1. Curso: Álgebra y Álgebra Lineal
Clase 2: Tipos de Funciones y Función Inversa
2. Contenidos (Clase 2)
Álgebra y Álgebra Lineal
N
I
V
E
L
A
C
I
Ó
N
Unidad 1 Funciones Reales
Resultado de aprendizaje
Aplicar funciones para analizar
situaciones reales en el ámbito de la
Ingeniería
3 sesiones
Clase 1
• Definición de función
• Dominio y recorrido de una
función
Clase 2
• Tipos de funciones
• Función Inversa
Clase 3
Aplicación de funciones
3. Tipos de funciones
Definición de función inyectiva (o uno a uno)
Sea f una función real con dominio A y codominio B, es decir:
; A y B son subconjuntos de ℝ.
Se llama función inyectiva si para elementos distintos de A, sus
respectivas imágenes son distintas, es decir:
𝒙 𝟏≠ 𝒙 𝟐 → 𝒇 𝒙 𝟏 ≠ 𝒇 𝒙 𝟐 ; 𝒙 𝟏 , 𝒙 𝟐 𝝐 A
4. ¿Sabes el número de tu cédula de identidad?
“A personas distintas les
corresponden identidades distintas”
Ejemplo de función inyectiva
5. ¿ Sabes el número de tu cédula de identidad?
f: A → B , donde:
A = { alumnos de este curso}
B =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑐é𝑑𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜
A B
6. Aplicación de Función Inyectiva
Un algodonero recoge 30 Kg cada hora, y demora media hora preparándose todos los
días cuando inicia la jornada. La función lineal que representa esta situación es
y = 30x – 15 donde y representa los Kg de algodón recogido y x el tiempo transcurrido
en horas.
¿Cuantos Kg de algodón se recogerán en una jornada de 8 horas?
7. Ejemplo matemático función inyectiva
Sea f: ℝ → ℝ; f(x) = x , la función identidad,
cuyo gráfico es el siguiente:
Del gráfico se deduce que:
La función identidad corresponde a una recta.
La función es inyectiva pues a elementos distintos de A=ℝ,
le corresponden imágenes distintas en B = ℝ.
La recta L intersecta a f(x) sólo en un punto → 𝒇 es inyectiva
Demostración de que f es inyectiva
Sean 𝑥1 𝑦 𝑥2 en el D(f) = ℝ ; 𝑥1 ≠ 𝑥2
𝑓(𝑥1) = 𝑥1
𝑓(𝑥2) = 𝑥2
𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓 𝑥2 , ya que 𝑥1 ≠ 𝑥2
Por definición de f
→ la función f es inyectiva
L_______________
8. Ejemplo función no inyectiva
f: A → B, donde:
A= {Andrés, Ana, Roberto, Pamela, Cecilia, Rodrigo}
B = {grupos sanguíneos]
Andrés
Ana
Roberto
Pamela
Cecilia
Rodrigo
A
B
AB
O
A B
9. Ejemplo matemático de función no inyectiva
Sea f: ℝ → ℝ; f(x) = 𝒙 𝟐 , la función cuadrática,
cuyo gráfico es el siguiente:
Del gráfico se deduce que:
La función no es inyectiva pues a elementos distintos de A=ℝ,
le corresponden imágenes iguales en B = ℝ por ejemplo:
f(3) = f (-3) = 𝟗 y 3 ≠ −𝟑
La recta L intersecta a la función en dos puntos → no inyectiva
Observamos que si restringimos el D(f) sólo a los reales positivos (o negativos), la
función resulta ser inyectiva, lo que veremos en la siguiente diapositiva.
_____________L
10. Restringir el dominio para que la función sea inyectiva
Sea f: ℝ → ℝ; f(x) = 𝒙 𝟐
, la función cuadrática →
Del gráfico se deduce que:
La función no es inyectiva pues a elementos distintos de A=ℝ,
le corresponden imágenes iguales en B = ℝ por ejemplo:
f(3) = f (-3) = 𝟗 y 3 ≠ −𝟑
La recta L intersecta a la función en dos puntos
Observamos que si restringimos el dominio
de la función sólo a los reales positivos
(o sólo a los reales negativos) ,
la función resulta ser inyectiva;
pues los cuadrados de dos reales positivos distintos son distintos.
En este caso la recta L intersecta a la función sólo en un punto.
L
L
11. Función sobreyectiva
Definición de función sobreyectiva
Sea f una función real con dominio A y codominio B, es decir:
; A y B son subconjuntos de ℝ
Se llama función sobreyectiva si el recorrido de la función es
igual a su codominio, es decir, si se cumple que Rec(f) = B.
13. Restrigir el codominio de una función para que sea sobreyectiva
Observación(restringir el codominio al recorrido)
Si una función f no es sobreyectiva, se puede redefinir f , igualando el codominio
con el recorrido de la función, de manera que se transforme en una función
sobreyectiva.
Veamos el siguiente caso
Sea f: ℝ → [0, +∞] ; f(x) = 𝒙 𝟐
→ función cuadrática → →
Esta función es la misma del ejemplo anterior, pero se ha
cambiado el conjunto de llegada(codominio de la función)
por el recorrido de la función.
Del gráfico observamos que Rec(f) = [0, +∞]
De la expresión analítica tenemos que Cod(f) = [0, +∞]
Como Rec(f) = Cod(f) → f es sobreyectiva
14. Análisis de la función cuadrática f(x) = 𝑥2
Análisis respecto de la sobreyectividad
Sea f: ℝ → ℝ; f(x) = 𝒙 𝟐 → no es sobreyectiva
Sea f: ℝ → [0, +∞] ; f(x) = 𝒙 𝟐 → es sobreyectiva
Observamos que
para una misma
expresión analítica,
en este caso
f(x) = 𝒙 𝟐,
la función puede ser
sobreyectiva o no;
sólo va a depender
del conjunto de
llegada.
Rec(f) = [0, +∞]
15. Análisis de la función cuadrática f(x) = 𝑥2
Análisis respecto de la inyectividad
Sea f: ℝ → ℝ; f(x) = 𝒙 𝟐 → no es inyectiva
Sea f: 0, +∞ → [0, +∞] ; f(x) = 𝒙 𝟐 → es inyectiva
Observamos que
para una misma
expresión analítica,
en este caso
f(x) = 𝒙 𝟐,
la función puede ser
inyectiva o no; sólo va
a depender del
conjunto de partida.
16. Función biyectiva
Definición de función biyectiva
Si una función real es inyectiva y sobreyectiva a la vez; entonces
se dice que es biyectiva.
Observación
Las funciones biyectivas son importantes porque son aquellas
que poseen función inversa, las que veremos más adelante.
18. Ejemplo función no biyectiva
A B
f
La función que se presenta
en el diagrama no es biyectiva,
porque no es inyectiva ( o uno
a uno).
A = { alumnos del curso}
B= { partidos políticos}
19. Inversa de una función
Introducción
La “idea” de la inversa de una función
podemos representarla, a través del siguiente
diagrama →
y = f(x) es una función que relaciona las variables
x e y, donde y queda en términos de x .
la función inversa de f, será otra función que
relaciona las mismas variables; pero en este caso
x queda en términos de y .
la función inversa representa el proceso inverso de
lo que realiza f , volviendo así al punto de partida.
Podemos observar que:
El dominio de 𝒇− 𝟏
es el recorrido de f
El recorrido de 𝒇− 𝟏
es el dominio de f
→ 𝒇− 𝟏 ∶ 𝑹𝒆𝒄 𝒇 → D(f)
y =x y
20. Inversa de una función
Definición de la inversa de una función
Sea 𝑓 una función biyectiva; f: 𝐀 → 𝑩 , se define la función inversa de f,
la cual se denota por 𝑓−1
, a la función: 𝒇− 𝟏
: B → A y se cumple
que 𝑓−1
𝑦 = 𝑥 ⇔ 𝑓 𝑥 = 𝑦 para cualquier 𝑦 en B.
En el siguiente diagrama se puede visualizar la
relación entre una función y su inversa .
Podemos observar que:
El dominio de 𝒇− 𝟏
es el recorrido de f
El recorrido de 𝒇− 𝟏 es el dominio de f
→ 𝒇− 𝟏
∶ 𝑹𝒆𝒄 𝒇 → D(f)
x
x y
y =
yx
21. Ejemplo: Función inversa
f: A → B → 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑏𝑖𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
Del diagrama se tiene que:
f(-2) = 2 y 𝑓−1
2 = −2
f(-1) = 3 y 𝑓−1 3 = −1
f(0) = 4 y 𝑓−1
4 = 0
f(1) = 5 y 𝑓−1 5 = 1
f(2) = 6 y 𝑓−1 6 = 2
↘ representa el proceso inverso de f
Observación
En este ejemplo queda claro que la función inversa tiene como uso principal
resolver una ecuación, en este caso despejar x de y = x + 4; donde y = f(x).
y = f(x)x
xy = 𝒇−𝟏
(x)
22. Ejemplo matemático de función inversa
Hallar la función inversa de f: ℝ → ℝ ; f(x) = 3x+5 → función biyectiva
Indicación: Para obtener la inversa de f, se hace lo mismo que para calcular el recorrido de f
Desarrollo
Sea y = f(x) 𝜖 Rec( f) → y = 3x +5 → hay que despejar x
→ y – 5 = 3x
→ x =
𝑦 −5
3
→ 𝒇−𝟏
𝒙 =
𝒙−𝟓
𝟑
Luego: f: ℝ → ℝ ; f(x)=3x+5 y 𝒇−𝟏
: ℝ → ℝ ; 𝒇−𝟏
𝒙 =
𝒙−𝟓
𝟑
23. Aplicación función inversa
Suponga que se espera que un objeto de arte adquirido por $5.000.000 aumente su valor a una razón constante de $50.000 por
año durante los próximos 40 años.
a) Escriba la función que prediga el valor de la obra de arte en los próximos cuarenta años.
b) ¿Cuál será su valor 31 años después de la fecha de adquisición?
c) ¿Cuántos años transcurren para que la obra de arte tenga un valor de $5.550.000, $5.800.000, $6.500.000 y $6.800.000 ?
Desarrollo
a) V(t) = 5.000.000 + 50.000 t ; t en años; 0 ≤ t ≤ 40 →
la variable independiente es el tiempo t
la variable independiente es el valor de adquisición ($)
b) V(31) = 5.000.000 + 50.000 ∙ 31 = $6.550.000
c) i) t = 11 años para un valor de $5.550.000
ii) t = ? para un valor de $5.800.000
iii) t = ? para un valor de $6.500.000
iv) t = ? para un valor de $6.800.000
t
V(t) en millones
5
10
7
40
▪
24. Aplicación función inversa
Desarrollo
V(t) = 5.000.000 + 50.000 t ; t en años; 0 ≤ t ≤ 40 y V(t) representa el valor de la obra de arte pasados t
años
la variable independiente es el tiempo t
la variable independiente es el valor de adquisición ($)
Para contestar (c), lo que en realidad conviene , es encontrar la inversa de V(t); pues nos va a dar en forma
explícita el tiempo que debe transcurre para obtener el valor deseado.
Para encontrar la inversa de V(t) , despejamos t → t =
𝑽−𝟓.𝟎𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎
𝟓𝟎.𝟎𝟎𝟎
→
t($5.550.000) =
𝟓.𝟓𝟓𝟎.𝟎𝟎𝟎−𝟓.𝟎𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎
𝟓𝟎.𝟎𝟎𝟎
= 11 años , idem con los otros valores a calcular
Podemos afirmar que : 𝑽−𝟏
(t) =
𝑽−𝟓.𝟎𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎
𝟓𝟎.𝟎𝟎𝟎
, donde:
la variable independiente es el valor de adquisición de la obra de arte
la variable dependiente es el tiempo transcurrido para obtener el valor de adquisición V.
25. Bibliografía
Libros
• Zill, D. G. (2000). Algebra y Trigonometría. (2ª Ed). Bogotá, Colombia: McGraw-Hill
Páginas web
• http://www.vitutor.com/fun/2/a_2_e_1.html
• http://www.portaleducativo.net/biblioteca/funcion_inversa_4.jpg
• http://matematica.laguia2000.com/general/funcion-inversa#ixzz4WQSfUWTB
• https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva
