BCO? A) 17º B) 24º C) 27º D) 32º E) No se puede determinar 4. Según los datos de la circunferencia de centro en O (fig. 2),  +  es A) 198º B) 168º C) 144º D) 132º E) 126º O 5. En la circunferencia de la figura 3, OD y OC son radios. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) ODC = OCD II) AE  OE III) DE  CE A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III B A O fig. 3 D C E B A C fig. 1 O fig. 2 39o  48o  A B C
  • 3. 3 MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo del centro que subtiende dicho arco. D ÁNGULO INSCRITO: Es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas de ésta (FHG). G TEOREMA Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad del arco que subtiende el mismo arco. C O D O  E EJEMPLOS 1. En la circunferencia de centro O (fig. 1), se cumple que el arco BA es igual al arco DC y el arco AED más el arco CB es igual a 3 veces el arco BA. Entonces, la medida del x es A) 45º B) 60º C) 72º D) 84º E) 90º B 2. AC y BE son diámetros de la circunferencia de centro O (fig. 2). Si BOA = 2COB, entonces el CDB mide A) 30º B) 35º C) 45º D) 60º E) 120º fig. 2 E D C O A B H F x O D A C fig. 1 E DE = EOD =  E  O O: centro de la circunferencia   A B   O A B  A B  = 1 2 
  • 4. 3. Según los datos entregados en la circunferencia de centro O de la figura 3, ¿cuánto 4 mide el ángulo ? A) 35º B) 40º C) 70º D) 120º E) 150º 4. En la circunferencia de centro O de la figura 4,  +  = 90º. Entonces, la medida de  es A) 15º B) 30º C) 45º D) 60º E) 75º  O  fig. 4 5. En la circunferencia de centro O (fig. 5), AC es diámetro. Entonces, la medida de  es A) 10º B) 20º C) 40º D) 80º E) 140º 6. En la circunferencia de centro O y diámetro BC de la figura 6, ¿cuánto mide el BCA? A) 22º B) 34º C) 36º D) 44º E) 68º 7. En la circunferencia de centro O de la figura 7, BOA = 70º y COB = 40º. ¿Cuánto mide el ángulo ABC? A) 140º B) 125º C) 120º D) 110º E) 95º  A B O C 20º fig. 5 68º O C A B fig. 6  x + 50° x fig. 3 2x + 30° O O A C B fig. 7
  • 5. TEOREMA Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden un mismo arco tienen igual medida. TEOREMA Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. A O B TEOREMA En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.  TEOREMA La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. QP tangente en P  QP  OP r Q 5 EJEMPLOS 1. En la figura 1, TPQ = 140º y QRP = 15º. ¿Cuánto mide el PQT? A) 15º B) 20º C) 25º D) 30º E) 35º T R 2. Si en la circunferencia de la figura 2,  +  +  = 90°, entonces la medida de  es A) 15º B) 30º C) 45º D) 60º E) 90º O P P Q fig. 1  =    BCA = 90º  +  = 180º  +  = 180º A C    B D C O: centro de la circunferencia P  Q  fig. 2 
  • 6. 3. En la figura 3, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Entonces, x = 6 A) 30º B) 65º C) 115º D) 130º E) 230º D C 30º 4. En la figura 4, AC es diámetro de la circunferencia de centro O. ¿Cuánto mide el ángulo BCA? A) 15º B) 25º C) 35º D) 55º E) 70º 5. En la figura 5, PT es tangente a la circunferencia de centro O, en T. ¿Cuánto mide el OPT? A) 10º B) 20º C) 30º D) 40º E) 50º 6. En la circunferencia de centro O de la figura 6, PA y PB son tangentes en A y B, respectivamente. ¿Cuánto mide el ángulo BCA? A) 25º B) 50º C) 65º D) 100º E) 130º B C O P O 50º 7. En la figura 7, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Si  = 145° y  =  – , entonces  es igual a A) 35º B) 45º C) 55º D) 60º E) 70º B 55º O A C fig. 4 T P O fig. 5 40º   C B D fig. 7   A fig. 3 35º x A B A fig. 6
  • 7.  fig. 2 7 ANGULO INTERIOR EN LA CIRCUNFERENCIA El ángulo interior de la circunferencia es aquel que se forma al intersectarse interiormente dos cuerdas, como se muestra en la figura 1, y su medida corresponde a la semisuma de los arcos que subtiende.  = BA + CD ANGULO EXTERIOR EN LA CIRCUNFERENCIA El ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus rayos, tangentes o secantes a la misma ,como se muestra en la figura 2, y su medida corresponde a la semidiferencia de los arcos que subtiende. ANGULO SEMI INSCRITO El ángulo semi-inscrito es aquel cuyo vértice está sobre la circunferencia, sus rayos lo forman una cuerda AC y una recta L tangente en A , como se muestra en la figura 3, su medida corresponde a la mitad del arco que subtiende. EJEMPLO 1. En la circunferencia de la figura 4, la recta L es tangente en B, el ángulo DBC mide 50º y el arco EB mide 140º, entonces el valor de x + y es A) 70º B) 80º C) 90º D) 100º E) 120º 2 A B  C D fig. 1  = DC AB 2  P B A C D  = AC 2  A L C fig. 3 y L B x C D E fig. 4
  • 8. 2. AD y BC son cuerdas que se intersectan en E (fig. 5). Si el arco BA mide 60º y el arco CD mide 100º, ¿cuánto mide el ángulo ? 8 A) 20º B) 60º C) 80º D) 100º E) 160º fig. 5 3. La recta L tangente a la circunferencia en el punto A (fig. 6). Si el triángulo ABC es isósceles de base AB, entonces el ángulo DAC mide A) 20º B) 25º C) 35º D) 40º E) 70º 4. En la circunferencia de la figura 7, ángulo CPA mide 40º, si el arco AC es el triple del arco DB, entonces ¿cuánto suman los arcos CD y BA? A) 40º B) 80º C) 120º D) 160º E) 200º RESPUESTAS Ejemplos Págs. 1 2 3 4 5 6 7 1 y 2 E E C B A 3 y 4 C A D D C A B 5 y 6 C B C C A C E 7 y 8 B C E E DMTRMA16 A E C D B  fig. 7 A B C D P Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://www.pedrodevaldivia.cl/ fig. 6 B A 40º C D L