TEMA 14.DERIVACIONES ECONÓMICAS, SOCIALES Y POLÍTICAS DEL PROCESO DE INTEGRAC...
Tema 3 Medidas De Tendencia Central
1.
2. Medidas de Tendencia Central.
Anteriormente hemos descrito cómo se agrupan los datos para poder
recabar información en torno a ellos. Sin embargo, la simple inspección
visual normalmente no basta.
Otro método para resumir información consiste en calcular un valor
(índice) que describa el conjunto de datos, un resumen numérico de las
observaciones hechas.
Éstos índices (descriptivos) resumen la tendencia central de un grupo de
puntuaciones.
Las medidas descriptivas que indican dónde se encuentra el centro o el
valor más típico de una serie de datos se denominan medidas de
tendencia central o promedios.
Las más importantes son la media, la mediana y la moda.
3. La media
Es la suma de todos los valores de una variable dividida por el número total de
observaciones de la muestra. Se representa con la misma letra que denota la
variable, en mayúsculas y con una barra horizontal encima. Su cálculo viene dado
por las siguientes expresiones:
y se deduce que..i
i
X
X X nX
n
Medidas de Tendencia Central
4. Medidas de Tendencia Central
Ejemplo: En una prueba de memoria inmediata se recoge la
variable número de palabras recordadas en una muestra de 10
sujetos
6,5,4,7,5,7,8,6,7 8.
6 5 4 7 5 7 8 6 7 8
6,3
10
i
y
X
media
n
6,3 es el valor prototípico de palabras recordadas en esta muestra. No
es un valor observado, ni tan siquiera real, porque uno no recuerda 0,3
de una palabra. Pero se acepta como válido. Es el valor centrado de
esta distribución de datos, aunque no el valor central que es [4+8]/2=6
5. La media ponderada o para datos agrupados
Se trata de una media de medias. Normalmente se aplica para datos
agrupados en intervalos en el que el número de observaciones de cada
intervalo se pondera en importancia.
1
( )i i
ponderada
X n
X
n
Medidas de Tendencia Central
1 1 2 2
1 2
ponderada
X n X n
X
n n
Si tenemos dos grupos de personas y ambos tienen distinto n es lógico
considerar el grupo con más tamaño como más importante en el cálculo de
la media.
6. Medidas de Tendencia Central
Ejemplo: se obtiene la media de palabras recordadas por niños
disléxicos agrupándose las palabras en intervalos de idéntica
amplitud…
X ni Xi niXi
10-12 4 11 44
7-9 7 8 56
4-6 10 5 50
1-3 2 2 4
23 154
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4
44 56 50 4 154
6,70
4 7 10 2 23
ponderada
X n X n X n X n
X
n n n n
7. 1. La suma de las diferencias de n puntuaciones X1, X2, .., Xn respecto a
su media vale cero:
0
0
i
i i i
i
i i i
X X
X X X X X nX
X
X n X X
n
Propiedades de la media
Medidas de Tendencia Central
8. 2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de unas puntuaciones
con respecto a su media es menor que con respecto a cualquier otro
valor (K).
2 2
i iX X X k
Propiedades de la media
Medidas de Tendencia Central
3. Si sumamos o multiplicamos una constante a un conjunto de
puntuaciones su media aritmética quedará aumentada o multiplicada
en esa misma constante.
Y
Y
i i
i i
Si X k entonces Y X k
Si X k entonces Y X k
9. Propiedades de la media
Medidas de Tendencia Central
5. La media es función de todas y cada una de las puntuaciones y variará
con que varíe una sola de ellas.
6. La media es el centro de gravedad de la magnitud medida por la
variable.
7. La representatividad de la media depende de su disparidad con la
mediana (P50).
4. Una variable definida como la combinación lineal de otras variables
tiene como media la misma combinación lineal de las medias de las
variables intervinientes en su definición.
T ... entonces
T ...
i i i
i i i
Si a V b X k Z
a V b X k Z
10. Mediana
La Mediana (Mdn o Md) se define como el valor que tiene la propiedad de que el
número de observaciones menores que él es igual al número de observaciones
mayores que él. Expresado de otra forma, es el punto medio de un conjunto de
puntuaciones colocadas por orden
Si los datos no están agrupados en una distribución de frecuencias..
Por ejemplo, en la secuencia (ordenada) 3,4,5,6,7,8,9
la mediana será 6
En la secuencia (ordenada) 2,3,4,6,7,9
la mediana será 5 (la media aritmética entre los dos valores centrales ya que n es
par)
Medidas de Tendencia Central
Cuando los datos están agrupados en frecuencias se procede calculando el P50
11. 1. No utiliza todos los elementos
2. Se puede calcular con datos ordinales
3. Menos afectada que la media por datos atípicos
4. Minimiza la suma de diferencias en valor absoluto (veremos que la
media aritmética minimiza la suma de diferencias en términos
cuadráticos)
Medidas de Tendencia Central
Propiedades de la mediana
12. 5. La suma de las diferencias (en valor absoluto) de las puntuaciones
respecto a su mediana es igual o menor que la suma de las
diferencias de esas puntuaciones respecto a cualquier otro valor.
6. Es función de los intervalos elegidos (amplitud, número y límite de
los mismos).
7. Es más recomendable que la media cuando la distribución de
frecuencias es muy asimétrica, aunque, en la práctica, su uso está
bastante poco extendido.
i i|x-Md| |x-k| ; Md k
Medidas de Tendencia Central
Propiedades de la mediana
13. La mediana es un índice alternativo a la media cuando existen casos
extremas.
Es el índice a tener en cuenta en medidas de tipo ordinal. Aunque se utiliza
con mucha frecuencia en medidas cuantitativas.
La mediana coincide con el valor del Percentil 50, del Decil 5 y del Cuartil 2
Medidas de Tendencia Central
14. Es el valor que más se repite, el más frecuente, aunque dentro de una
misma distribución de frecuencias, pueden aparecer dos o más valores
que corresponden con las frecuencias máximas.
En el conjunto de datos: 4,5,6,6,3,6,4,5 la Moda = 6
Propiedades:
1. No es necesariamente única (puede haber varias modas)
2. Es la medida de tendencia central para variables cualitativas
3. En su cálculo no intervienen todos los elementos
Medidas de Tendencia Central
La moda
16. Ident. Nombre Edad (años) Peso (kg) Altura (cm)
1 Juan 4 14,56 103
2 Alberto 5 16,35 108
3 Inés 6 18,95 113
4 Aurora 5 15,03 105
5 Rodrigo 6 17,20 110
6 Marta 7 18,60 117
7 Juana 8 20,90 121
8 Roberto 6 15,30 106
9 Silvia 7 16,82 111
10 Ana 11 42,36 140
11 Patricio 10 26,44 131
12 Andrés 9 29,55 130
Consideramos la tabla de datos
Medidas de Tendencia Central
17. La edad media es 7
Nombre Juan Alberto Ines Aurora Rodrigo Marta Juana Roberto Silvia Ana Patricio Andres
Edad(años) 4 5 6 5 6 7 8 6 7 11 10 9
Se ven las distancias entre las edades
4 6 8 10
Juan
Alberto
Aurora
Inés
Rodrigo
Roberto
Marta
Silvia
Juana
Andrés
Ana
Patricio
Medidas de Tendencia Central
18. Nombre Juan Alberto Ines Aurora Rodrigo Marta Juana Roberto Silvia Ana Patricio Andres
Edad(años) 4 5 6 5 6 7 8 6 7 11 10 9
Edad 4 5 6 7 8 9 10 11
Frecuencia 1 2 3 2 1 1 1 1
Consideramos las frecuencias de las edades
4 6 8 10
Juan
Alberto
Aurora
Inés
Rodrigo
Roberto
Marta
Silvia
Juana
Andrés
Ana
Patricio
19. 4 5 6 7 8 9 10 11
Representemos ahora las frecuencias mediante bolas rojas, y
correspondamos con los años
Medidas de Tendencia Central
20. Media 7
4 6 8 10
Juan
Alberto
Aurora
Inés
Rodrigo
Roberto
Marcela
Silvia
Juana
Andrés
Anita
Patricio
Mediana 6,5
Moda 6
Medidas de Tendencia Central
21. La media es el
punto de equilibrio
4 6 8 10
Medidas de Tendencia Central
22. La mediana muestra
el desequilibrio
cuando
se pone
6 personas
de cada lado
Medidas de Tendencia Central
