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1. Informe de Lectura 2: OPP. Taller estudio de casos
Nombre: Patricio Álvarez Opazo
1. Introducción
La matemática tradicionalmente ha sido objeto de críticas por parte de los alumnos, en cuanto a su relación con situaciones cotidianas se refiere. Pues es común escuchar preguntas tales como ¿Para qué me sirve esto? O ¿Dónde lo puedo aplicar? Ante esta situación es natural pensar o entender una cierta resistencia por parte de los alumnos por aprender matemáticas pues la ven tan alejada de la vida cotidiana y por lo mismo es comprensible el que se hagan dichas interrogantes. Es por ello que los problemas de aplicación y sobre todo el de modelización de situaciones cotidianas se hace cada vez más necesaria en la enseñanza de la matemática, pues es el nexo perfecto en cuanto a la interiorización de conceptos como la aplicación a situaciones reales se refiere.
2. Resumen
Nos encontramos con Carolina una profesora convencida de que los alumnos pueden aprender mejor los conceptos si estos son aplicados a situaciones cotidianas o cercanas a los alumnos. Para ello ha estudiado diferentes artículos que muestran el cómo y qué tipo de problemas utilizar cuando se modelizan funciones. En el caso se presenta una actividad donde los alumnos grupalmente tienen que encontrar un modelo que aproxime el comportamiento de la situación sobre el consumo de cigarrillos y las muertes que provocan. Se presentan diferentes modelos, sin embargo estos no aproximan a cabalidad la situación planteada.
3. Conflictos del caso
La problemática es sobre la elección de un modelo que aproxime de la mejor manera los datos presentados en la situación sobre el consumo de tabaco.
4. Análisis del caso
4.1. Aspectos Matemáticos
a) La gráfica y la búsqueda de un modelo que aproxime los datos de la tabla
Los tres grupos que presentaron sus trabajos tienen en común que antes de hacer cualquier trabajo matemático riguroso, primero realizaron la gráfica de la situación, es decir, cambiaron la representación de los datos entregados en la tabla a una representación visual. Con esto lograron percatarse de que los datos se comportaban más o menos lineales, lo que les permite utilizar la ecuación de la recta para poder encontrar un modelo.

2. Gráfica de los datos entregados en la tabla
-Julio
Julio obtiene una pendiente utilizando los dos primeros puntos de la tabla de datos, es decir:
(0,30) y (5,132)
Concluye que el modelo que aproxima los datos es: ( )
Sin embargo la gráfica que representa dicho modelo, no aproxima demasiado los datos:
Modelo de Julio

3. -Gerardo
El y su grupo en base a que el modelo de julio no satisfacía la información entregada por la tabla, propone tomar otros puntos:
(30,447) y (5,132)
Obteniendo como modelo: ( )
Modelo De Gerardo
Se observa que esta vez la recta que aproxima los datos es mucho más cercana a los puntos que el modelo propuesto por julio.
-Mariana
Mariana y su grupo se percatan que el modelo de Gerardo pese a ser bastante aproximado, podría aun ser mejor. Observan que si no toman en cuenta el primer punto (0,30) y trasladan la recta más a los puntos, se obtendría una mejor aproximación:
Para ello definen el siguiente modelo: ( )
b) El error
El motivo de que tres grupos presentaran su modelo y cada uno más aproximado a los datos que los otros se debe al concepto de error de aproximación y el cómo buscar reducirlo.
Por ejemplo observemos la siguiente tabla donde son presentados los modelos y los errores cometidos:

4. Cigarrillos/día Muertes/100000 Julio ( ) Gerardo ( ) Mariana ( ) 0 30 30 (0) 30 (0) 50 (20) 5 132 132 (0) 93 (39) 113 (19) 15 256 336 (80) 219 (37) 239 (17) 30 447 642 (195) 408 (39) 428 (19) 45 606 948 (342) 597(9) 617 (11)
(Errores cometidos)
Se observa que los errores presentados entre paréntesis, por ejemplo en el modelo de Julio son enormes en comparación a los errores presentados por el modelo de Mariana, es decir, si alguien quisiera tener información más exacta de los que sucede con el número de fallecidos por el consumo de tabaco, claramente utilizaría el modelo de Mariana.
4.2. Aspectos Didácticos
a) Búsqueda de conocimiento
Si bien no es un aspecto explicito, el que la profesora este en contante búsqueda de artículos de investigación relacionados en este caso con modelización de situaciones o ya sea cualquier otra temática, ayuda que se puedan aprender o conocer las diferentes potencialidades que pueden presentar procesos como la modelización u otros como visualización. Es más claramente esto ayuda a que los alumnos interioricen los conceptos mucho mejor que la forma tradicional que estamos acostumbrados a ver.
b) Trabajo grupal y exposiciones
Primero que todo la profesora parte por establecer la estrategia de que los alumnos sean quienes realizan el trabajo, tomando así un rol de guía y de formalización de conceptos a través de resúmenes del trabajo de las clases. Además el hacer énfasis en el trabajo colaborativo fomenta la discusión entre los alumnos y si esto se culmina en la presentación o exposición hace que las clases sean mucho más productivas e interesantes que las clases tradicionales que predominan el sistema educativo.
c) Aspectos transversales
Carolina gracias a que la modelización permite estudiar situaciones reales, utiliza un problema muy acorde a los que sucede en la sociedad. Claramente el utilizar un problema basado en el consumo de tabaco, el cual se hace muy común entre los jóvenes tiene doble utilidad pues hace reflexionar a los alumnos de que el excesivo consumo de tabaco tendrá como resultado la muerte, y es mas hace objeto de que no solo los que fuman se ven afectados, sino también quienes absorben el humo del cigarro.

5. 4.3. Aspectos evaluativos
La profesora solo toma un rol de guía y direcciona hacia donde puede observar si los alumnos están entendiendo o no los conceptos, sin embargo y pasando a un nivel más personal Carolina comete un error al hacer prejuicios a ciertos alumnos que ella piensa no tendrían las condiciones para realizar razonamientos matemáticos. Esto queda reflejado pues consideraba que Mariana no podría entender el problema o Gerardo que lo consideraba un alumno no muy destacado en matemática. Sin embargo ambos demostraron en representación de sus grupos que cualquier persona es capaz de realizar razonamiento matemático.
5. Propuesta: ¿Cómo Solucionar la problemática?
Primero que todo visualicemos por medio de la gráfica el comportamiento de los modelos obtenidas por julio, Gerardo y mariana
Julio: f(x)=12,4x+30
Gerardo: f(x)=12,6x+30
Mariana: f(x)=12,6x+50
Se observa que la aproximación de mariana pese a sacrificar el primer punto, representa muy bien los otros puntos, por lo tanto enfocaremos nuestros esfuerzos en ese modelo.

6. Se propone estudiar y jugar con los valores tanto de la pendiente cercanos a 12.6, como del coeficiente de posición cercano a b=50, los cuales son Parte del modelo de Mariana. Los errores cometidos están marcados entre paréntesis.
x
y
b=48
b=50
b=55
b=60
m=12,4
0
30
48 (18)
50 (20)
55 (25)
60 (30)
5
132
110 (22)
112 (20)
117 (15)
122 (10)
15
256
234 (22)
236 (20)
241 (15)
246 (10)
30
447
420 (27)
422 (25)
427 (20)
432 (15)
45
606
606 (0)
608 (2)
613 (7)
618 (12)
x
y
b=48
b=50 b=55
b=60
m=12,5
0
30
48 (18)
50 (20) 55 (25)
60 (30)
5
132
111 (21)
113 (19) 118 (14)
123 (9)
15
256
236 (20)
238 (18) 243 (13)
248 (8)
30
447
423 (24)
425 (22) 430 (17)
435 (12)
45
606
611 (5)
613 (7) 618 (12)
623 (17)
x
y
b=48
b=50 b=55
b=60
m=12,6
0
30
48 (18)
50 (20) 55 (25)
60 (30)
5
132
111 (21)
113 (19) 118 (14)
123 (9)
15
256
237 (19)
239 (17) 244 (12)
249 (7)
30
447
426 (21)
428 (19) 433 (14)
438 (9)
45
606
615 (9)
617 (11) 622 (16)
627 (21)
x
y
b=48
b=50 b=55
b=60
m=12,7
0
30
48 (18)
50 (20) 55 (25)
60 (30)
5
132
112 (20)
114 (18) 119 (13)
124 (8)
15
256
239 (17)
241 (15) 246 (10)
251 (5)
30
447
429 (18)
431 (16) 436 (11)
441 (6)
45
606
620 (14)
622 (16) 627 (21)
632 (26)
Cabe recordar que los errores son más aceptables cuando están en cierto rango o medida similar a los demás, por ejemplo un modelo con errores en algunos datos igual a cero pero en otros datos errores muy grandes significa que dicha aproximación no es buena.
En las tablas presentadas previamente se observa que entre las pendientes 12,5 y 12,6 se encontraría la mejor pendiente para el modelo, y en cuanto al coeficiente de posición, b=55 no cabe duda que es el mejor lugar donde los errores no varían tanto y están en cierto margen o rango.

7. Por lo tanto se propone el siguiente modelo:
F(x)=12,55x+55
El cual se comporta de la siguiente manera:
x
y
f(x)=12,55x+55
Error
0
30
55
25
5
132
118
14
15
256
243
13
30
447
432
15
45
606
620
14
Como se observa en el gráfico tanto como el modelo de mariana como la propuesta son muy similares, donde lo que vario fue un poco el coeficiente de posición, de esta forma se trasladó hacia arriba el nuevo modelo.

8. 6. Conclusión
Algunas aproximaciones sobre el concepto de modelización puede ser la de (Niss, 1989) indica que la modelización matemática es el arte de aplicar matemáticas a situaciones de la vida real. Otra definición seria la que proponen (Bassanezi y Biembengut, 1997) considerando a la modelización es el proceso que utiliza conceptos y técnicas, esencialmente matemáticas, para el análisis de situaciones reales.
La modelización es un proceso que involucra interiorizar los conceptos a la misma vez que estos se aplican a situaciones cotidianas, sin embargo, en el aula se ve que la enseñanza esta preferentemente enfocada hacia el ámbito puramente matemático, basado en la ejercitación y el manejo de algoritmos, y que ofrece una escasa vinculación con problemas de la vida real (Aravena, 2002).
Es por ello que los alumnos ven tan alejada la matemática de sus vidas cotidianas, mostrándose reacios a aprender de ella. Al menos en el caso donde se presenta como una profesora logra a partir de la modelización hacer estudios profundos sobre funciones lineales y afines gracias al modelamiento de situaciones aplicadas a la vida real en este caso el consumo de tabaco.
En lo que se refiere al aspecto matemático o conflicto existente de elegir el mejor modelo que represente los datos, es posible decir que los que se está trabajando implícitamente es el concepto de error y como este afecta la aproximación de los datos de la tabla, además se hace énfasis en la utilización del modelo con el fin de realizar extrapolación o conocer información de cómo se comportan las diferentes situaciones modeladas y con el menor error posible.
7. Bibliografía
1) Aravena y Giménez (2002). Evaluación de procesos de modelización polinómica mediante proyectos. Monografía modelización y matemáticas. Revista UNO. Didáctica de las Matemáticas (pp. 44-56). Editorial GRAO.
2) Bassanezi, R. Biembengut, M. (1997): Modelación matemática: Una antigua forma de investigación – Una nuevo método de enseñanza, Revista Números, N° 32, 13- 25.
3) Niss, M. (1989). Aim and scope of applications and modelling in mathematics curricula. In W. Blum et al. (Eds.), Applications and modelling in learning and teaching mathematics (pp. 22-32). UK, Chichester: Ellis Horwood.