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ANOVA de dos factores de medida repetida en un solo factor o Split-plot o Mixto El Modelo En la ecuación del modelo lineal general para este tipo de diseños, tenemos el factor A completamente aleatorizado y el factor B de medida repetida, por ese motivo, se estima la componente de interacción de dicho factor con el de sujetos.
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- Supuestos. 1.- Los mismos del AVAR clásico: independencia de las observaciones, normalidad y homogeneidad de varianzas (homocedasticidad). 2.- Relación lineal entre la variable dependiente y la covariante. 3.- Igualdad de las J pendientes de regresión a una pendiente común bpara todas las subpoblaciones contrastadas. No exista por tanto interacción covariante por variable independiente Pasos a realizar en un análisis de la covarianza: 1.- Verificar la existencia de una pendiente de regresión diferente de 0: Ho: b(cov)=0. 2.- Verificar mediante el diagrama de dispersión el supuesto de linealidad de la relación entre la vd y la variable covariante. 3.- Verificar el supuesto de igualdad de las J pendientes a través de la no significación del efecto de la interacción cova x variable dependiente. 4.- Valorar los distintos efectos (principales y de la interacción) una vez ajustadas las medias del diseño a partir de la pendiente de regresión y de las medias de la variable covariante.
- El diagrama de dispersión Cavariante x Variable 	dependiente  VD VD A B Cova Cova C DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN A.- Pendiente de regresión diferente para cada grupo. Interacción cova x vi B.- Pendiente de regresión igual para cada grupo. C.- Pendiente de regresión igual para cada grupo aunque a diferente altura. Cova
En la figura A vemos que hay interacción entre la variable para la que ajustamos (covariante), y el grupo, de tal manera que en uno de los grupos la relación entre la VD y la covariante es más acusada, aumenta más rápidamente al aumentar ésta. Es decir, dicha interacción es sinónimo de pendiente de regresión desigual para los dos grupos que se contrastan. Cuando existe esta interacción la interpretación es complicada ya que puede incluso ocurrir que en uno de los grupos esa relación se invierta y que al aumentar el covariante X el valor de Y disminuya (pendiente negativa). En el análisis de la covarianza en primer lugar nos planteamos si es razonable creer que la regresión tiene pendientes diferentes en cada grupo o si por el contrario es verosímil pensar que la pendiente se mantiene constante entre los grupos, pudiendo entonces considerar una pendiente común para todos. Solo en el caso de que aceptemos esta última situación tiene sentido plantearnos si el modelo que subyace a la modelización de la VD es el de AVAR con covariante: Pendiente común a los J grupos
- La pendiente de regresión de Y sobre X  Una vez comprobado el supuesto de igualdad de pendientes entre los grupos, debemos poner a prueba la Ho de que dicha pendiente es igual a cero en la población B = 0. Si rechazamos esa hipótesis nula, es decir existe una recta de regresión de Y sobre X, calculamos cuál sería el valor de la VD previsto por la ecuación de regresión para la media global de la covariante (media calculada combinando ambos grupos), y determinamos el valor de la VD estimado a partir de la ecuación de regresión en cada grupo, este valor es lo que denominamos medias ajustadas de la VD: aquellas que obtendríamos si ambos grupos hubiesen tenido la misma media en la variable covariante. Cálculo de la pendiente de regresión común mediante el sumatorio de productos cruzados de Covariante X y V dependiente Y.
Cálculo de la media ajustada de Y a partir de la pendiente común y las puntuaciones en la variable covariante. En esta ecuación podemos observar que tanto si las J medias de la covariante son iguales como si la pendiente de regresión es cero o próxima a este valor entonces la media ajustada y la observada de la VD serán la misma o muy similares.
Anvar clasico (sin covariante) La media de VD es diferente en los dos grupos
Incluimos ahora la covariante de nombre “cova” en el análisis
Pendiente de regresión significativamente diferente de 0 Descontando el efecto de la covariante no existen diferencias en las J medias de VD Pendiente de regresión común No se rechaza Ho: B1 = B2 (Interacción VI x Cova)
- Las medias ajustadas de Y por la covariante X MEDIAS SIN AJUSTAR                                   MEDIAS AJUSTADAS  Una vez ajustadas, vemos como se han acortado las diferencias entre las dos medias contrastadas.
Diagrama de dispersión Cova x VD Pendiente de regresión igual para cada grupo
ANOVA OMNIBUS no significativo debido a la influencia de una covariante que oculta las diferencias. Efecto supresor
Pendiente de regresión diferente de 0  y efecto del factor grupo (p<.01)  Pendientes iguales
MEDIAS SIN AJUSTAR MEDIAS AJUSTADAS
Diagrama de dispersión Cova x VD Pendientes iguales aunque a diferente altura
- ANCOVA y Regresión En el tema 4 ya demostramos la equivalencia entre ANOVA y Regresión, como meras alternativas analíticas dentro del modelo lineal general. En este punto demostraremos que el contraste de hipótesis del efecto de una variable independiente sobre otra dependiente ajustada por una variable covariante de control puede e incluso debe realizarse en el contexto de los modelos de regresión. Analizaremos el primer ejemplo de este tema mediante regresión Idéntica F que la obtenida en ANCOVA en modelo corregido. E idéntico tamaño de efecto: R2
El estadístico t de la variable independiente grupo 1.792 elevado al cuadrado es exactamente el estadístico F encontrado en la tabla resumen de ANCOVA 3.2. Tanto en ANCOVA como ahora en Regresión no existe efecto de grupo (p >0.05) Vemos que la pendiente de regresión de cova = 0.439 es una pendiente significativa, lo cual implica la necesidad de ajustar las medias de la variable dependiente por esta variable covariante. Comprobemos seguidamente el supuesto de ausencia de correlación cova x vd. Para ello debemos crear una nueva variables formada a través del producto de cova x vd. Al incluir esta nueva variable producto de las otras dos, podemos valorar la significación del parámetro B asociado a esta variable de interacción bajo el supuesto de Ho: B = 0. Interacción gr x cova no significativa (p > 0.05)

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  • 1. ANOVA de dos factores de medida repetida en un solo factor o Split-plot o Mixto
  • 2. ANOVA de dos factores de medida repetida en un solo factor o Split-plot o Mixto El Modelo En la ecuación del modelo lineal general para este tipo de diseños, tenemos el factor A completamente aleatorizado y el factor B de medida repetida, por ese motivo, se estima la componente de interacción de dicho factor con el de sujetos.
  • 3. La variación total o suma de cuadrados total (SCT), en este modelo, puede descomponerse en dos partes: variación entre sujetos diferentes o suma de cuadrados intersujetos (SCInter) y variación dentro de los mismos grupos de sujetos o suma de cuadrados intrasujetos (SCIntra). En la suma de cuadrados intersujetos está presente la variación entre los niveles del factor A (SCA) y la de entre los sujetos dentro de cada grupo (SCS). La suma de cuadrados intrasujetos, a su vez, puede descomponerse en las sumas de cuadrados correspondientes al efecto del factor B (SCB), al de la interacción entre los factores A y B (SCAB) y al del la interacción entre el factor B y la variación entre los sujetos a través de los grupos (SC(BxS)). Grados de libertad
  • 5. La Tabla resumen del Anova de dos factores. ANOVA Mixto
  • 6. Anova mixto en el SPSS Seleccionamos Añadir y posteriormente Definir
  • 7. Introducir las medidas repetidas Al pulsar Post hoc, vemos que éste es exclusivamente para los efectos de la variable inter. Dado que ésta tiene sólo dos niveles, no tiene sentido su solicitud
  • 8. No rechazamos Ho de esfericidad. Luego no corregimos los grados de libertad en los efectos de la parte intra del modelo
  • 9. Medias marginales estimadas 1. recuerdo 2. Condición 3. Condición x Recuerdo
  • 11.
  • 12. El intervalo de confianza (IC) de la interacción en el ANOVA mixto
  • 13. Comparaciones de condición por cada nivel de recuerdo Comparaciones par a par de niveles de recuerdo por cada nivel de condición.
  • 14. Efectos simples. Comparaciones par a par de los 4 niveles intra en cada nivel de la inter
  • 15. Comparaciones par a par de los dos niveles inter en cada nivel de la intra (JK(K-1)/2)=4
  • 16. El Análisis de la Varianza con Covariante: ANCOVA
  • 17. ANALISIS DE LA COVARIANZA - El Modelo El análisis de la covarianza es una técnica estadística que, utilizando un modelo de regresión lineal múltiple, busca comparar los resultados obtenidos en diferentes grupos de una variable cuantitativa (VD), pero "corrigiendo“ las posibles diferencias existentes entre los grupos atribuibles a otras variables que puedieran afectar también al resultado (covariantes). Los valores de la variable dependiente Y, dependen no sólo de los componentes habituales del modelo lineal general sino que incluimos una nueva componente relativa a la variable covariante X también continua que presenta una relación lineal con Y, y una pendiente de regresión B común a los J grupos del factor A (α). El modelo propuesto, supone que en la j poblaciones de Y existirá una recta de regresión de Y sobre X con una pendiente Bj, común a los J grupos.
  • 18. - Supuestos. 1.- Los mismos del AVAR clásico: independencia de las observaciones, normalidad y homogeneidad de varianzas (homocedasticidad). 2.- Relación lineal entre la variable dependiente y la covariante. 3.- Igualdad de las J pendientes de regresión a una pendiente común bpara todas las subpoblaciones contrastadas. No exista por tanto interacción covariante por variable independiente Pasos a realizar en un análisis de la covarianza: 1.- Verificar la existencia de una pendiente de regresión diferente de 0: Ho: b(cov)=0. 2.- Verificar mediante el diagrama de dispersión el supuesto de linealidad de la relación entre la vd y la variable covariante. 3.- Verificar el supuesto de igualdad de las J pendientes a través de la no significación del efecto de la interacción cova x variable dependiente. 4.- Valorar los distintos efectos (principales y de la interacción) una vez ajustadas las medias del diseño a partir de la pendiente de regresión y de las medias de la variable covariante.
  • 19. - El diagrama de dispersión Cavariante x Variable dependiente VD VD A B Cova Cova C DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN A.- Pendiente de regresión diferente para cada grupo. Interacción cova x vi B.- Pendiente de regresión igual para cada grupo. C.- Pendiente de regresión igual para cada grupo aunque a diferente altura. Cova
  • 20. En la figura A vemos que hay interacción entre la variable para la que ajustamos (covariante), y el grupo, de tal manera que en uno de los grupos la relación entre la VD y la covariante es más acusada, aumenta más rápidamente al aumentar ésta. Es decir, dicha interacción es sinónimo de pendiente de regresión desigual para los dos grupos que se contrastan. Cuando existe esta interacción la interpretación es complicada ya que puede incluso ocurrir que en uno de los grupos esa relación se invierta y que al aumentar el covariante X el valor de Y disminuya (pendiente negativa). En el análisis de la covarianza en primer lugar nos planteamos si es razonable creer que la regresión tiene pendientes diferentes en cada grupo o si por el contrario es verosímil pensar que la pendiente se mantiene constante entre los grupos, pudiendo entonces considerar una pendiente común para todos. Solo en el caso de que aceptemos esta última situación tiene sentido plantearnos si el modelo que subyace a la modelización de la VD es el de AVAR con covariante: Pendiente común a los J grupos
  • 21. - La pendiente de regresión de Y sobre X Una vez comprobado el supuesto de igualdad de pendientes entre los grupos, debemos poner a prueba la Ho de que dicha pendiente es igual a cero en la población B = 0. Si rechazamos esa hipótesis nula, es decir existe una recta de regresión de Y sobre X, calculamos cuál sería el valor de la VD previsto por la ecuación de regresión para la media global de la covariante (media calculada combinando ambos grupos), y determinamos el valor de la VD estimado a partir de la ecuación de regresión en cada grupo, este valor es lo que denominamos medias ajustadas de la VD: aquellas que obtendríamos si ambos grupos hubiesen tenido la misma media en la variable covariante. Cálculo de la pendiente de regresión común mediante el sumatorio de productos cruzados de Covariante X y V dependiente Y.
  • 22. Cálculo de la media ajustada de Y a partir de la pendiente común y las puntuaciones en la variable covariante. En esta ecuación podemos observar que tanto si las J medias de la covariante son iguales como si la pendiente de regresión es cero o próxima a este valor entonces la media ajustada y la observada de la VD serán la misma o muy similares.
  • 23. Anvar clasico (sin covariante) La media de VD es diferente en los dos grupos
  • 24. Incluimos ahora la covariante de nombre “cova” en el análisis
  • 25. Pendiente de regresión significativamente diferente de 0 Descontando el efecto de la covariante no existen diferencias en las J medias de VD Pendiente de regresión común No se rechaza Ho: B1 = B2 (Interacción VI x Cova)
  • 26. - Las medias ajustadas de Y por la covariante X MEDIAS SIN AJUSTAR MEDIAS AJUSTADAS Una vez ajustadas, vemos como se han acortado las diferencias entre las dos medias contrastadas.
  • 27. Diagrama de dispersión Cova x VD Pendiente de regresión igual para cada grupo
  • 28. ANOVA OMNIBUS no significativo debido a la influencia de una covariante que oculta las diferencias. Efecto supresor
  • 29. Pendiente de regresión diferente de 0 y efecto del factor grupo (p<.01) Pendientes iguales
  • 30. MEDIAS SIN AJUSTAR MEDIAS AJUSTADAS
  • 31. Diagrama de dispersión Cova x VD Pendientes iguales aunque a diferente altura
  • 32. - ANCOVA y Regresión En el tema 4 ya demostramos la equivalencia entre ANOVA y Regresión, como meras alternativas analíticas dentro del modelo lineal general. En este punto demostraremos que el contraste de hipótesis del efecto de una variable independiente sobre otra dependiente ajustada por una variable covariante de control puede e incluso debe realizarse en el contexto de los modelos de regresión. Analizaremos el primer ejemplo de este tema mediante regresión Idéntica F que la obtenida en ANCOVA en modelo corregido. E idéntico tamaño de efecto: R2
  • 33. El estadístico t de la variable independiente grupo 1.792 elevado al cuadrado es exactamente el estadístico F encontrado en la tabla resumen de ANCOVA 3.2. Tanto en ANCOVA como ahora en Regresión no existe efecto de grupo (p >0.05) Vemos que la pendiente de regresión de cova = 0.439 es una pendiente significativa, lo cual implica la necesidad de ajustar las medias de la variable dependiente por esta variable covariante. Comprobemos seguidamente el supuesto de ausencia de correlación cova x vd. Para ello debemos crear una nueva variables formada a través del producto de cova x vd. Al incluir esta nueva variable producto de las otras dos, podemos valorar la significación del parámetro B asociado a esta variable de interacción bajo el supuesto de Ho: B = 0. Interacción gr x cova no significativa (p > 0.05)