Logica Matemática. Algebra de proposiciones.

1. LÓGICA Álgebra de Proposiciones By Miguel Pérez Fontenla, January 2012

3. ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

4. ¿Para qué nos servirá esta materia? Lógica: Argumentos Simplificación de circuitos lógicos Diseño circuitos eléctricos Diseño circuitos lógicos Lógica del ordenador. Comprender pseudocódigo Lenguaje simbólico

5. LÓGICA PROPOSICIONAL Es una ciencia auxiliar de la Informática y las Matemáticas, que ayuda a comprenderla, razonarla, etc. ¿Qué es la lógica proposicional? Puedes ver este video de introducción http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=x2Hwnd7zoKU

6. LÓGICA PROPOSICIONAL Es una frase o sentencia aseverativa, es decir, que afirma o niega algo. También podríamos definirla como una expresión lingüística susceptible de ser calificada de verdadera o falsa. Se les designa con las letras p, q, r, s, t, w … Ejemplos de enunciados simples “ Madrid es la capital de España” “ Roma es la capital de Francia” “ 2 + 2 = 4” “ Dos es impar” “ 3 x 4 = 34” “ Las amapolas son azules” “ El coseno de un ángulo no es mayor que uno” “ Juan estudia todas las noches” ENUNCIADO

7. LÓGICA PROPOSICIONAL No serían enunciados los siguientes: Ejemplos de no enunciados “ El mejor jugador de fútbol del mundo” “ 2 + 2 ” “ El profesor de TIC” “ ¡Silencio!” “ sen( α )” ENUNCIADO

8. LÓGICA PROPOSICIONAL Se llama valor de verdad de un enunciado a la condición de verdadero V o falso F del mismo. Ejemplos de valor de verdad “ Santiago es la capital de Galicia” tiene valor de verdad V “ Roma es la capital de Francia” tiene valor de verdad F “ El 7 es un número natural” tiene valor de verdad V “ 2 + 2 = 4” tiene valor de verdad V “ 3 x 4 = 34” tiene valor de verdad F “ Las amapolas son azules” tiene valor de verdad F “ El cos( α ) no es mayor que uno” tiene valor de verdad V “ Juan estudia todas las noches” tiene valor de verdad ¿ … ? VALOR DE VERDAD

9. LÓGICA PROPOSICIONAL Es el que está formado por varios enunciados simples y unas conectivas que vamos a definir a continuación. Ejemplos de enunciados compuestos “ Madrid es la capital de España y 2 + 2 son 4” “ Roma es la capital de Francia ó 2 + 2 son 5” “ Juan estudia todas las noches ó Juan no aprueba matemáticas” ENUNCIADO COMPUESTO

10. LÓGICA PROPOSICIONAL Enunciado Es una frase o sentencia que afirma o niega algo Ejemplos de Enunciados simples “ Madrid es la capital de España” “ 2 + 2 = 4” “ 3 x 4 = 34” Valos de verdad Se llama valor de verdad de un enunciado a la condición de verdadero V o falso F del mismo. Enunciado compuesto Es el que está formado por varios enunciados simples y unas conectivas que vamos a definir a continuación. “ El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48”. “ Si x es número primo, entonces x impar”.

11. LÓGICA. CONECTIVAS Dos enunciados simples p y q se pueden combinar con la conectiva ∨ (que se lee ‘ o’ ) formando un enunciado compuesto denominado conjunción de los enunciados iniciales y se escribe p ∨ q Que queda definida por su tabla de verdad: Ejemplo ” 3 es un número primo ó 12 es divisible entre 3″ Operador lógico Disyunción p ∨ q Puedes ver este video http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=E0L4i2JJ5xA p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F

12. LÓGICA . CONECTIVAS Dos enunciados simples p y q se pueden combinar con la conectiva ∧ (que se lee ‘ y’ ) formando un enunciado compuesto denominado conjunción de los enunciados iniciales y se escribe p ∧ q Para definir adecuadamente una conectiva hay que explicar como actúa y eso se consigue definiendo su tabla de verdad: Ejemplo ” 3 es un número primo y 12 es divisible entre 3″ Operador lógico Conjunción p ∧ q p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F

13. LÓGICA . CONECTIVAS Un enunciado simple p se pueden combinar con la conectiva ∿ (o la ¬ , que se leen ‘n o’ ) formando un nuevo enunciado denominado negación del enunciado inicial y se escribe ∿p o también ¬p Que queda definida por su tabla de verdad: Ejemplos El dinero no da la felicidad. Es falso que el dinero de la felicidad. No es el caso que el dinero de la felicidad. El dinero da cualquier cosa menos la felicidad. Es inaceptable decir que el dinero da la felicidad. No es cierta la afirmación que el dinero da la felicidad. Operador lógico Negación ∿p ó ¬p p ∿ p V F F V

15. LÓGICA. TABLAS DE VERDAD Cuando usemos variables p, q , r,… para designar un enunciado y lo combinemos con conectivas ∧ , ∨ , ∿ (y otras que estudiaremos) obtenemos un enunciado compuesto que denominamos proposición y la denotamos por P(p,q,r, …) El valor de verdad de una proposición depende única y exclusivamente de sus variables y para expresarlo se construye la tabla de verdad Proposición y tablas de verdad p q ∿ p ∿ q ∿ p ∧∿ q ∿ (∿p ∧∿ q) V V F F F V V F F V F V F V V F F V F F V V V F

16. LÓGICA. TABLAS DE VERDAD 1. Construye la siguiente tabla de verdad Ejercicio 2. Indica cuál es el valor de verdad de la proposición: “ No es cierto que: 7 no es primo ó Roma es la capital de Francia” p q ∿ p ∿ p V q ∿ (∿p V q) V V V F F V F F

17. LÓGICA . CONECTIVAS Dos enunciados simples p y q se pueden combinar con la conectiva ⇾ (que se lee ‘ implica’ y también ‘solo si’ ) formando un enunciado compuesto denominado implicación o condicional de los enunciados iniciales y se escribe p ⇾ q Que queda definida por su tabla de verdad : Ejemplos Si llueve, entonces voy al cine. Voy al cine si llueve. Cuando llueve, voy al cine. Operador condicional ó implicación lógica, p ⇾ q p q p ⇾ q V V V V F F F V V F F V

18. LÓGICA . CONECTIVAS Dos enunciados simples p y q se pueden combinar con la conectiva ⇿ (que se lee ‘ equivale’ y también ‘si y solo si’ ) formando un enunciado compuesto denominado equivalencia o bicondicional de los enunciados iniciales y se escribe p ⇿ q Que queda definida por su tabla de verdad : Ejemplos Te ayudaré si y solo si te ayudas a ti mismo. Operador bicondicional ó equivalencia lógica, p ⇿ q p q p ⇿ q V V V V F F F V F F F V

19. LÓGICA . CONECTIVAS RESUMEN OPERADORES LÓGICOS Operador Símbolo Lectura Ejemplo Disyunción ∨ Ó p ∨ q Conjunción ∧ / & Y p ∧ q Negación ∿ / ¬ No ¬ p Condicional Implicación ⇾ si … entonces …/ … implica que … p ⇾ q Bicondicional Equivalencia ⇿ / ≡ … equivale a …/ … si y solo si … p ⇿ q Otros Símbolo Lectura Ejemplo Disyunción Excluyente ↮ / ≢ / ⊕ ó bien … ó bien … ↮ p ↮ q Negación conjunta ↓ ni … ni … ↓ p ↓ q

20. LÓGICA. TABLAS DE VERDAD Una tautología τ es una proposición cuyo valor de verdad es siempre verdadero V para cualquier valor de las variables que la componen. Una contradicción ƒ es una proposición cuyo valor de verdad es siempre negativo F para cualquier valor de las variables que la componen. Una contingencia en una proposición que no es ni verdadera ni falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen. Tautologías y contradicciones Puedes ver este video http://superinteresante7.wordpress.com/2011/10/16/tautologias-contradiccion-y-contingencia/

23. ALGEBRA DE PROPOSICIONES Equivalencia Lógica Dos proposiciones P(p,q,r,…) y Q(p,q,r,…) son lógicamente equivalentes, y se escribe P ≡ Q, si tienen la misma tabla de verdad. Ejemplo Las proposiciones P: ¬ (p ∧ q) y Q:( ¬ p V ¬ q) son lógicamente equivalentes pues: Por lo que escribimos que ¬ (p ∧ q) ≡ ( ¬ p V ¬ q) , conocida como Ley de Morgan . Como ejemplo la proposición “no es cierto que ‘2+2=5’ y ‘6 es primo’ equivale a decir ‘2+2 ≠5’ o ‘6 no es primo’. p q p ∧ q ¬ (p ∧ q) V V V F V F F V F V F V F F F V p q ¬ p ¬ q ( ¬ p V ¬ q) V V F F F V F F V V F V V F V F F V V V

24. LÓGICA. TABLAS DE VERDAD Ejercicio 3 Demuestra que p -> q es equivalente a ¬ p V q Solución Por lo tanto p -> q ≡ ¬ p V q, es decir, podríamos prescindir siempre del operador condicional sustituyéndolo por la negación y la disyunción. Decir “ Si estudias apruebas ” equivale lógicamente a “ no estudias o apruebas ” p q p -> q V V V V F F F V V F F V p q ¬ p ¬ p V q V V F V V F F F F V V V F F V V

26. ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES Leyes del álgebra de proposiciones NOMBRE EQUIVALENCIA Leyes de Idempotencia p ∧ p ≡ p p V p ≡ p Leyes Conmutativas p ∧ q ≡ q ∧ p p V q ≡ q V p Leyes Asociativas (p V q) V r ≡ p V ( q V r) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ ( q ∧ r) Leyes Distributivas p V (q ∧ r) ≡ (p V q) ∧ (p V r) p ∧ (q V r) ≡ (p ∧ q) V (p ∧ r) Leyes de Identidad p V ƒ ≡ p p ∧ τ ≡ p Leyes de Dominación p V τ ≡ τ p ∧ ƒ ≡ ƒ Leyes de Complemento p V ¬ p ≡ τ p ∧ ¬ p ≡ ƒ Leyes de Involución ¬ ¬ p ≡ p Leyes de Morgan ¬ (p ∧ q) ≡ ( ¬ p V ¬ q) ¬ (p V q) ≡ ( ¬ p ∧ ¬ q)

27. ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES Demostraciones de las leyes del Álgebra de Proposiciones Cualquier ley que consista en una equivalencia lógica se demuestra comprobando que las tablas de verdad coinciden. Ya probamos, en una diapositiva anterior, una Ley de Morgan. Probemos ahora la Ley Distributiva: p q r q ∧ r p V (q ∧ r) (p V q) (p V r) [(p V q) ∧ (p V r) V V V V V V V V V V F F V V V V V F V F V V V V V F F F V V V V F V V V V V V V F V F F F V F F F F V F F F V F F F F F F F F F

29. ARGUMENTOS Definición: Argumento Un argumento es una relación entre un conjunto de proposiciones P 1 , P 2 , …, P n llamadas premisas , y otra proposición Q, que denominamos conclusión . Lo denotamos por P 1 , P 2 , …, P n ˫ Q Definición: Argumento válido Diremos que un argumento es válido si P 1 , P 2 , …, P n son verdaderas implica que la conclusión Q es verdadera. Definición: Falacia Todo argumento no válido se denomina falacia .

30. ARGUMENTOS Teorema Un argumento P 1 , P 2 , …, P n ˫ Q es válido si y solo si (sii) (P 1 ∧ P 2 ∧ … ∧ P n ) -> Q es una tautología. Ejemplo: Ley del Silogismo Demostrar que si p implica q y q implica r entonces p implica r . En lenguaje simbólico sería el argumento (p -> q) , (q -> r) ˫ (p -> r) y tenemos que probar que [(p -> q) ∧ (q -> r) ] -> (p -> r) es una tautología: p q r p -> q q -> r (p -> q) ∧ (q -> r) p -> r [(p -> q) ∧ (q -> r)] -> (p -> r) V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F V F V V V F F F V F F V F V V V V V V V F V F V F F V V F F V V V V V V F F F V V V V V

36. LOGICA. INFERENCIAS Definición: INFERENCIAS Es deducir, y deducir es obtener conclusiones a partir de unas premisas. Tiene como finalidad facilitar el análisis de argumentos mediante el lenguaje simbólico y las “Reglas de la Inferencia”. Reglas de Inferencia Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llaman reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una demostración.

37. LOGICA. INFERENCIAS A continuación se cita una lista de las principales reglas de inferencia que se pueden aplicar en una demostración. a) Reglas de Adición: Con cualquier premisa o conclusión podemos formular una conclusión disyuntiva en la que uno de sus miembros sea esa premisa o conclusión. p ˆ pwq b ) Reglas de Simplificación: Las premisa o conclusiones conjuntivas pueden simplificarse en cualquiera de sus miembros. ˆ pwq P e) Reglas de Conjunción: Toda premisa o conclusión puede ser enlazada por una conjunción. p q pvr f) Reglas de Ponendo Ponens: En una proposición condicional, siempre que se afirme (Poniendo) el antecedente, podemos afirmar (Ponens) el consecuente. p÷q p q

38. LOGICA. INFERENCIAS REGLAS PRINCIPALES DE INFERENCIA LOGICA NOMBRE EQUIVALENCIA Modus ponendo ponens El condicional o implicación es aquella operación que establece entre dos enunciados una relación de causa-efecto. La regla ‘ponendo ponens’ significa, “afirmando afirmo” y en un condicional establece, que si el antecedente (primer término, en este caso p ) se afirma, necesariamente se afirma el consecuente (segundo término, en este caso q ). P 1 : p -> q P 2 : P ………… .. Q: q Modus tollendo tollens Si de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado (el efecto), eso nos conduce a negar el antecedente (la causa), puesto que si un efecto no se da, su causa no ha podido darse. P 1 : p -> q P 2 : ¬ q ………… .. Q: ¬ p Silogismo Hipotético Dados dos implicaciones, de las cuales, el antecedente de la una sea el consecuente de la otra (el mismo enunciado), podemos construir una nueva implicación cuyo antecedente sea el de aquella implicación cuya consecuencia sea el antecedente de la otra implicación, y cuyo consecuente sea el de ésta última, cuyo antecedente era consecuencia del primero. P 1 : p -> q P 2 : q -> r ………… .. Q: p -> r Silogismo Disyuntivo Dadas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una disyunción cuyos miembros sean los antecedentes de los condicionales, podemos concluir en una nueva premisa en forma de disyunción, cuyos miembros serían los consecuentes de las dos implicaciones. Lógicamente, si planteamos una elección entre dos causas, podemos plantear una elección igualmente entre sus dos posibles efectos, que es el sentido de esta regla. P 1 : p -> q P 2 : r -> s P 3 : p V r ………… .. Q: q V s Condicional como cláusula (p -> q) ↔ (¬ p ∨ q) Contrapositiva ((p -> q) ↔ (¬ q -> ¬ p)

41. LOGICA. DEMOSTRACIONES Demostración formal por contradicción El procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se realizó por el método directo con la diferencia de que las líneas iniciales de dicha demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se incluye en la demostración una línea con la negación de la conclusión. Por otro lado el objetivo de la demostración es llegar a una contradicción. La demostración del siguiente teorema por el método de contradicción es como se indica [ p ® (p Ù r) ] Ù [ (q Ú s) ® t ] Ù (p Ú s) Þ t Demostración 1.- p ® (p Ù r) Hipótesis 2.- (q Ú s) ® t Hipótesis 3.- p Ú s Hipótesis 4.- t’ Negación de la conclusión 5.- (qÚ s)’ 2,4; Modus tollens, regla 25 6.- q’ Ù s’ 5; Ley de Morgan, 6ª 7.- q’ 6; Simplificación, regla 20 8.- s’ Ù q’ 6; Ley conmutativa, 2b 9.- s’ 8; Simplificación, regla 20 10.- sÚ p 3; Ley conmutativa, 2ª 11.- p 10,9; Silogismo disyuntivo, regla 21 12.- q Ù r 11,1; Modus ponens, regla 24 13.- q 12; Simplificación, regla 29 14.- q Ù q’ 13,7; Conjunción, regla 23 15.- Contradicción. Note que juntamente con las premisas se debe incluir la negación de la conclusión. En este momento el alumno ya tiene los elementos para llevar a cabo demostraciones con el apoyo del maestro. Es conveniente plantear varios enunciados, para que el alumno los represente con simbología lógica en forma de teorema. Que ese mismo teorema lo represente con su tabla de verdad y haga la correspondiente demostración por los dos métodos antes mencionados.

42. LOGICA. DEMOSTRACIONES Ejercicio 11 Demostrar que si x 2 es impar entonces x es impar. Solución Sea p: x 2 es impar y sea q: x es impar . Queremos demostrar que p -> q Pero demostremos su contrarrecíproco, es decir, que ¬ q -> ¬ p Si q: x es impar entonces ¬ q: x no es impar ≡ x es par Si x es par es que existe un número entero y tal que x = 2 y Si x = 2y entonces x 2 = (2y) 2 = 4y 2 y entonces x 2 es un múltiplo de 4 y por tanto también un número par. Como la contrarrecíproca es verdadera, el enunciado original es verdadero también. c.q.d. ( "Como Queríamos Demostrar", véase Quod erat demonstrandum ) .

44. ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

45. ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

47. ARITMETICA BINARIA