1. Universidad de La Serena
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas
GUÍA DE EJERCICIOS PLAN REMEDIAL 2012
Números y Proporcionalidad
Operatoria en Z, Q, IR:
1) a) Si a es un número natural , ¿cuál es la relación entre las fracciones
3 3 3
p= , t= y r= ?
a a −1 a +1
b) ¿ Cuál es el valor de ( 30 + 5 )2 – ( 30 + 5 ) ( 30 – 5 )?
6
c) ¿ Cuál de los siguientes números son racionales p = 2⋅ 8, q = 3 + 3 3, r = ?
24
d) Si n = 2 y m = -3 , ¿ cuál es el valor de – nm – ( m + n )?
e) Ordene los números: m = 4,51 · 10-6 ; n = 45,1 · 10-5 y p = 451 · 10 -7 de menor a mayor.
f) ¿Cuáles números naturales dividen al producto de tres naturales consecutivos?
2) Resuelva ordenadamente cada uno de los siguientes ejercicios, teniendo cuidado con la prioridad de la
operatoria y paréntesis:
a) [ ( -27 + 15 ) · 2 - 2 ] · -6 + 18 = b) [ 121 : ( 44 : -4 ) + 17 ] · -6 + 9 =
c) { 121: (-45 : -9 + -3 · -2 ) }· -3 + 3 = d) {[( -25 - -40) · -2 + 6 ] ·4 + 11} · -3 +15=
4  2 1 5  4 −2  4
e) −  − : = f)  + : + 1 =
5  3 2 6  18 27  54
 1 2 2 4
g)  5 −  : 3 + 3 = h) + −5 =
 6 3 3 1
2+
4
121 48 −27 13 25 4 9
i) ⋅ ⋅ −1= j) : + : =
108 66 44 39 35 16 27
1 2
1+ 1+
k) 1+ 2 = l) 3 + 3 =
1 2
1+ 1+
1+ 2 3+ 3
2 3
m) 0,00278 · 1000 – 4,5 = n) 19,17 : 1000 - 3,201 =
0,08 ⋅ 1600000 0,0001 ⋅ 54 ⋅ 10 29 ⋅ 210 ⋅ 10−3
ñ) = o) =
0,0004 ⋅ 0,032 27 ⋅ 10−1 ⋅ 0,0042
3) Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios, exprese en la forma más simple posible y calcule su valor
numérico si es posible:
 1 
( )= ( )
2
a) 2 + 3 − 2 b) 1 − 18  2 + =
2
c) 5 4 + 3 3 40 =
3
d) 16ab 2 + 3 250ab 2 − 36 4a 2b 4 =
3
5 3 27 3
e) + = f) ⋅ =
1 − 2 1+ 2 2 −1 1+ 2
( )= 1− 3 3 +2
2
g) 2 3 −2 − 2 3+2 h) − =
3 3
( ) ( )( )
2
i) 9 18 − 3 50 − 4 72 = j) 1+ 2 + 5 1 − 5 + 2 =
k) ( 2 + )+ l) ( + 2 ) 11 − 6
2
18 6 7−4 3 ⋅ 7+4 3 = 3 2 =
m) 5⋅ 8 3 + 8⋅ 16 0,75 − 4⋅ 251,5 = a3 · 6 a ·
2 3 4
n) a=
1

2. Potencias:
1) Exprese en la forma más simple cada una de las siguientes expresiones, aplicando las propiedades de las
potencias y calculando su valor si es posible:
 2 −1 5−1 + 3−2
a)   + ( 4 ) + ( 1 ) =
−2 −1
21 15 b) =
 3  5 −1
 
 6
125 8 ⋅ 625− 3 16 ⋅ 8 4
5
( )
−1
c) d) + 0,6 =
25 5 32 6
 1  1  2  1 3 −2 −3  2 − 2
e)  −   +   −1 = f) (0,4) + ( −1) −  =
931
2  2  2
 
  3
 81 − 8  16 − 8
  0,0132 − 4   ⋅ 
5,04 
3
 64   27 
g)   ⋅ 0,001⋅   = h) +1,6 =
 0,000504   0,000132   4 6
 
 3
1
9 n ⋅ 32 ⋅ −n − 27
n
 n −n  2
i) 3 = j) 9 2 + 9 2  − 32n − 3−2n =
3 ⋅9
3n  
 
2) Aplicando propiedades de potencias, exprese cada uno de los siguientes ejercicios en la forma más simple:
a) 2 · 4n · 8-3n = b) ( na + 1 – 2 na – 2 + n-3 ) · 3na + 3 =
c) { a8 : ( a4 : a-3 ) } : a-4 = d) 16 2 – 3x : 8 1 – 5x =
 a 4 b 5 m 4 n 7 3 a 8b 9
e)  3 2 : 5 −2  : 12 14 = f)
( )
9 n ⋅ 3 n −3
4
3
⋅ −n =
1− n
m n a b  m n 27 ⋅3 81 2
Proporcionalidad Directa e Inversa:
1) Define con tus propias palabras proporcionalidad directa (cuida tu redacción y ortografía).
2) Escribe 5 ejemplos de proporcionalidad directa.
3) Dos amigas tienen una amasandería y venden pan integral (entre otros productos). Ellas saben que 1 kg. de
harina les rinde para hacer 1,250 kg. de pan. ¿Cuánta harina necesitan para hacer 30 Kg de pan? ¿Hay alguna
proporción entre la cantidad de harina y los kilos de pan?
4) Identificar cuáles son las variables involucradas en el siguiente problema: En una fiesta de colegio se van a
comprar bebidas y tortas. Los organizadores estiman que una bebida alcanza para 4 personas y una torta
alcanza para 15 personas. ¿Cómo averiguar cuántas bebidas y tortas comprar?
5) De acuerdo al ejercicio anterior expresar mediante fórmulas cuántas bebidas y cuántas tortas se debe
comprar. Para esto considerar que a la fiesta irán N personas.
6) Un automóvil rinde 15 km/litro de gasolina. Si en el estanque había 23 litros de gasolina y hemos recorrido
en un viaje 90 km., ¿cuánta gasolina nos queda?
7) Si un pantalón cuesta 17.500 pesos y nos hacen un descuento del 20%, ¿cuánto debemos pagar?
8) Para hacer arroz con leche para 6 personas se necesitan 2,5 litros de leche y ¼ kg. de arroz. ¿Qué cantidades
se necesitarán para 13 personas?
9) Si el precio de un kilo de nueces fue de $4.250 la temporada pasada y ahora subió un 22,5 %, ¿cuánto debo
pagar ahora?
10) Si 12 litros de pintura cuestan $15.000, ¿cuánto costarán 9 litros?
11) Si 20 mecánicos arman 8 máquinas en un día. ¿Cuántos mecánicos se necesitarán para armar en un día 12
máquinas?
12) En un establo con 50 animales, el alimento dura 18 días. ¿Para cuantos días alcanzaría la misma cantidad
de alimento si los animales fueran 60?
13) Un grifo que da 0,9 litros de agua por segundo llena un estanque en 14 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría en
llenarlo un grifo que da 0,6 litros por segundo?
2

3. 14) Si X es inversamente proporcional con Y; y además X = 8 cuando Y = 0,5. Calcular X cuando Y = 5.
15) Define con tus propias palabras proporcionalidad inversa (cuida tu redacción y ortografía).
16) Escribe 5 ejemplos de proporcionalidad inversa.
17) Si 4 hombres necesitan 20 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 16 hombres para realizar el
mismo trabajo?
18) Una piscina se llena en 14 horas empleando un grifo que arroja 180 litros de agua por minuto. ¿Cuánto
tiempo tardaría en llenarse la piscina si el grifo arroja 360 litros por minuto?
19) Si un vehículo demora 5 horas en llegar a su destino a una velocidad de 80 km/h, ¿cuánto demora a 120
km/h?
20) Si entre tú y una amiga demoran 30 minutos en tomarse un litro de chocolate, ¿cuánto demorarías tú
solo(a)? ¿Cuánto demorarían entre tres?
21) Suponer que G y H son variables con constante de proporcionalidad inversa 20. ¿Qué pasa con G si H
aumenta al doble? ¿Y si disminuye a su tercera parte?
22) En el curso van a organizar una gran rifa, a fin de juntar dinero para un paseo de fin de año. Se necesita
juntar $100.000 para el paseo. Además, van a gastar $20.000 para comprar los premios. ¿Cuántos números de
rifa deben vender, y a qué precio será cada número? ¿Cuántos números de rifa se deben vender para que cada
número cueste $100?
23) Indica cuáles de los siguientes pares de variables son inversamente proporcionales, y cuáles no lo son:
a) Números de boletos vendidos en una rifa; total recaudado por la venta de los números.
b) Velocidad para recorrer una distancia; tiempo en recorrerla.
c) Distancia recorrida por un avión; combustible utilizado por el avión.
d) Cantidad de insecticida usado para combatir una plaga de mosquitos; mosquitos que sobreviven.
e) Varios amigos desean juntar un cierto capital para iniciar una mini empresa: número de amigos; capital que
pondrá cada uno.
f) Número de cuotas para pagar una deuda de $500.000; valor de cada cuota.
24) Si un maestro demora 1 día en pintar una habitación, ¿cuánto demoran 2 maestros en pintar 5
habitaciones? ¿Cuántos maestros necesito, si quiero pintar esas 5 habitaciones en un día?
25) Los números 4 y 5 tienen razón inversa 20. ¿Qué número tiene esta misma razón inversa con 6?
26) Encontrar 10 pares de números que tengan razón inversa 36.
27) Un club social organiza una carrera de larga distancia en la cual hay que inscribirse pagando $2.000. La
mitad de lo recaudado será repartido entre todos los que demoren menos de 1 hora en recorrer la distancia
fijada. ¿Cuánto se llevará de premio cada uno de los que demore menos de 1 hora?
28) Rocío ha comprado una grabadora portátil que cuesta $120.000. La pagará en cuotas y no le cobrarán
intereses. Escribe una fórmula que relacione el número total de cuotas N con el valor V de cada cuota. Si no
desea pagar más de $25.000 por cada cuota, ¿cuál es el mínimo de cuotas que deberá pagar?
29) Para alimentar 12 caballos durante 20 días se necesitan 174kg de alimento. ¿Cuántos kilos de alimento se
necesitarán para alimentar 15 caballos durante 40 días?
30) Con 14 rollos de papel mural de 60 cm de ancho, alcanzan para cubrir una pared de 72m2. ¿Cuántos rollos
de 50 cm de ancho se necesitarán para empapelar 75 m2 de pared?
31) Un caminante recorre 120 km andando 8 horas diarias durante 5 días. ¿Cuántas horas diarias tendrá que
caminar para recorre 192 km en 12 días?
3

4. Geometría
Ángulos en la circunferencia:
1.- En la figura, los diámetros AC y BD se intersecan en P. Si m ∠ABC = 40,
determinar la medida en grados de cada uno de los arcos menores de la circunferencia.
2.- Dos puntos de una circunferencia determinan un arco menor y un arco mayor. Si la medida del arco mayor
es 40 grados menos que 4 veces la medida del arco menor. Determinar la medida en grados de cada uno.
3.- En la figura, KS es tangente a la circunferencia en T y la secante KR
contiene al punto P, centro de la circunferencia. Si m ∠ K = 35, determinar
la medida del arco QT y m ∠ STR.
4.- En la figura, AB es tangente a la circunferencia. Si las medidas de los
arcos BD es 128º, DE es 38º y CE mide 104º, ¿cuáles son las medidas de los
seis ángulos.
5.- En la figura, si m ∠ M = 75, la medida del arco MK es 90º y la medida del
arco GH es 70º, determinar las medidas de todos los ángulos.
Elementos del triángulo:
1.- Demostrar que la mediana o transversal de gravedad correspondiente a la base de un triángulo isósceles es
perpendicular a la base y biseca al ángulo opuesto de la base.
2.- Demostrar que en un triángulo isósceles, las bisectrices de los ángulos en la base son congruentes.
3.- Demostrar que, las medianas o transversal de gravedad correspondiente a los lados congruentes de un
triángulo isósceles son congruentes.
4.- Demostrar que las alturas de un triángulo equilátero son congruentes.
5.- Demostrar que el perímetro de un triángulo es mayor que la suma de las longitudes de las tres alturas.
6.- En un triángulo equilátero, se dibujaron una mediana o transversal de gravedad, una bisectriz de un ángulo
y una altura, desde vértices diferentes. ¿Qué relación hay entre sus longitudes?. Justifique.
Teorema de Pitágoras:
1.- En un triángulo rectángulo ∆ ABC, c es la longitud de la hipotenusa, a y b son las longitudes de los catetos.
a) Si a = 13 unidades y b = 16 unidades, entonces c = ¿?
b) Si a = 24 unidades y c = 25 unidades, entonces b = ¿?
c) a) Si a = 13 unidades y b = 16 unidades, entonces c = ¿?
d) Si b = 18 unidades y c = 20 unidades, entonces a = ¿?
e) Si a = 7 unidades y b = 7 unidades, entonces c = ¿?
f) Si a = 6 unidades y c = 12 unidades, entonces b = ¿?
2.- La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 17 centímetros y la de uno de sus catetos es 15
centímetros. Calcular el área del triángulo.
3.- Los lados de un triángulo miden 6 centímetros, 9 centímetros y 11 centímetros, respectivamente. ¿Es éste
un triángulo rectángulo? Si lo es, ¿cuál de los lados es la hipotenusa?
4

5. 4.- En el ∆ ABC, el ∠ C es un ángulo recto, AC = 20pulgadas y BC = 15
pulgadas. Determinar: Área del ∆ ABC, AB, altura correspondiente a la
hipotenusa.
5.- Las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo son 24 y 32 unidades. Determinar la longitud de la
altura correspondiente a la hipotenusa.
6.- Una mediana o transversal de gravedad de un triángulo equilátero mide 17 pulgadas de largo. Determinar
el área del triángulo.
Álgebra
Operatoria Algebraica:
1) Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios, expresando sus resultados en la forma más simple:
a) 22b – [ 8a + { 41b – ( 56a - 31b ) } ] = b) -( 9y -23b) - [ 42y - ( 33b - 21y ) + 18b] =
c) ( 17x – 8a ) – [ 23x – ( 14a - 19x) + 31a ]= d) 4 –{51x – (15y + 23x) + [8y + (41 + 26x)]}=
e) {2 (3 a – 7b) – 3 (4 a – 3b)}· (2 a – 5b) = f) ( 2 + 4x - 6x2 )( 3 - 6x + 2x2 ) =
 2m 3n  3
2
g) 3( 2x – 3) + 4(5x – 1)(5 x + 1) + 2(2x + 1)(3x – 2) = h)  +  =
 3 2
i) 5 ( x + 4 ) ( x – 4 ) + 6 ( x + 5 ) ( x – 4 ) + 2 ( 2x – 1 )2 + 3 ( 1 + 2x ) ( 2x – 1 ) =
j) 3 ( x – 1 )3 + 2 ( 2x – 3 )3 – ( 4x3 – 5x2 + 11x – 36 ) =
k) 24x – { - ( 4x –11y ) + ( 21y – 2x ) – 6x } + 31y + [ 19x – { 28y – ( 14x – 51y ) } ] =
Factorización:
1) Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:
a) a2 + a - ab - b = b) 2x3 – 2x2 – 60x =
c) x4 - 5x2 - 36 = d) 9n2 + 4a2 - 12an =
e) 42n + n2 – n3 = f) 2x5 - 72x =
g) 64 - x8 = h) x3 – 6x2 – 7x =
i) (a + 1)25x2 - (a + 1)30x + 9(a + 1)= j) 4(a + 2)2 - 1 =
k) 12x3 – 10x2 – 12x = l) 20 a2 + 7 a – 40 =
m) 27 b3 + 64 = n) 5 – 5 x9 =
ñ) 12a3 - 111a2 - 90a = o) 4a4 – 17a2 + 4 =
p) 120 a + 52 a2 – 12 a3 = q) 6ab2 + 31ab – 30 a =
2) Simplifique cada una de las siguientes expresiones:
49x 2 −25 x 2 − 3x −28
a) = b) =
49x 2 + 70x + 25 x 2 − x − 20
3x 2 −13x + 4 x 2 + 3x −10
c) 2 = d) =
x − 7x +12 ax − 2b + bx − 2a
2x 2 −18x + 40 15xy − 5y
e) = f) =
3x 2 − 48 9x 2 − 6x +1
5

6. n 3 + n 2 − n −1 2x 3 −2x 2 y − 4 xy 2
g) = h) =
n 3 − n −2n 2 +2 3x 2 y − 9xy 2 +6y 3
(x
)( 2
− 4 x 2 + x −12 ) =
x 4 −13x 2 + 36
(x + 2x − 8)(x ) (x )( )
i) j) =
2 2
− 7x +12 2
+ 5x + 6 x 2 − 5x + 6
3) Resuelva cada una de las siguientes expresiones, simplificando según sea posible y expresando su resultado
en la forma más simple:
 2x −1   2 x −1  x  y  y2 
a)  x − 2  :  x +1 − = b) 1+  ⋅ 1 −  ⋅ 1+ 2 =
 x + 2  x   y  x  x − y2 
 1   1   x y  x
c) 1+  : 1+ 2  = d)  −  : 1+  =
 a −1  a −1  y x  y
5
a −1 −  10   2 
e) a+3 = f)  x − 6 −  :x + 2 − =
a+5 −
35  x + 3  x + 3
a+3
2x +1 x 3 −1 2  b a   1 1 
g) − ⋅ 2 = h)  − 2  : + =
x+3 x x + x +1  a 2 − b 2 a + ab   a + b a − b 
x  a−b a+b a 1 1 
i) 1 + = j)  + − : −
2  =
x  a + ab ab + b   b a + b 
2
1− ab
1
1+
x
6x + 7 x − 10
2
2 9
k) l) −
6x 2 + 13x − 15 3x + 1 (3x + 1) 2
a −1 a − 2 a 2 + 2a − 7 x3 −8 x
m) − + n) :
3a + 3 6a − 6 9a 2 − 9 x −4 x+2
2
( a + b ) 2 a 2 +b 2
⋅
a3 a+3 a −1 (a − b) 2 a 2 − b 2 a+b
ñ) + − o) 2 ÷
a3 + 1 a2 − a + 1 a +1 a +b 2
a−b a−b
⋅ 2
a −b a − b 2
4) Demostrar las siguientes igualdades:
 x − y x + y   x2 + y2  xy x+ y
a) 
 +   2 xy +1 x 2 + y 2 = x − y
 
x+ y x− y 
x+5 − x−5 x − x 2 − 25
b) =
x+5 + x−5 5
2 − 2b 2 − 2b
1+ + 1−
(b − 1) 2 + 1 (b − 1) 2 + 1
c) = 1− b
2 − 2b 2 − 2b
1+ − 1−
(b − 1) 2 + 1 (b − 1) 2 + 1
Ecuaciones de primer y segundo grado:
1) Determine la solución de cada una de las siguientes ecuaciones en IR:
x −1 2x − 3 x +10
a) − −5 = b) ( x – 2 )2 – ( 3 – x )2 = 1 ( 3 )
6 8 4
c) (7x – 3) – 2{ 4x – 7(2 - 3x) – 11x} = 4 – 11x d) 16 – 2(3x–2)(2x–1) = 20– 3(2x+1)(2x – 5)
2x − 3 15 4 x −1 1
e) (3x – 2 )2 - 9 ( 7 – 2x + x2 ) = - 1 – 5x f) 3(x −1) − + = +x+
4 6 3 12
g) x 2 +7x+12
3x−1
= 1
2x+6 + 7
6x+24 h) x 2 +3x−28
2
− x 2 +12x+35 =
5 3
x +x−20
2
6

7. i) 4 · 8 2x + 3 = 32 1 – 3x j) 3x – 2 + 3x + 1 – 2 · 3x = 30
( )
3x − 7
: (2,5) = (0,4 )
1 2−5x 3− x
k) 6 4 2
2) Resuelva ordenadamente cada una de las siguientes ecuaciones, puede aplicar las factorizaciones , la
fórmula de la ecuación de 2º grado o incógnita auxiliar:
1 1 6
a) x + =2 b) x + 2 − =1
x 2 x+2
6 x −4
c) 2x −1 + x+3 = 3 d) =
x+4 0,5
2 − x  2
2 − x
e) 32x+3 − 55 = 28⋅ 3x − 2 ( ) f)   =8
 x + 3
 − 15
 x + 3
4
g) ( x + 4 )2 + ( x – 3 )2 = ( x + 5 )2 h) x − 7 + = 2x + 9
x −7
i) x4 + 4ab x2 – ( a2 – b2 ) = 0 j) 4x2 + m2 = 4m x + n2
(
k) t 2 x− 3 )x
( )
: t 3 = t x− 2 x+ 2
( )
l) x + x + 1 =
2
x+ x
m) x + 4x + 1 = 5 n) 2 x − 1 + x+3 =3
4
o) x + =5 p) x x + 8 = 2 x
x
q) 2 x + 4 x − 3 = 3 r) 3 x + 1 − x + 4 =1
Problemas que involucran ecuaciones:
1) Resuelva los siguientes problemas:
a) ¿Cuál es el número de tus discípulos? Se le preguntó un día a Pitágoras. “ La mitad, respondió él, estudian
Matemáticas, un cuarto los misterios de la Naturaleza, un séptimo meditan en silencio y además hay tres
mujeres” . ¿Cuántos discípulos varones más que mujeres tenía Pitágoras?
b) La suma de tres números impares consecutivos es 57¿Cuál es el producto entre el mayor y el menor de los
números?
c) En un triángulo isósceles el ángulo basal tiene 18º más que el ángulo menor ¿Cuánto mide el ángulo
exterior basal?
d) La suma de un número con su tercera parte es igual a su diferencia con cuatro.¿Cuál es el número?
e) La distancia recorrida por un tren es seis veces la distancia recorrida por un camión. Si la distancia total
recorrida por ambos es de 700 km, ¿cuánto recorrió el camión?
f) La edad de Juan es el triple que la de Felipe y dentro de 20 años será el doble. Hallar la edad actual de Juan.
g) de acuerdo con un testamento, una herencia se repartirá entre dos nietas y dos instituciones de caridad. Las
dos nietas, Daniela y Macarena, deben recibir el doble de lo que obtenga cada una de las instituciones de
caridad, la Cruz Roja y el Hogar de ancianos Atardecer. Si la herencia es de $240.000.000, ¿cuánto recibirá
cada nieta?
h) Dos números suman 21. Dividiendo el mayor por el menor se halla por cuociente 3 y por resto 1. ¿Cuáles
son estos números?
i) Se reparten $180.000 entre A, B y C de modo que la parte de A sea la mitad de la de B y un tercio de la de
C.¿Cuánto recibe B?
j) Dos ángulos son suplementarios. Si el doble del menor excede en 45º al mayor, ¿cuánto mide éste último?
k) Encuentra dos números pares consecutivos cuyo producto sea 4.224.
l) Si el número de diagonales de un polígono es 54,¿cuántos lados tiene el polígono?
m) La diagonal de un rectángulo mide 10cm y su área 48 cm 2 . ¿Cuáles son las medidas de los lados de el
rectángulo?
n) La suma de las áreas de dos cuadrados es 170 cm 2 y la suma de sus perímetros es 72 cm. ¿Cuánto miden
sus lados?
ñ) Encuentra un número real positivo tal que tres veces su cuarta potencia más siete veces su cuadrado sea
igual a 76.
o) Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son los
números?
26
p) La suma de un número con su inverso multiplicativo es , calcula el número.
5
7

8. q) Determina dos números si su diferencia es 6 y la de sus cubos es 504.
25
s) ¿Cuál es el número racional que sumado con su recíproco es igual a ?
12
2) Plantee la ecuación o sistema que representa al enunciado y resuelva:
a) Encuentra la fracción igual a 0,6 si la suma de los cuadrados del numerador y del denominador es 306.
b) El área de un rectángulo es 120 cm2 y su diagonal mide 17 cm. Calcula el perímetro del rectángulo.
c) Calcula el área de un rectángulo si su perímetro mide 68 cm y su diagonal , 26 cm.
d) La diferencia de dos números es 7 y la suma de ellos multiplicada por el número menor es 184. ¿Cuáles
son los números?
Sistemas de ecuaciones:
1) Determine la solución, si existe, de cada uno de los siguientes sistemas:
5y −1 2x +1
y(x −1) − x(y − 2) = 3 = −2
9 3
a) b)
x(y − 3) − y(x + 5) = 2 4 x − 2 y + 28
= −1
7 10
y(x − 4) = x(y − 6) x−y
= 2x −1
7
c) 5 11 d)
− =0 y −8
x − 3 y −1 2x − =x
2
4
2 x −3 + = −1
2y + 1 3⋅ 2 x − 5 y = 14
e) f)
5 x −3 −
3
= 8 5⋅ 2 x + 7 y = 54
2y + 1
6 5
− =2
5x − 3y 3x + 2 y 3x + y = 6
g) h)
4 15 x 2 + y 2 = 18
+ =5
5x − 3y 3x + 2 y
xy = 6 3x + 5 y = 4
i) j) ¿ Para qué valor de a el sistema tiene solución ?
3x 2 − 2 y 2 = 19 (2 a − 3) x − 3y = 1
Racionalización:
1)Racionalizar los denominadores:
3 a 5− 3
a) b) c)
4
12 a− b 1− 3 5
4 7+2 5 5
d) e) f)
3− w 7−2 5 2 3+4 2+ 7
4
t −4 2 3 a 2 + 5a − 5b − ab
g) h) i)
t +2 5− 2+ 3 a+ b
Logaritmos:
1) Determine el valor de cada una de las siguientes expresiones, indicando sus resultados parciales:
3 2
a) 3log 0,2 125 − 4 log 3 3
81 = b) log 81 27 + log 27 81 =
4 3
10 ⋅ log 32 16 8 ⋅ 32
3
c) = d) log 4 =
12 ⋅ log 8 32 − log16 8 128−2
2) Encuentre el valor de x en:
a) log 2 128 = x b) log x 0,4 = −2
3
c) log 4 4 3 16 = x d) log 1 x=− 9
2
3
5
3) Descomponga cada una de las expresiones como sumas y/o restas de logaritmos de números primos, sin
8

9. exponentes:
3
72
a) log 96 · 37 = b) log =
30 4
4) Encuentre el(los) valor(es) de x en las siguientes ecuaciones:
a) log ( x2 – 18 ) = log 3 + log x b) log 2 {log 3 [log 2 (4x + 1)]} = 1
= −8
log x
c) log x log x d) 3 · 45x+1 = 7
e) 4 · 53x – 1 = 61 – 2x
5) Determine :
log 5 81
a) b) 6 2 log 6 5
log 5 27
c) log(10a), si log(a) = x d) log 3 p, si log p = x
a
e) log , si log a = m y log b = n f) log(x), si log 5 x 2 = 0,4
b
g) x, si log 2 (5x − 3) − 1 = log 2 x (
h) el desarrollo de log x 2 − 7x + 10 )
i) log x y ⋅ log y z, expresado como un solo logaritmo. j) el valor de log2 9 ⋅ log3 8
6) La variación de la masa de cierta cantidad de Carbono-14, a través del tiempo puede calcularse por la
función M (t) = Mi · e0,886 t donde Mi ( en gramos) es la masa inicial , t (en miles de años) es el tiempo
transcurrido y M (en gramos) es la masa de carbono que queda como consecuencia de la desintegración
radiactiva. Utilizando esta fórmula se puede calcular la edad aproximada de cualquier fósil. Supongamos que
se halló un fósil con 100 g de Carbono-14 y se sabía que cuando estaba vivo, contenía 200 g de Carbono-14.
¿Cuántos años de antigüedad tiene el fósil?
n
 t 
7) La fórmula de interés compuesto es C f = C i ⋅  1 +  siendo Cf el capital final, Ci el capital inicial, t
 100 
la tasa de interés del periodo y n el número de periodos de capitalización. Determine el número de períodos
que se debe depositar un cierto capital C, para que al 4% anual de interés permita duplicar el capital inicial.
9

10. Anexo
Definición:
b n = a ⇔ log b a = n ; con a > 0 ; 0 < b, b ≠ 1
Casos especiales
log10 a = log a log e a = ln a
Propiedades de Potencias Propiedades de logaritmos
para a > 0, b > 0 para b > 0, b ≠ 1
b = b ⇔ x = y ; con b ≠ 1
x y log b x = log b y ⇔ x = y
b x ·b y = b x + y log b ( xy ) = log b x + log b y
b x : b y = b x− y log b ( x : y ) = log b x − log b y
(b x ) y = b xy log b ( x n ) = n · log b x
a x ·b x = (a b) x log b a = (log c a ) : (log c b) ; con c > 0, c ≠ 1
a x : b x = (a:b) x log b b =1
b0 = 1 log b 1 = 0
Importante
( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
( a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc
( a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
( a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
a3 − b3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
a 3 + b3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
= a
a2
( a + b) n ≠ an + bn
a+b ≠ a+ b
Bibliografía de apoyo para ejercicios de reforzamiento:
Lehmann, Charles. Álgebra. Limusa. México. Año2008.
Baldor, Aurelio. Álgebra. Compañía Cultural Editora y Distribuidora de Textos Americanos.
Venezuela. Año 1990.
Baldor, Aurelio. Aritmética Teórico-Práctica. Cultural. VMéxico. Año 2000.
Swokowski, Earl. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. International Thomson Editores.
Año 1998.
Moise, Edwin. Geometría. Fondo Educativo Interamericano. Colombia. Año 1972.
Pröschle, Francisco. Álgebra. Ediciones Ceres. Chile. Año 1930.
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