Medidas de Localización

1. Academia de Operaciones

2. Medidas de tendencia central
(y su importancia)
Control Estadístico y Seis Sigma

3. Objetivos
• Identificar la utilidad de utilizar medidas
numéricas para complementar el análisis
Gráfico.
• Conocer las medidas de tendencia central más
relevantes y su utilización

4. Introducción
• Aunque las gráficas vistas en sesiones
anteriores nos dan información sobre la
distribución de los datos, su tendencia central
(y su dispersión); siempre es necesario
complementarlo con medidas numéricas.
• Éstas proveen información puntual sobre la
localización de los datos (y su variabilidad).

5. Medidas de Tendencia
Central
1. Promedio (Media o Valor Esperado)
2. Mediana
3. Moda

6. Medidas de Tendencia
Central
Determinan los valores centrales de la población; esto es el centro de
la distribución. Entre ellas se encuentran:
1. Media
– Promedio aritmético de los datos
2. Mediana
– El punto central de los datos
– Los datos se ordenan del menor al mayor. La mediana será el dato que
esté al centro.
– Si existen dos datos al centro se tomará promedio.
3. Moda
– Es el valor que mas se repite en un conjunto de datos

7. Promedio
Definición: La media aritmética de un conjunto de n medidas
o mediciones 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛 es igual a la suma de los valores
dividida entre n.
A la media de una población (tamaño N) la denotamos por la
letra griega 𝝁 (miu) y para la media de una muestra (tamaño
n) utilizaremos 𝒙 (x barra)
𝜇 =
𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖
𝑁
𝑥 =
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑛

8. Promedio
• En el caso de Datos Agrupados, un promedio
puede obtenerse como sigue:
Donde:
mc = Marca de clase del intervalo i
Pi = Frecuencia relativa (porcentual) del
intervalo i
𝑥 =
𝑖=1
𝑛
𝑚𝑐𝑖 ∗ 𝑃𝑖

9. Promedio
• Consideremos el siguiente ejemplo:
Clase Frecuencia Relativa Porcentaje
[80,100) 4 0.08 8
[100,120) 7 0.14 14
[120,140) 9 0.18 18
[140,160) 13 0.26 26
[160,180) 9 0.18 18
[180,200) 5 0.10 10
[200,220] 3 0.06 6
total 50 1.00 100

10. Promedio
• Por lo tanto, el promedio se obtiene como:
Intervalo
Marca de Clase
(MC)
Frecuencia
Relativa (FR)
MC*FR
[80, 100) 90 0.08 7.2
[100, 120) 110 0.14 15.4
[120, 140) 130 0.18 23.4
[140, 160) 150 0.26 39.0
[160, 180) 170 0.18 30.6
[180, 200) 190 0.10 19.0
[200, 220] 210 0.06 12.6
Promedio 147.2

11. Ejercicio 1
• Individual. Para las siguientes calificaciones,
Obtener el valor del promedio de las dos
maneras:
• Sin agrupar
• Utilizando un histograma de 5 clases (no es
necesario hacer el gráfico:
76 96 66 78 52 86 75 78 74 88
74 82 76 72 68 84 62 92 82 70

12. Promedio
• Bajo los supuestos de normalidad,
independencia y aleatoriedad, el promedio
resulta ser el dato estadístico que minimiza el
error en la estimación.
• Asumiendo el ejemplo de las calificaciones:
Archivo Demostración Promedio.xls
76 96 66 78 52 86 75 78 74 88
74 82 76 72 68 84 62 92 82 70

13. Promedio
• Conveniencias:
– Cálculo sencillo
– Intervienen todos los datos.
– Su valor es único.
– Se usa con frecuencia para comparar poblaciones,
– Se interpreta como "punto de equilibrio" o
"centro de masa" del conjunto de datos, ya que
tiene la propiedad de equilibrar las desviaciones
de los datos respecto de su propio valor:

14. Sensibilidad del Promedio
• Sin embargo, es muy fácil pensar que dos
muestras (o poblaciones) son iguales (o
equivalentes) porque su promedio es igual.
• Esto no es del todo cierto. Supongamos dos
muestras n1 y n2:
n1 {1, 2, 3, 4, 5} 𝑥 = 3
n2 {1, 2, 4, 4, 4} 𝑥 = 3
¿Qué puedes concluir?

15. Sensibilidad del Promedio
• El promedio es un buen estimador del centro
de la población (en el caso normal)
• El segundo caso (anterior), se presenta
mucho en distribuciones sesgadas. Esto
comúnmente ocurre cuando:
– Se muestrea sobre uno de los extremos de la
población o
– El mecanismo de muestreo no es aleatorio.
– Se trabaja con procesos automatizados o de
optimización

16. Sensibilidad del Promedio
• Por ejemplo, consideremos los siguientes
datos (Cópialos en una hoja en Excel):
10, 40, 50, 30, 60, 40, 30, 20, 10, 10, 30, 30, 30
¿Cuál es el promedio de ésta serie?

17. Sensibilidad del Promedio
• Ahora, para esa serie, agrega a la derecha el
valor de 1000.
– ¿Qué pasó con el promedio?
• Ahora en las siguientes tres celdas de la
derecha, agrega los valores 0, 0, -10.
– ¿Qué pasó ahora?
¿Qué tan estable es el promedio ante estos
cambios?

18. Mediana
• Se simboliza como Me o como m
• Representa el quincuagésimo percentil de los
datos.
(El dato del centro)
• En el caso de que el número de datos sea par,
entonces se obtendrá como el promedio de
los dos datos del centro:
𝑀𝑒 =
𝑛
2
+
𝑛
2
+ 1
2

19. Mediana
• En el caso de datos agrupados:
– Se encuentra en el intervalo donde la frecuencia
acumulada llega hasta la mitad de la suma de las
frecuencias absolutas.
(Buscar el intervalo en el que se encuentre N / 2)
Luego, aplicamos la siguiente fórmula:
Li-1 es el límite inferior de la clase donde se
encuentra la mediana.
N / 2 es la mitad de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase
mediana.
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano.
ti es la amplitud de los intervalos.

20. Ejemplo
• Individual. Para las siguientes calificaciones,
Obtener el valor de la mediana
Al ordenar los datos, nos damos cuenta que la
mediana es 77 {(76+78)/2}.
76 96 66 78 52 86 75 78 74 88
74 82 76 72 68 84 62 92 82 70
52 62 66 68 72 74 74 75 76 76
78 78 82 82 84 86 88 92 96 70

21. Ejemplo
• Para el caso de Datos Agrupados, retomemos
el ejemplo:
Intervalo Frecuencia
Frecuencia
Acumulada
[80, 100) 4 4
[100, 120) 7 11
[120, 140) 9 20
[140, 160) 13 33
[160, 180) 9 42
[180, 200) 5 47
[200, 220] 3 50
N/2= 25

22. Ejemplo
• Al aplicar la fórmula:
• Por lo tanto, el valor de la mediana es 147.69
Li Es el límite inferior de la clase donde se
encuentra la mediana.
N / 2 Es la mitad de las frecuencias absolutas.
Fi-1 Es la frecuencia acumulada anterior a la clase
mediana.
fi Es la frecuencia absoluta del intervalo mediano.
ti Es la amplitud de los intervalos.
𝑴𝒆 = 𝟏𝟒𝟎 +
𝟐𝟓 − 𝟐𝟎
𝟏𝟑
∗ 𝟐𝟎

23. Ejercicio
• Para los datos de las calificaciones analizados
por intervalos, obtener la mediana.

24. Mediana
• A diferencia del promedio, la mediana posee
propiedades que le permiten ser muy útil en
situaciones de distribuciones sesgadas.
• Las principales propiedades son:
– Es menos sensible que la media a oscilaciones de
los valores de la variable.
Un error de transcripción en la serie del
ejemplo anterior en, por ejemplo, el último
número, deja a la mediana inalterada.
20/08/2018 Dr. Samuel Moisés Nucamendi Guillén

25. Mediana
• Además, puede calcularse para datos
agrupados en intervalos, incluso cuando
alguno de ellos no está acotado.
• No se ve afectada por la dispersión. De
hecho, es más representativa que la media
aritmética cuando la población es bastante
heterogénea.

26. Mediana
• Inconvenientes
Sus principales inconvenientes son que en el
caso de datos agrupados en intervalos, su
valor varía en función de la amplitud de éstos.
Por otra parte, no se presta tan bien para
cálculos algebraicos como la media aritmética
(sin embargo veremos algunos casos donde sí
es útil).

27. Moda
• La moda (Mo) simplemente representa el dato
que más se repite en la población (o muestra).
• Es muy útil para saber, en caso de tener que
seleccionar elementos aleatoriamente, qué
valor es más probable que salga.
• Para datos que siguen una distribución
normal, tanto el promedio como la mediana
coinciden con este valor.

28. Ejemplo
• Consideremos el ejemplo de una la encuesta
sobre la marca de automóvil que tienen los
estudiantes.
• Ch=Chevrolet, F= Ford, H=Honda, M= Mazda,
VW= Volkswagen.
• Obtener la moda de los datos
Ch M Ch H F Ch F Ch H Ch
M VW H Ch VW M VW F H H
Ch M Ch M H Ch VW F Ch M
H Ch VW M Ch F Ch H VW Ch
M H Ch VW F H Ch M VW M

29. Ejemplo
• Con un simple recuento, obtenemos lo
siguiente:
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Ch M VW F H
Chart Title

30. Moda
• En el caso de Datos Agrupados:
– Si todos los intervalos tienen la misma amplitud:
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo
que tiene mayor frecuencia absoluta).
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal.
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al
modal.
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior al
modal.
ti Amplitud de los intervalos.

31. Moda
• En el caso de Datos Agrupados:
– Si los intervalos tienen amplitudes distintas:
En primer lugar tenemos que hallar las alturas.
• hi= fi/ ti
Donde:
• hi: altura correspondiente a cada intervalo.
• fi: Frecuencia absoluta del intervalo (también se puede
utilizar la frecuencia acumulada o relativa)
• ti: Amplitud de los intervalos
Luego la clase modal es la que tiene mayor altura.

32. Ejercicio
• Calcular la moda para los datos del ejemplo de
clase:
Intervalo Frecuencia
Frecuencia
Acumulada
[80, 100) 4 4
[100, 120) 7 11
[120, 140) 9 20
[140, 160) 13 33
[160, 180) 9 42
[180, 200) 5 47
[200, 220] 3 50
Respuesta: 150

33. Moda
• Propiedades
–Cálculo sencillo.
–Interpretación muy clara.
–Al depender sólo de las frecuencias,
puede calcularse para variables
cualitativas. Esto se conoce
informalmente como "retrato robot".

34. Moda
• Inconvenientes:
– Su valor es independiente de la mayor parte de los
datos, lo que la hace muy sensible a variaciones
muestrales.
– Por otra parte, en variables agrupadas en
intervalos, su valor depende excesivamente del
número de intervalos y de su amplitud.
– Grandes variaciones en los datos fuera de la
moda, no afectan en modo alguno a su valor.

35. Moda
• Inconvenientes
– No siempre se sitúa hacia el centro de la
distribución.
– Puede haber más de una moda.

36. ¿Cuándo usar la media, la mediana o
la moda?
• Estas son formas de destacar la respuesta
típica en datos a nivel de intervalo.
• El uso de la media o el promedio, puede llevar
a malinterpretar los datos, si estos se inclinan
hacia uno lado u otro, i.e. si están “sesgados”
estadísticamente.

37. Ejemplo
• Se realiza una encuesta entre los alumnos de
la UP preguntándoles cuántas veces desean
casarse.
• La gran mayoría contestará que una sola vez,
mientras que muy pocas personas
contestarían con un número mayor a 10.
• En este caso, la distribución estará sesgada
hacia la izquierda (valores bajos).

38. Ejemplo
• Si al reportar el promedio, ocurrió que alguna
persona dio un valor muy alto, el promedio no
será típico.
• En estos casos, sería mejor reportar la
mediana.

39. ¿Cuándo usar la media, la mediana o
la moda?
• Cuando los datos no estén sesgados (por
ejemplo, distribuidos normalmente) la media
y la mediana serán esencialmente muy
cercanas (llegando a coincidir).

40. ¿Cuándo usar la media, la mediana o
la moda?
• También puede utilizar la moda, por ejemplo,
si hay una encuesta que mide el aumento de
conocimiento después de una capacitación y
se quiere saber el puntaje más común de los
participantes.

41. ¿Preguntas?

42. Tarea 2
Por parejas:
• Utilizando la información del histograma
realizado con los datos del archivo Hist1.xls,
obtener:
– La media, mediana y moda utilizando los datos
agrupados (si necesita apilar antes, hágalo).
– Comprobar la precisión de los cálculos hechos arriba
al determinar la media, mediana y Moda utilizando los
datos sin agrupar.
Entregar en Moodle (pestaña HW2) a más tardar
mañana a las 11:59 pm (En la parte de texto,
anotar nombres completos y ID de los integrantes)