1. INSTITUCION DE EDUCACION SUPERIOR: Universidad Tecnica de Babahoyo U.T.B. SEDE: Babahoyo
BLOQUE CURRICULAR: 3 MODULO: Introduccióna la Comunicación Científica ASIGNATURA : Matemática para Ciencias e Ingeniería
PARALELO: 1 AREA DEL CONOCIMIENTO: INGENIERIA Y CIENCIAS CARRRAS: INGENIERIA EN SISTEMAS
D O C E N T E : Ing. Jhonny Antonio Concha Ramirez MES : Enero DIA : Sabado 5
TIEMPO CLASE: 1 HORA Presencial TRABAJO AUTONOMO: 1 HORA
PROTOCOLO DE PLAN DE CLASE
TEMA Razonamiento con Predicados
PROPOSIT Reconocer la estructura de un razonamiento y establecer su validez empleando tablas de verdad y leyes de algebra de proposiciones. Utilizando predicados y
O cuantificadores.
SABER: INDICADORES DE LOGRO ( es lo que el estudiante deben haber logrado al finalizar el tema)
Definiciones de: • Reconoce el valor de verdad de una proposición.
• Proposiciones • Reconoce cuando utilizar un predicado en vez una proposición.
• Razonamiento
• Validez de un razonamiento
• Utiliza adecuadamente los cuantificadores en los razonamientos planteados
• Predicados • Maneja las simbologías utilizadas para la resolución del problema planteado de forma correcta
• Cuantificadores • Puede utilizar e interpretar muy bien notación simbólica
• Razonamiento utilizando predicados.
• Determina la validez de un razonamiento, con la utilización de los predicados y los cuantificadores.
SABER HACER: (nota la cantidad de saberes y de logros debe ser la misma)
CONCEPTO • Realiza análisis de razonamiento para saber su validez.
S
DESARROL
• Representa razonamiento empleando cuantificadores y predicados.
LADOS • Realizar operaciones con cuantificadores dado un conjunto referencial
• Representar gráficamente un razonamiento.
• Dada una expresión en lenguaje común, reconocer si es un predicado, identificar su variable y sugerir
un conjunto referencial, y determinar su conjunto de verdad.
SER: Habilidades del buen vivir
Desarrolla su capacidad para emplear los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas que se
presentan a su alrededor. Para esto:
Tiene gusto por la matemática Trabaja con honestidad y puntualidad
Trabaja en equipo Ejercita el pensamiento crítico
Es diligente y cuidadoso en el trabajo
ESTRATEGI
AS ACTIVIDADES
MEDIOS DIDÁCTICOS Y
METODOL EVALUACION BIBLIOGRAFIA
RECURSOS EDUCATIVOS
ÓGICAS TIPOS TIEMPO
CONTEXTUALIZACIÓN FORMAS DE CRITERIOS DE FUNDAMENTO
Son actividades que realizará el docente en 10 min Aula EVALUACIÓN EVALUACIÓN S DE
el aula tomando en cuenta la experiencia de Pizarra Liquida MATEMÁTICA,
los estudiantes en el diario vivir. Marcadores Diagnostica: Opinion de los Reconoce los operadores ICM - ESPOL,
Proyector estudiantes. básicos empleados en un Segunda
Daremos un ejercicio introductorio de la vida Computadora razonamiento y que sirven edición,
diaria, para poder tener una introducción a lo para realizar la operaciones, Ecuador, 2007
que vamos hacer, en este caso entrar a empleando el simbolismo
razonamientos con predicados. (ejercicio lógico. Clase de
planteado en la clase demostrativa) capacitacion en

2. la Espol dada
por master
ACTIVIDADES DE CONCEPTUALIZACIÓN Aula Margarita
Son actividades que el aprendiente debe 20 min Pizarra Liquida Procesual: Desarrollo de Comprende las conceptos Martinez
realizar para lograr comprender y aplicar Marcadores ejercicios en la pizarra. planteados en clase y
el tema visto. Proyector propone ejemplos http://www2.uc
Computadora a.es/matematic
Explicar los diferentes conceptos que se tienen Diapositivas as/Docencia/ES
que aprender, y con los cuales se va a trabajar I/1711051/Apun
para poder comprender la clase, la cual será tes/Leccion3.pd
reforzada con ejemplos. f
Lectura del texto guía, paginas 29,30,41,42,
53,54 http://www.eco
n.uba.ar/www/d
ACTIVIDADES DE CREACIÓN, Aula epartamentos/h
ELABORACIÓN, APLICACIÓN O 20 min Pizarra Liquida Procesual: Desarrollo de Identificación de los casos, y umanidades/pla
EXPERIMENTACIÓN ( Dependiendo del área Marcadores ejercicios en la pizarra. sabe cuándo utilizar las n97/logica/Legr
y de la temática) Proyector proposiciones y los is/apuntes/APC
Computadora predicados. -LL.pdf
Planteamos ejercicios en clase que serán
resueltos por los aprendientes, utilizando los
conocimientos anteriormente estudiado.
Realizar talleres propuesto en clase y que están
en la presentación digital
ACTIVIDADES DE REFUERZO Aula
(retroalimentación) 10 min Pizarra Liquida Resuelve correctamente Realiza los ejercicios y
Son actividades que realizan los Marcadores ejercicios del texto guía problemas planteados
aprendientes que permiten mejorar el nivel Proyector
de dominio del tema Computadora
Resolver ejercicios del texto guía :
• Ejercicio 69 al 80 de la página 89 a
93
TRABAJO AUTONOMO CRITERIOS DE EVALUACIÓN Investigaciones
Son actividade que el aprendiente debe 60 min Tareas para la casa, hecha en la
realizar para consolidar el tema tratado y ejercicios sacado de web, internet.
está sujeto a control del docente ( internet, libro guía página Presenta resúmenes de la investigación.
portafolio , bitácora, . . .) 89. Y del portafolio. Presenta ejercicios en casa aplicando razonamiento con
predicados.
Desarrollo de ejercicios en casa: Pregunta sobre cuestiones no interpretadas
• Investigar en internet. Revisión y constatación de la resolución de problemas de su
portafolio.
• Resolver problemas utilizando
razonamiento con predicados.

3. C O N T E X T U A L I Z A C I Ó N: (10 minutos)
Podemos comenzar exponiendo un ejemplo de la vida real de razonamiento, para que el aprendiente pueda darse cuenta a loa que vamos a ver en el transcurso de la clase.
Un avión cubrió la distancia que separa a la Ciudad de Quito y Guayaquil una hora y 20 minutos, sin embargo al volar de regreso recorrió esta distancia en 80 minutos. ¿Cómo se explica esto?
R/ Aquí no es necesario aclarar nada, darse cuenta que las dos situaciones representan el mismo tiempo, solo que una está expresada en horas y minutos y la otra en
minutos, o sea, una hora y veinte minutos es lo mismo que ochenta minutos.
Lo que el alumno dirá son cosas como que no es lo mismo, que es diferente y demás.
Está en el profesor que dicta la clase explicar, usando operadores lógicos matemáticos, que lo que se dice es lo mismo.
Como lo haremos:
La distancia que cubre Quito-Guayaquil es de 1 hora y 20 minutos:
a: 1 hora que será igual a 60 minutos.
b: 20 minutos
c: 80 minutos
Utilizando operadores matemáticos sabemos que esto será la suma de “a y b”, lo que dará los 80 minutos. Por lo tanto el razonamiento aquí explicado seria valido ya que su antecedente es igual a su consecuente.
Suma (a y b) es igual a c. Dicho de otra manera: (a ᴧ b) → c
SÍMBOLOS PARA CONECTIVAS:
LÓGICOS CONSTANTES negación: ¬
conjunción: ∧
LÓGICAS:
disyunción: ∨
condicional: →
bicondicional: ↔
CUANTIFICADORES:
universal: ∀x

4. existencial: ∃x
PARA
VARIABLES DE INDIVIDUO: x, y, z, etc.
PARA
SÍMBOLOS PREDICADOS: P, Q, R, S, T, etc.
DESCRIPTIVOS PARA
CONSTANTES DE INDIVIDUO: a, b, c, etc.
PARÉNTESIS: (, )
PROPOSICIONES: a: hoy es lunes
PREDICADOS: p(x): x es lunes
ACTIVIDADES DE C O N C E P T U A L I Z A C I Ó N (20 minutos)
Hay que primero conocer el concepto de cada tema a ser tratado.
Proposicion: Una proposicion es una unidad semantica que, o solo es verdadera o solo es falsa.
Representación de una proposición:
a: 5 es un numero primo, es una proposición en la cual su valor de verdad es verdadero (1).
b: 2+2= 5, es una proposición pero su valor de verdad es falsa (0).
Valor de verdad:
El valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposición. Este puede ser verdadero o falso.
Razonamiento: Son proposiciones compuestas que pueden ser representadas por la conjunción de proposiciones denominadas premisas o hipótesis, la condicional como operador lógico principal; y, una
proposición final denominada conclusión.
Las premisas o hipótesis corresponden al antecedente de la implicación, mientras que la conclusión es su consecuente.
[H1 ᴧ H2 ᴧ H3….ᴧ Hn] → Hn
Conjunción de Condicional Conclusión
hipótesis OPERADOR CONSECUENTE
ANTECEDENTE LOGICO

5. Validez de un razonamiento: Un razonamiento es válido cuando la forma proposicional que representa su estructura lógica es tautológica. Si dicha forma proposicional es una contradicción o contingencia,
entonces el razonamiento no es válido, en cuyo caso se denominara falacia.
Cuantificadores: cantidad de elementos del referencial que satisface o no el predicado. Utilizaremos 2 cuantificadores el universal (∀) y el existencial (∃).
Cuantificado Símbol expresiones en castellano
r o
∀x
Universal todo, cualquiera, cada uno, todos los, los, etc.
∃x
Existencial existe, hay al menos uno, algún, algunos, etc.
Ejemplo Composición de cuantificadores
En un enunciado puede aparecer más de un cuantificador. Un caso típico, en un contexto que trata de seres humanos, es:
(1) Todos aman a alguien.
En este enunciado figuran dos palabras que expresan cuantificación, de carácter universal la primera y de índole existencial la segunda, así que debe interpretarse del siguiente modo:
(1a) Para todo x (del dominio), existe un y (del dominio), tal que x ama a y,
Usando los símbolos lógicos respectivos, se puede representar este enunciado como
(1b) ∀x ∃y ( x ama a y )
La situación aquí descripta es la siguiente: imagínese el dominio como un conjunto. Se dice de cualquiera que se tome de ese conjunto, que para ese cualquiera hay al menos un elemento del conjunto (puede ser
él mismo, puede ser otro, o muchos otros) tal que aquel (el cualquiera, cada uno) ama a este (alguno).
Un ejemplo adicional, referido a un dominio mucho más general es:
(2) Algo es causa de todo
que debe entenderse como
(2a) Existe un x (del dominio) tal que, para todo y (del dominio), x es causa de y.
Usando los símbolos para cuantificadores, el enunciado se reescribe así:
(2b) ∃x ∀y (x es causa de y)

6. Se advierte que en ambos ejemplos se usan diferentes variables. Cada variable
está ligada a un cuantificador distinto, y es para evitar confusiones que se emplean diferentes letras para las variables de individuo. Esto es lo que se llama “cuantificación múltiple”.
*Si empleamos los símbolos para cuantificadores, el razonamiento: Todos aman a alguien. Por lo tanto Laura ama a alguien. Se representa así
∀x ∃y ( x ama a y ) → ∃y ( Laura ama a y )
Nótese las diferencias con la formulación en castellano, sobre todo en el orden de las palabras
Resumen de las condiciones de verdad para los cuantificadores
(∀x) Un enunciado “∀x Px” es verdadero si y sólo si al reemplazar “x” en “Px” por cualquier constante de individuo se obtiene un enunciado verdadero (es decir, “Pa”, “Pb”, “Pc”, “Pd”, etc. son todos enunciados
verdaderos).
(∃x) Un enunciado “∃x Px” es verdadero si y sólo si al reemplazar “x” en “Px” por alguna constante de individuo se obtiene un enunciado verdadero (es decir, al menos uno de los enunciados “Pa”, “Pb”, “Pc”,
“Pd”, etc. será verdadero).
Predicado: Proposición abierta, se está dando o hablando en general. Son expresiones en términos de una variable que al ser remplazadas por los elementos de un conjunto referencial, se convierten en
proposiciones, Si x representa a cualquier elemento de Re, entonces la expresión p(x) se definirá como predicado.
La notación para los predicados será: p(x), q(x), r(x), etc.
Ejemplo: Todos aman a alguien.
R(x, y): x ama a y
b: Laura.
Dado el razonamiento: Todos aman a alguien. Por lo tanto Laura ama a alguien. Se representa así
∀x ∃y R(x, y) → ∃y R(x, y)
También lo podemos ver de otra manera:
H1: Todos aman a alguien. ∀x ∃y R(x, y)

7. C: Por lo tanto Laura ama a alguien. ∃y R(b, y)
ACTIVIDADES D E CREACIÓN, ELABORACIÓN, APLICACIÓN O EXPERIMENTACIÓN (20 minutos)
Se harán actividades de fortalecimiento del conocimiento.
Se hará ver que utilizando proposiciones no nos da el razonamiento valido, y que se debe de utilizar mejor predicados para su validez.
Ejemplo:
Resolver el siguiente razonamiento:
Todos los hombres son mortales. Sócrates es hombre. Por lo tanto, Sócrates es mortal.
Si para este razonamiento utilizamos proposiciones nos daremos cuenta que no podemos hallar su validez.
UTILIZANDO PROPOSICIONES
Proposiciones simples: Hipótesis:
a: todos los hombres son mortales. H1 : a
b: Sócrates es hombre. H2 : b
c: Sócrates es mortal. C: c
Esto nos da: a ᴧ b → c, esto no es válido pero no debe ser tomado así como
proposiciones sino que aquí se debe de utilizar los predicados, para saber su validez,
además que nos damos cuenta que el razonamiento empieza con la palabra “TODOS”,
lo que nos hace ver que tenemos utilizar los cuantificadores en este caso el universal.
UTILIZANDO PREDICADOS Y CUANTIFICADORES
Todo p es q ≡ ∀x (p(x) → q(x))
Predicados: Hipótesis:

8. [H1 ᴧ H2 ᴧ H3….ᴧ Hn]→ Hn
H1: ∀x (h(x) → m(x)) [(p → q) ᴧ p ] → q ≡ ∀x [(p(x) → q(x)) ᴧ p(x)] → q(x)
Re: {seres vivos}
h(x): x es hombre
m(x): x es mortal.
b: Sócrates
H1: ∀x (h(Sócrates) → m(Sócrates))
H2: h(x)
C: m(x)
H2: h(Sócrates)
C: m(Sócrates)
Por predicado, se puede ver que este razonamiento es válido. También se ha aplicado las leyes de la implicación Modus ponendo ponens. Y como es
tautológico el razonamiento es valido.
Consideremos, por ejemplo, el universo de todos los triángulos del plano. En un libro podemos leer la siguiente definición: “Si un triángulo tiene sus tres lados iguales, entonces es equilátero” y en otro texto,
leemos “Si un triángulo es equilátero, entonces tiene sus tres lados iguales” En ambos casos se están utilizando proposiciones cuantificadas con el cuantificador universal. En efecto, Sean:
p(x): x tiene tres lados iguales.
q(x): x es un triángulo equilátero.
Entonces en notación simbólica el primer libro dice:
∀x [p(x) → q(x)]
y el segundo
∀x [q(x) →p(x)]
Pues bien, observemos que una de ellas es la reciproca de la otra y si tenemos en cuenta que una proposici´on y su rec´ıproca no son, en general, l´ogicamente equivalentes ¿cuál de las dos definiciones es la
correcta?
La respuesta es que ambas lo son, en el sentido de que los dos libros utilizan el condicional como un bicondicional, o sea:
∀x [p(x) ↔ q(x)]

9. Es decir, los dos están diciendo que:
“Un triángulo es equilátero si, y solo si tiene sus tres lados iguales”
Concluyendo: En las definiciones, y únicamente en las definiciones, un condicional puede leerse e interpretarse correctamente como un bicondicional.
ACTIVIDADES DE R E F U E R Z O (20 minutos)
• Resolver ejercicios dados en su portafolio.
• Ejercicio 69 al 80 de la página 89 a 93
TRABAJO A U T Ó N O M O (60 minutos)
• Investigar en internet, razonamientos con predicados.
• Resolver problemas con razonamientos, dado en su portafolio.
EJERCICIOS PLANTEADOS PARA ACTIVIDADES DE REFUERZO (Portafolio)
a) Ninguna estrella de televisión es contador público titulado; todos los contadores titulados son personas con buen sentido comercial, de donde se sigue que ninguna estrella de televisión
tiene buen sentido comercial.
b) Todos los ejecutivos de empresas privadas son activos oponentes del aumento a los impuestos, porque todos los oponentes activos del aumento a los impuestos son miembros de la
cámara de comercio y todos los miembros de la cámara de comercio son ejecutivos de empresas privadas.
EJERCICIOS PLANTEADOS PARA QUE SEAN TRABAJADO EN CASA. (Trabajo autónomo)(Portafolio)
1. Todas las cabeceras de partido tienen adjudicada al menos una oficina de correos. Por consiguiente, Hay al menos una oficina de correos que tiene adjudicada Puán, si Puán es cabecera de partido.
2. Todos los alumnos de Informática estudian Matemática Discreta. Florinda es alumna de Informática. Por lo tanto, Florinda estudia matemática Discreta.
3. El número a no es múltiplo de 2. Si un número es par, entonces es divisible por 2. Si un número es divisible por 2, entonces es múltiplo de 2. Por lo tanto, el número a no es par.
4. Cuál de los siguientes enunciados es una proposición y cual es un predicado:
• Laura canta.
• X+2=5

10. • a(x): x es amor
5. unir con líneas el enunciado con su traducción utilizando su cuantificador correspondiente:
Enunciado Cuantificador
∀x ( Px → ( ∃y Qxy ∧ ∃z Rxz) )
Ninguna fábrica contamina todos los ríos
∃x ( Px ∧ ∀y ( Ry → Qxy) ).
Todo ciudadano elige diputados y
senadores
∀z ( Pz → ¬∀y ( Ry →Qzy) )
Hay fábricas que contaminan todos los ríos