El documento discute las dificultades de calcular el error en la interpolación de Lagrange y cómo los polinomios de Legendre pueden generarse de manera iterativa aprovechando cálculos previos. Luego, explica que calculará polinomios de Lagrange de distintos órdenes y combinaciones de puntos adyacentes para x=1.5 usando valores de una tabla, y define Pi,j,k(x) como el polinomio de Lagrange de orden 2 que pasa por los puntos xi, xj y xk.

1. Una de las dificultades de la interpolación de Lagrange, es que el error
es difícil (o imposible) de calcular. La forma habitual de trabajar es ir
incrementando el orden de los polinomios, hasta que se obtiene un
valor deseado. Sin embargo, cada cálculo es independiente del previo,
perdiéndose contacto entre uno y otro. Los polinomios de Legendre
también se pueden generar aprovechando los cálculos previos, en
forma iterativa.
Calcularemos, usando los valores dados en table.dat, los polinomios
de Lagrange de distinto orden y con distinta combinaciones de puntos
adyacentes, para x=1.5. Llamaremos Pi,j,k(x) al polinomio de Lagrange
de orden 2, que pasa por los puntos adyacentes x=xi, x=xj y x=xk. Se
puede demostrar que el polinomio de Lagrange que pasa por los
puntos adyacentes x=xi, x=xj, x=xk y x=xl se obtiene haciendo: