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IES Profesor Máximo Trueba 2016/2017 Actividad ESO
Triángulo de Sierpinski página 1/5
TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
El matemático polaco Waclav Sierpinski (1882-1969), construyó este triángulo en 1919
del modo siguiente:
Paso Inicial (0): Construimos un triángulo equilátero de lado a:
Paso 1: Uno los puntos medios de los lados y resulta la siguiente figura:
Tres triángulos equiláteros sombreados y un hueco que es otro triángulo equilátero.
Paso 2 : Repetimos el proceso en cada uno de los triángulos sombreados y obtengo la
siguiente figura:
Paso 3: Repetimos lo mismo en cada uno de los triángulos equiláteros sombreados
obteniendo la figura siguiente:
Y así……...
Observamos que en cada paso el triángulo de Sierpinski se obtiene con tres
figuras del paso anterior, siendo cada una de ellas semejante a la del paso anterior y
con razón de semejanza de
1
2
.
Vemos que en cada paso el triángulo de Sierpinski está formado por tres copias
auto-semejantes del paso anterior.
Un objeto de estas características auto-semejante en distintas escalas se llama
fractal, así pues, el triángulo de Sierpinski es un ejemplo de un fractal
IES Profesor Máximo Trueba 2016/2017 Actividad ESO
Triángulo de Sierpinski página 2/5
CALCULO DE TRIÁNGULOS, PERÍMETROS Y ÁREAS
DE LOS TRIÁNGULOS DE SIERPINSKI: PROGRESIONES
Observando los triángulos de la figura.
4.- Calcula cuantos triángulos sombreados se generarán cuando hayamos aplicado 20
veces el mismo procedimiento.
5.- PERÍMETROS:
Supongamos que la longitud del lado del triángulo inicial es a
1.- Calcula la longitud del lado de cada uno de los triángulos en cada paso
2.- Calcula el perímetro del triángulo en cada uno de los pasos
3.- Calcula la suma del perímetro de todos los triángulos en cada uno de los pasos
Con esos datos rellena la siguiente tabla
Paso
Nº
triángulos
Long. de un
lado del
triángulo
Perímetro
triángulo
Perímetro
total
0 1 a 3a 3a
1 3
𝑎
2
3𝑎
2
9𝑎
2
2
3
...
n
1.- Calcula el número de triángulos sombreados de
cada uno de los sucesivos pasos y escribe la
sucesión que se forma.
2.- ¿Qué tipo de sucesión es?
3.- Escribe su término general
IES Profesor Máximo Trueba 2016/2017 Actividad ESO
Triángulo de Sierpinski página 3/5
¿Qué pasará con el perímetro total si el número de pasos aumenta tanto
como queramos?
6.- ÁREAS DE LOS TRIÁNGULOS
1.- Calcula el área de un triángulo equilátero de lado a. Para ello halla la altura por el
Teorema de Pitágoras
2.- Calcula en cada paso el área de los triángulos sombreados
3.- Calcula el área que queda del triángulo ( el hueco) en cada uno de los pasos en
relación con el área del primer triángulo
Con esos datos rellena la siguiente tabla
Paso
nº de
triángulos
Lado del
triángulo
Altura del
triángulo
Área del
triángulo
Área total
triángulos
Área
restante
0 1 a
𝑎
2
√3
𝑎2
4
√3 0
1
2
3
...
n
¿Qué piensas que ocurrirá con el área restante si repetimos el proceso tantas veces
como queramos?
¿Cuánto sumaría el área de todos los triángulos que levantemos?
IES Profesor Máximo Trueba 2016/2017 Actividad ESO
Triángulo de Sierpinski página 4/5
PASO A TRES DIMENSIONES: (Nuestro árbol de Navidad)
1. ¿Cuántos tetraedros hay en cada paso? Escribe la sucesión que se forma
¿Qué tipo de sucesión es?
Escribe su término general
2. Calcula el área total de un tetraedro de lado a:
IES Profesor Máximo Trueba 2016/2017 Actividad ESO
Triángulo de Sierpinski página 5/5
3. Calcula la cantidad de papel necesario que hemos necesitado para cada paso
rellenando la siguiente tabla:
Paso
nº de
tetraedros
Arista del
tetraedro
Altura de la
cara del
tetraedro
Área
tetraedro
Área
total
tetraedros
Área
restante
0 1 a
𝑎
2
√3 𝑎2
√3 𝑎2
√3 0
1 4
𝑎
2
𝑎
4
√3 𝑎2
4
√3
2
3
...
N
¿Qué piensas que ocurrirá con el área restante si repetimos el proceso tantas veces como
queramos?
¿Cuánto sumaría el área de todos los tetraedros que levantemos?
4. Para hallar el volumen de nuestro tetraedro de Sierpinski necesitamos conocer la
altura de uno de ellos. Para ello debes recordar:
 En un triángulo equilátero los puntos notables coinciden
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baricentro
5. Calcula la altura de un tetraedro
IES Profesor Máximo Trueba 2016/2017 Actividad ESO
Triángulo de Sierpinski página 6/5
6. Calcula el volumen de un tetraedro. Recuerda que es una pirámide:
7. Rellena la tabla con los datos obtenidos anteriormente:
Paso
nº de
tetraedros
Arista del
tetraedro
Altura del
tetraedro
Área
triángulo(base)
Volumen de
un tetraedro
Volumen total
de tetraedros
0 1 a
𝑎
3
√6
𝑎2
4
√3
√2𝑎3
12
√2𝑎3
12
1
2
3
...
n
¿Qué altura tiene nuestro árbol de Navidad? Mide a=
¿Cabe por alguna puerta del instituto?
¿Cuánto debería medir a para que sea posible traspasarlo de aula en aula?

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Ficha sierpinski def2

  • 1. IES Profesor Máximo Trueba 2016/2017 Actividad ESO Triángulo de Sierpinski página 1/5 TRIÁNGULO DE SIERPINSKI El matemático polaco Waclav Sierpinski (1882-1969), construyó este triángulo en 1919 del modo siguiente: Paso Inicial (0): Construimos un triángulo equilátero de lado a: Paso 1: Uno los puntos medios de los lados y resulta la siguiente figura: Tres triángulos equiláteros sombreados y un hueco que es otro triángulo equilátero. Paso 2 : Repetimos el proceso en cada uno de los triángulos sombreados y obtengo la siguiente figura: Paso 3: Repetimos lo mismo en cada uno de los triángulos equiláteros sombreados obteniendo la figura siguiente: Y así……... Observamos que en cada paso el triángulo de Sierpinski se obtiene con tres figuras del paso anterior, siendo cada una de ellas semejante a la del paso anterior y con razón de semejanza de 1 2 . Vemos que en cada paso el triángulo de Sierpinski está formado por tres copias auto-semejantes del paso anterior. Un objeto de estas características auto-semejante en distintas escalas se llama fractal, así pues, el triángulo de Sierpinski es un ejemplo de un fractal
  • 2. IES Profesor Máximo Trueba 2016/2017 Actividad ESO Triángulo de Sierpinski página 2/5 CALCULO DE TRIÁNGULOS, PERÍMETROS Y ÁREAS DE LOS TRIÁNGULOS DE SIERPINSKI: PROGRESIONES Observando los triángulos de la figura. 4.- Calcula cuantos triángulos sombreados se generarán cuando hayamos aplicado 20 veces el mismo procedimiento. 5.- PERÍMETROS: Supongamos que la longitud del lado del triángulo inicial es a 1.- Calcula la longitud del lado de cada uno de los triángulos en cada paso 2.- Calcula el perímetro del triángulo en cada uno de los pasos 3.- Calcula la suma del perímetro de todos los triángulos en cada uno de los pasos Con esos datos rellena la siguiente tabla Paso Nº triángulos Long. de un lado del triángulo Perímetro triángulo Perímetro total 0 1 a 3a 3a 1 3 𝑎 2 3𝑎 2 9𝑎 2 2 3 ... n 1.- Calcula el número de triángulos sombreados de cada uno de los sucesivos pasos y escribe la sucesión que se forma. 2.- ¿Qué tipo de sucesión es? 3.- Escribe su término general
  • 3. IES Profesor Máximo Trueba 2016/2017 Actividad ESO Triángulo de Sierpinski página 3/5 ¿Qué pasará con el perímetro total si el número de pasos aumenta tanto como queramos? 6.- ÁREAS DE LOS TRIÁNGULOS 1.- Calcula el área de un triángulo equilátero de lado a. Para ello halla la altura por el Teorema de Pitágoras 2.- Calcula en cada paso el área de los triángulos sombreados 3.- Calcula el área que queda del triángulo ( el hueco) en cada uno de los pasos en relación con el área del primer triángulo Con esos datos rellena la siguiente tabla Paso nº de triángulos Lado del triángulo Altura del triángulo Área del triángulo Área total triángulos Área restante 0 1 a 𝑎 2 √3 𝑎2 4 √3 0 1 2 3 ... n ¿Qué piensas que ocurrirá con el área restante si repetimos el proceso tantas veces como queramos? ¿Cuánto sumaría el área de todos los triángulos que levantemos?
  • 4. IES Profesor Máximo Trueba 2016/2017 Actividad ESO Triángulo de Sierpinski página 4/5 PASO A TRES DIMENSIONES: (Nuestro árbol de Navidad) 1. ¿Cuántos tetraedros hay en cada paso? Escribe la sucesión que se forma ¿Qué tipo de sucesión es? Escribe su término general 2. Calcula el área total de un tetraedro de lado a:
  • 5. IES Profesor Máximo Trueba 2016/2017 Actividad ESO Triángulo de Sierpinski página 5/5 3. Calcula la cantidad de papel necesario que hemos necesitado para cada paso rellenando la siguiente tabla: Paso nº de tetraedros Arista del tetraedro Altura de la cara del tetraedro Área tetraedro Área total tetraedros Área restante 0 1 a 𝑎 2 √3 𝑎2 √3 𝑎2 √3 0 1 4 𝑎 2 𝑎 4 √3 𝑎2 4 √3 2 3 ... N ¿Qué piensas que ocurrirá con el área restante si repetimos el proceso tantas veces como queramos? ¿Cuánto sumaría el área de todos los tetraedros que levantemos? 4. Para hallar el volumen de nuestro tetraedro de Sierpinski necesitamos conocer la altura de uno de ellos. Para ello debes recordar:  En un triángulo equilátero los puntos notables coinciden  Dos tercios de la longitud de cada mediana están entre el vértice y el baricentro 5. Calcula la altura de un tetraedro
  • 6. IES Profesor Máximo Trueba 2016/2017 Actividad ESO Triángulo de Sierpinski página 6/5 6. Calcula el volumen de un tetraedro. Recuerda que es una pirámide: 7. Rellena la tabla con los datos obtenidos anteriormente: Paso nº de tetraedros Arista del tetraedro Altura del tetraedro Área triángulo(base) Volumen de un tetraedro Volumen total de tetraedros 0 1 a 𝑎 3 √6 𝑎2 4 √3 √2𝑎3 12 √2𝑎3 12 1 2 3 ... n ¿Qué altura tiene nuestro árbol de Navidad? Mide a= ¿Cabe por alguna puerta del instituto? ¿Cuánto debería medir a para que sea posible traspasarlo de aula en aula?