1. 4.2.2 Método de Simpson
Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más
finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una
integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los
puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio extra entre f (a) y f (b),
entonces se pueden conectar los tres puntos con una parábola (Fig.
13.11a). Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f (a) y f (b),
entonces los cuatro puntos se pueden conectar con un polinomio de
tercer orden (Fig. 13.11b). A las fórmulas resultantes de calcular la
integral bajo estos polinomios se les llama reglas de Simpson.
Regla de Simpson de 1/3
La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye un
polinomio de segundo orden en la ecuación (13.1):

2. Si a y b se denomina como x0 y x2, y f2 (x) se representa mediante
un polinomio de
Después de integrar y de reordenar términos, resulta la siguiente
ecuación:

3. FIGURA 13.11 a) representación gráfica de la regla de Simpson de 1/3:
consiste en tomar el área bajo una parábola que una los puntos, b)
representación gráfica de la regla de Simpson de 3/8: consiste en
tomar el área bajo una ecuación cúbica que conecta 4 puntos.
Lagrange de segundo orden [Ec. (11.22)], entonces la integral es:

4. [13.14]
donde, en este caso, h — (b — a)/2. Esta ecuación se conoce como
regía de Simpson de 1/3. Esta es la segunda fórmula de integración
de Newton-Cotes. La etiqueta "1/3" viene de que h se divide por 3
en la ecuación (13.14). En el recuadro 13.3 se muestra una
derivación alternativa en donde se integra el polinomio de Newton-
Gregory y se obtiene la misma fórmula.
La regla de Simpson de 1/3 se puede expresar usando el formato de
la ecuación (13.5):
[13.15]

5. en donde a = x0, b = x2, y x1 es el punto medio entre a y b, dado por
(b + a)/2. Nótese que de acuerdo a la ecuación (13.15), el punto
medio se pesa con dos tercios y los dos puntos extremos con 1
sexto.
Se puede demostrar que una simple aplicación de la regla de Simp-
son de 1/3 tiene un error de truncamiento de (recuadro 13.3):

6. BECUADRO 13.3 Obtención y estimación del error de la regla de
Simpson basado en el polinomio de Interpolación hacia adelante de
Newton-Gregory.

8. o, ya que h = (b — a)/2:
[13.16]
en donde £ cae en algún lugar dentro del intervalo de a a b. Por lo
tanto, la regla de Simpson de 1/3 es más exacta que la regla
trapezoidal. Sin embargo, la comparación con la ecuación (13.6)
indica que es mucho más exacta de lo que se esperaba. En vez de
ser proporcional a la tercera derivada, el error es proporcional a la
cuarta derivada. Esto se debe a que, como se mostró en el recuadro
13.3, los coeficientes del término de tercer orden se anulan durante la
integración del polinomio de interpolación. En consecuencia, la regla
de Simpson de 1/3 es exacta hasta tercer orden aunque esté basada
únicamente en tres puntos.

9. Aplicación de la regla Simpson de 1/3 simple.
Enunciado del problema: utilícese la ecuación (13.15) para integrar
/(x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5
desde a = 0 hasta b = 0.8. Recuérdese que la integral exacta es
1.640 533 34.
Solución:
/(O) = 0.2 /(0.4) = 2.456 /(0.8) = 0.232 Por lo tanto, la ecuación
(13.15) se puede usar para calcular
que representa un error exacto de

10. que es aproximadamente cinco veces más exacto que el de una
aplicación de la regla trapezoidal (Ej. 13.1). El error estimado es [Ec.
(13.16)]
en donde —2 400 es el promedio de la cuarta derivada en el intervalo
obtenido usando la ecuación (V.3). Como fue el caso del ejemplo
13.1, el error es aproximado (Ea) porque el promedio de la cuarta
derivada no es una estimación exacta de /4 (£). No obstante, ya que
en este caso se trata con polinomios de quinto orden, la discrepancia
no es mayor y los errores exacto y aproximado son casi idénticos.