1. ESCUELA POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI
ESCUELA POLITÉCNICA DEL LITORAL
CURSO PARA DOCENTES DE MATEMÁTICA QUE LABORAN
EN EL SISTEMA DE NIVELACIÓN
INSTITUCIÓN AUSPICIANTE: SENESCYT
INSTITUCIÓN EJECUTANTE: Escuela Politéncnica del Litoral
FACILITADORA: Ing. Margarita Martínez, MsC.
TRABAJO: Plan de clases
TEMA: Teorema del Binomio
ELABORADO POR: Iván Quinteros C.
Tulcán, 5 de enero de 2013

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PROTOCOLO DE PLAN DE CLASE – GESTIÓN DEL APRENDIZAJE
DATOS INFORMATIVOS:
NOMBRE DEL DOCENTE: Iván Quinteros C.
UNIDAD DE ANÁLISIS: Números Reales
TEMA Teorema del Binomio
PROPO-
Dado un binomio de la forma , con , números reales y , utilizar las propiedades de los exponentes y el análisis combinatorio a fin de obtener su desarrollo para cualquier .
SITO
SABER definiciones de: INDICADORES DE LOGRO
CONCEPTOS DESARROLLADOS
Inducción matemática ▪ Obtiene el desarrollo de un binomio de la forma
▪ Utiliza las propiedades de los exponentes y el análisis combinatorio para encontrar un determinado término del desarrollo del binomio
Factorial de un número ▪ Identifica la posición y otros elementos de un término bajo ciertas condiciones propuestas
Análisis Combinatorio ▪ Realiza resúmenes sobre las aplicaciones del teorema de binomio.
Coeficiente binomial SABER HACER:
▪ Construye ordenadores gráficos y realiza resúmenes de las aplicaciones del Teorema del Binomio
Triángulo de Pascal ▪ Desarrolla el binomio de Newton utilizando el GeoGebra
▪ Interpreta y resuelve problemas aplicando las propiedades de los exponentes y el análisis combinatorio
▪ Reconoce un determinado término e identifica su posición dadas ciertas condiciones.
SER:
▪ Tiene gusto por la matemática ▪ Trabaja con honestidad y puntualidad
▪ Trabaja en equipo ▪ Ejercita el pensamiento crítico
▪ Es diligente y cuidadoso en el trabajo
ACTIVIDADES MEDIOS EVALUACION
DIDÁCTICOS Y
BIBLIOGRAFIA
TIEMPO
RECURSOS
TIPOS FORMAS DE
EDUCATIVOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN
EVALUACIÓN
CONTEXTUALIZACIÓN TEXTO GUÍA:
▪ Diálogo sobre el tema anterior ▪ Diálogo heurístico ▪ Diagnóstica ▪ Desarrolla el factorial de un número ▪ ESPOL: Fundamentos de Matemáticas para
10 Min.
▪ Presentación del nuevo tema ▪ Estudiantes y docente (Autoevaluación) ▪ Usa correctamente el análisis Bachillerato, ESPOL, Guayaquil, 2006.
▪ Introducción al nuevo tema: Se utilizarán ejemplos prácticos en los que se encuentra ▪ Computadora, video combinatorio en ejemplos prácticos
presente la elección de dos alternativas entre varias opciones y se los desarrolla junto a
ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS
beam y diapositivas ▪ MATERIALCOMPLEMENTARIO:
los estudiantes
CONCEPTUALIZACIÓN ▪ BECERRA, José: Teorema del Binomio,
▪ Se utilizan los ejemplos dados y el desarrollo del binomio para los exponentes 1, 2, 3 y 4 ▪ Texto guía ▪ Procesual ▪ Lee significativamente http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/3
8.%20Teorema%20del%20Binomio.pdf, acceso: 27
20 Min.
utilizando el producto de polinomios y se les guía a los alumnos que describan la ▪ Internet ▪ Formativa ▪ Está atento a las diapositivas y toma
existencia de algunas regularidades y las generalicen. ▪ Computadora, video apuntes importantes de diciembre de 2012.
▪ Se usará un diagrama de árbol para generar los términos del desarrollo del binomio para beam y diapositivas ▪ Pregunta sobre aspectos relevantes de lo ▪ MARTÍNEZ, Ciro:Variable aleatoria discreta,
las potencias 1, 2, 3 y 4 expuesto http://jepradamatuan.webs.com/binomial.pdf, acceso:
▪ Se compararán los dos procesos y se generalizará mediante el Teorema del Binomio 27 de diciembre de 2012.
CREACION, ELABORACIÓN, APLICACIÓN, EXPERIMENTACIÓN ▪ Teorema del binomio,
▪ Se utiliza la lógica para traducir al lenguaje formal el teorema y la inducción para demostrarlo ▪ Carpeta de trabajo ▪ Procesual ▪ Utiliza ordenadores gráficos para resumir http://matgen.usach.cl/Archivos/Teoria/13T%20Binom
15 Min.
▪ Se realiza un resumen de las propiedades encontradas y del teorema ▪ Texto guía ▪ Formativa lo expuesto io.pdf, acceso: 28 de diciembre de 2012.
▪ Se plantean ejercicios para el desarrollo del binomio; se usan las propiedades de los ▪ Computadora, video ▪ Plantea y resuelve ejercicios sobre el
exponentes y el análisis combinatorio para encontrar un determinado término; se identifica ▪ GEOGEBRA
beam y diapositivas desarrollo de un binomio; para encontrar ▪ YOUTUBE
la posición y otros elementos de un término bajo ciertas condiciones propuestas ▪ Geogebra e identificar términos
ACTIVIDADES DE REFUERZO
▪ Aplicar los resultados para construir el TRIÁNGULO DE PASCAL y analizar algunas de ▪ Texto guía ▪ Procesual ▪ Resuelve correctamente ejercicios del
Min.
15
sus propiedades ▪ Formativa texto guía
▪ Resolver los ejercicios 116, 188 y 120 del texto guía, p. 246
TRABAJO AUTÓNOMO CRITERIOS DE EVALUACIÓN:
45 Min.
▪ Investigar en YOUTUBE los videos de AdrianPaenza sobre el TRIÁNGULO DE PASCAL ▪ Texto guía ▪ Presenta resúmenes de la investigación
▪ Desarrollar en GeoGebra un ejemplo del binomio de Newton ▪ Internet ▪ Presenta ejercicios resueltos
▪ Resolver los ejercicios 117, 119 y 121–124 del texto guía, p. 246 ▪ Pregunta sobre cuestiones no interpretadas

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ACTIVIDADES
I. CONTEXTUALIZACIÓN
1.1 Evaluación de inicio
PRE-CONOCIMIENTOS: Para esta actividad se requiere de algunos conocimientos básicos, éstos se
evaluarán de acuerdo a la siguiente cartilla de autoevaluación. Se trabajará además en el desarrollo de
valores como honestidad, al contestar la cartilla.
Muy
YO SÉ Bien Poco Nada
bien
Lógica y teoría de conjuntos
Propiedades en el Sistema de los números reales
Método de inducción
Factorial de un número
Análisis combinatorio
OBSERVACIÓN: Si en alguno de los pre-conocimientos las respuestas fueron categorizadas como Poco o
Nada, será necesario volver a profundizar esos conocimientos.
1.2 Introducción histórica.
• El teorema del binomio, (o, binomio de Newton), expresa la -ésima potencia de un binomio como un
polinomio. El desarrollo de es de singular importancia, pues, aparece con mucha frecuencia en
la matemática y posee diversas aplicaciones en otras áreas del conocimiento.
• Newton en 1685 y Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji alrededor del año 1000.
• El teorema del binomio para se encuentra en los Elementos de Euclides (300 a. C.)
1.3 Contextualización:
El teorema del binomio está relacionado con la distribución binomial y ésta considera procesos en los cuáles
se requiere la elección de dos alternativas entre varias opciones. Los ejemplos siguientes servirán para
contextualizar el tema a tratarse.
1. La Selección Sub 20 de fútbol del Ecuador va a participar en el Sudamericano en Argentina. La
Selección considera una nómina de 22 jugadores que viajrán a este evento. Hasta el 30 de diciembre
estaban convocados 26 jugadores. Supongamos que el DT ya definió la participación de los 20
jugadores, por lo que aún le falta escoger a dos de los seis restantes. ¿De cuántas maneras puede
escoger a dos de entre seis? Se podrían dar nombres ficticios para que la actividad sea práctica.
2. Se aproximan las elecciones generales en nuestro país. Suponiendo que los candidatos no alcancen la
mayoría de votos y que se presenta una segunda vuelta, nos interesa saber cómo quedarían las
alternativas de las dos candidaturas opcionadas.
3. En niveles superiores de la universidad, se requiere elegir algunas materias optativas. Si en un
determinado semestre se presenta la opción de escoger dos de estas materias, que presentan varias
alternativas en los horarios, nos interesaría saber cuántas opciones de horarios están disponibles para
escoger llos que mejor se adecuen a nuestros intereses.

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II. ACTIVIDADES DE CONCEPTUALIZACIÓN
2.1 Binomio a la potencia –ésima
1. Utilizar el producto de polinomios para encontrar el desarrollo de , para .
Sean . Consideremos el binomio . Al multiplicar por sí mismo a este binomio, se
obtienen las siguientes potencias:
2. Guiar a los estudiantes a que infieran algunas propiedades que se pueden obtener del ejercicio anterior
De lo anterior, podemos concluiralgunas de las siguientes propiedades para :
a) El desarrollo tiene la forma:
e incluye términos.
b) Las potencias de entre el 1er y último términos del desarrollo son: , , …, , ,
c) Las potencias de entre el 1er y último términos del desarrollo son: , , , …, ,
d) Para cada término, la suma de los exponentes de e es .
e) y .
f) Si es el –ésimo término, el coeficiente es igual a:
g) Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales.
3. Usar un diagrama de árbol para deducir algunas regularidades en el desarrollo de los binomios que
pueden ser generalizadas utilizando la teoría del análisis combinatorio, como se muestra a
continuación.
Los términos del desarrollo para , , , , pueden obtenerse a través del siguiente
diagrama de árbol:

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4. Relacionar los resultados de los numerales anteriores a fin de que deduzcan los coeficientes utilizando
el análisis combinatorio.
Por ejemplo si:
2.2 Teorema del Binomio
1. Si utilizamos los resultados obtenidos para el ejemplo anterior, podemos escribir el desarrollo de
como:
Y al generalizar para , tenemos el siguiente resultado.
Teorema 2.1 (Teorema del Binomio) Dados , , el desarrollo del binomio ,
está dado por,
O, escrito utilizando la notación de sumatoria,
2. Tradicimos a lenguaje formal el teorema:

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3. Demostración del teorema. Vamos a utilizar el principio de inducción.
Sea
a) es verdadera ya que , esto último dado que
b) Si es verdadera, es decir, si , por demostrar que
En efecto,
Que era lo que se quería demostrar.

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4. Usar el Geogebra para generar el desarrollo de binomios
III. ACTIVIDADES DE REFUERZO
3.1 Triángulo de Pascal
1. Presentar lossiguientes Triángulo de Pascal:
Explicar su origen y la forma cómo se obtiene.
2. Presentar algunas propiedades del Triángulo de Pascal. Utilizar el video de Adrían Penza (5 minutos).
3. Resolver los ejercicios 116, 188 y 120 del texto guía, p. 246.
IV. TRABAJO AUTÓNOMO
▪ Investigar en YOUTUBE los videos de Adrian Paenza sobre el TRIÁNGULO DE PASCAL
▪ Desarrollar en GeoGebra un ejemplo del binomio de Newton
▪ Resolver los ejercicios 117, 119 y 121–124 del texto guía, p. 246

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V. EVALUACIÓN
De acuerdo al plan de clases, la parte principal de la evaluación deberá hacerse sobre la base de la
resolución de problemas para obtener el desarrollo del Binomio, usar las propiedades de los exponentes y el
análisis combinatorio para encontrar un determinado término; identificar la posición y otros elementos de un
término bajo ciertas condiciones propuestas.
EVALUACIÓN SUMATIVA
A. Conteste a cada uno de los siguientes ítems, colocando una X en la respuesta correcta. Recuerde que su
respuesta debe ir justificada con el respectivo proceso que la respalde, en los casos que sea necesario. (1 Pto.
c/u)
1. ¿Cuáles de los siguientes enunciados no describe procesos en los cuáles se requiere la elección de dos
alternativas entre varias opciones?
( ) Lanzar una moneda
( ) La forma cómo dispuso Noé a las parejas de animales en el Arca.
( ) La elección de una pareja de tenistas entre varios, que jueguen dobles la copa Davis
( ) Todas las anteriores
( ) Ninguna de las anteriores
2. El término del desarrollo de que contiene es:
( )
( )
( )
( )
( ) No existe tal témino.
3. Hallar el témino independiente de
( ) 14
( ) 11
( ) 17
( ) 13
( ) 16
4. ¿Cuáles de los siguientes enunciados están relacionados con el Teorema del Binomio?
( ) El Teorema del Binomio formula que
( ) El teorema fue descubierto por Pascal juanto al triángulo que lleva su nombre, aunque otros lo
formularon antes y lo desarrollaron.
( ) El teorema fue publicado por Wallis y se le atribuye a Newton su descubrimiento, aunque otros lo
formularon antes y lo desarrollaron.
( ) Todas las anteriores
( ) Ninguna de las anteriores
B. Haga lo que se le pide.
1. Desarrolle el triángulo de Pascal hasta la fila correspondiente a (1 Pto.)
2. En determine: (3 Ptos)
a) el quinto término;
b) el(los) término(s) central(es)
3. Determine el coeficiente de (si existe), en el desarrollo de (2 Ptos.)