Gestion de inventarios_i

Modelos de gestión de
inventarios (I)
MIGUEL ANGEL GARCIA MADURGA

Modelos de gestión de inventarios
 Introducción
– Existen diferentes modelos de gestión de inventarios:
Gestión de inventarios con demanda independiente
Modelos
monoproducto
Modelos
determinísticos
Con demanda
constante
Suministro
instantáneo
Sin rotura
Con
rotura
Suministro gradual Sin rotura
Con
rotura
Con demanda
variable
• Tamaño medio
• Silver-Meal
• Coste unitario mínimo
• Partes por periodo
Modelos no
determinísticos o
modelos
probabilísticos
• Demanda constante y plazo de entrega
aleatorio
• Demanda aleatoria y plazo de entrega
constante
• Demanda y plazo de entrega aleatorios
• Stocks de anticipación (con variable continua o
discreta)
• Stocks de fluctuación (con variable continua o
discreta)
Modelos multiproducto o Gestión agregada de stocks

Modelos determinísticos con demanda constante
1. Modelos de suministro instantáneo sin rotura:
• Es el modelo más básico de gestión de inventarios con
demanda independiente. Es el más sencillo pero el que
más restricciones de uso presenta.
• En este modelo, los productos que adquieren las empresas
comerciales y las materias primas que compran las
empresas transformadoras son suministrados por el
proveedor de una sola vez y en una determinada
cantidad.

• Esta cantidad suministrada tiene asociados unos costes de
forma que las empresas calcularán el volumen
óptimo/económico de pedido o de compra que deben
realizar para que dichos costes sean mínimos.
• Los modelos de suministro instantáneo sin rotura los vamos
a estudiar considerando las dos formas de revisión que
puede llevar a cabo la empresa:
– sistema de revisión continua
– y sistema de revisión periódica.

a) Modelos de suministro instantáneo sin rotura y sistema de
revisión continua
– Premisas del modelo:
• la demanda es conocida y con tasa
constante.
• no existen descuentos.
• no existen roturas de inventario.
• la recepción del pedido se hace en una sola
remesa de tamaño Q.
• y no existen restricciones al tamaño del lote.

revisión continua
La evolución de los inventarios en este modelo tiene este aspecto:
Q: Remesas de
tamaño fijo
Q/2 :número medio
anual de unidades
almacenadas del
artículo.

revisión continua
– Parte de una situación como la representada en la figura
anterior en la que se consideran conocidos con certeza la
demanda, los tiempos de suministro y los costes unitarios. Se
supone que no existen costes de ruptura y que el consumo de
los artículos es uniforme, agotándose el inventario justo en el
momento en que se recibe el siguiente pedido, no existiendo,
por tanto, stock de seguridad.
– En la realidad estas características no suelen ser presentarse.
Sin embargo este modelo es bastante utilizado debido a su
sencillez y el escaso error que se comete con estos supuestos
restrictivos.

revisión continua. CANTIDAD DE PEDIDO
Al no existir costes de rotura, el coste total anual de gestión de
inventarios CT(Q) en función del tamaño Q será la suma del
coste de compra de la demanda anual más los costes de
emisión de pedidos y los costes de almacenamiento:
Donde
D/Q es el número de pedidos que se emitirán en el año
y Q/2 es el número medio anual de unidades almacenadas del
artículo.
2
Q
Pi)a(
Q
D
e+DP=CT(Q) 

El objetivo será minimizar el coste anual de gestión de
inventarios, para lo que se deriva e iguala a cero la función
anterior CT(Q).
A la cantidad Q* que minimiza la función de costes se la
llama lote óptimo o lote económico de pedido (Economic
Order Quantity, EOQ) y a su expresión se la conoce también
con el nombre de fórmula de Harris-Wilson.
Pia
De2
Q*0
2Q
De
2
Pi)(a
Q
C(Q)










Gráficamente:
2
Q
Pi)a(
Q
D
e+DP=CT(Q) 

El número óptimo de pedidos anuales N* y el tiempo óptimo
entre dos pedidos consecutivos T* serán respectivamente:
*Q
D
N* 
*N
laboralesdiasnº
T*
años
*N
1
T* días
*N
360
T*
días
*N
250
T*

Ejemplo
 Supongamos por ejemplo una empresa de montaje (que vamos a
utilizar como caso práctico a lo largo de todo este tema) que precisa
de 2.000 rodamientos al año (D), siendo el precio de compra de 4
euros por unidad. El coste unitario de almacenamiento es de 5 euros
al año, y el coste de emisión de cada pedido es de 200 euros.
Calcular el lote económico de pedido, el número anual de pedidos,
el tiempo entre pedidos y el coste anual para la empresa.
– NOTA: Las empresas no siempre tienen en cuenta los dos componentes (a+Pi)
calculando el coste de almacenamiento o mantenimiento con tan sólo uno de
ellos. Por lo tanto, nosotros calcularemos dicho coste en función del dato que
dispongamos en cada ejercicio a resolver.

Ejemplo
 La empresa de montaje precisa de 2.000 rodamientos al año (D),
siendo el precio de compra de 4 euros por unidad. El coste unitario de
almacenamiento es de 5 euros al año, y el coste de emisión de cada
pedido es de 200 euros.
 El lote económico de pedido será entonces:
rodamientos
• El número anual de pedidos será N* = D/Q* = 2.000/400 = 5 pedidos
• Se efectuará un pedido cada T* = 1/N* = 1/5 = 0,2 años o T* = 360/5 =
72 días. Suponiendo que la empresa trabaja 250 días al año, se
realizará un pedido cada T* = 250/5 = 50 días laborables.
• El coste total anual para la empresa será:
400
5
000.22002
Pia
De2
=*Q 




euros10.000=
2
400
5
400
2.000
200+2.0004=CT(400)
2
*Q
Pi)a(
*Q
D
e+DP=CT(Q*) 

revisión continua. PUNTO DE PEDIDO
– El punto de pedido (Pp o r*) es el número de unidades que debe
haber en el almacén en el momento de formular una orden de
compra.
– Este valor dependerá del plazo de entrega o tiempo de
aprovisionamiento t (tiempo que transcurre desde que se lanza
una orden de pedido hasta que se recibe en el almacén, medido
en días)y de su relación con el tiempo cíclico de pedido T*.
– Como mínimo, habrá que lanzar el pedido t días antes de que el
inventario se agote porque así la llegada del nuevo suministro
evitará la rotura de inventario.

1. Si el tiempo de aprovisionamiento es igual a cero (t = 0), es
decir, el suministro es inmediato, bastará con lanzar la
orden de pedido justo en el momento en que se haya
agotado el inventario y el punto de pedido será de cero
unidades.
» Un entorno logístico Justo a Tiempo (JIT) tendría como
objetivo suministro inmediatos y cero inventarios .

2. Si el tiempo de aprovisionamiento es menor que el tiempo
cíclico de pedido (0<t≤T*), los lanzamientos de pedido se
realizarán sin que haya pedidos pendientes de recibir,
cuando resten existencias para t días con lo que el punto
de pedido se calculará como el producto de la demanda
diaria (d=D/250) por el tiempo de aprovisionamiento:
r* = t x d

r*: Punto de pedido
t: tiempo de aprovisionamiento
d: demanda diaria
T: tiempo óptimo entre pedidos

3. Si t > T*, antes de recibir el pedido que se acaba de ordenar
llegarán otros pedidos que ya habían sido lanzados
anteriormente. En este caso, habrá que lanzar un nuevo
pedido cuando las existencias actuales más los pedidos
pendientes de recibir alcancen el valor r* = (t – T*) x d + Q
Es decir, la suma
de lo que se
consume en T* más
lo que se consume
en (t-T*)

– En resumen, cuando t < T, el punto de pedido r es menor que
el lote económico Q, pero cuando t > T el punto de pedido es
mayor que Q:
t < T* r* = t x d r* < Q*
t > T* r* = (t – T*) x d + Q r* > Q*

FORMULARIO
 Modelos de suministro instantáneo sin rotura y sistema de revisión continua
(t < T*) r* = t x d; (t > T*) r* = (t – T*) x d + Q
;
Pia
De2
=*Q


;
*Q
D
N*
*N
laboralesdiasnº
T*;
2
*Q
Pi)a(
*Q
D
e+DP=CT(Q*) 

Ejemplo
 Utilizar los datos de la empresa de montaje (D=2.000 rodamientos al
año; precio de compra = 4 euros por unidad; coste unitario de
almacenamiento =5 euros al año; coste de emisión de cada
pedido = 200 euros; Q* = 400 rodamientos; N* = 5 veces al año; T* =
0,2 años = 50 días laborables) para calcular el punto de pedido:
1. Si el plazo de entrega es t = 10 días laborables
2. Si el plazo de entrega fuese t = 60 días laborables
Suponer que la empresa trabaja 250 días al año

Ejemplo
 Si utilizamos los datos de la empresa de montaje (Q* = 400
rodamientos; N* = 5 veces al año; T* = 0,2 años = 50 días laborables)
para calcular el punto de pedido tendremos:
 Si suponemos un plazo de entrega t = 10 días laborables (t < T*):
 Como la demanda diaria d = D/250 = 2.000/250 = 8 rodamientos por día
laborable, es suficiente con que se lance el pedido cuando quede
inventario justo para esos 10 días, es decir cuando el nivel de inventario
baje de r* = t x d = 10 x 8 = 80 rodamientos.
 Si el plazo de entrega fuese t = 60 días laborables (t > T*):
 Habría que tener en cuenta las cantidades ya pedidas y pendientes
aún de recibir, por lo que el punto de pedido será:
r* = (t – T*) x d + Q= (60-50) x 8 + 400= 480 rodamientos

Ejemplo 37
 El comercio EL CAFETAL mantiene en su inventario un tipo particular
de café, el cual tiene las siguientes características: las ventas son
de 10 paquetes a la semana; el precio de compra para el
comercio es de 60 euros; el coste de emisión de un pedido es de
20 euros por pedido; y el coste anual de almacenamiento es del
30% del precio de compra del producto.
a) ¿Cuántos paquetes deben pedirse cada vez?.
b) ¿Con qué frecuencia debe pedirse el café?.
c) ¿Cuál es el coste anual de pedir y almacenar el café?.
d) ¿Qué efecto tendría sobre el lote económico y sobre el coste
total los siguientes cambios?:
• un aumento de un 50% en la demanda,
• un aumento de un 50% en el coste de almacenamiento.

Ejemplo 38
 La empresa AIRSOL utiliza remaches para la fabricación de autogiros en una cantidad
aproximadamente constante de 5.000 kg. al año. El precio de los remaches es de 20
euros/kg. Los técnicos de la empresa estiman en 200 euros los gastos fijos que cada
pedido les ocasiona y en un 10% sobre el coste del producto, el coste del almacenaje
por kg. y año de almacén. La empresa trabaja 250 días al año.
a) ¿Cuál es el lote óptimo de pedido?
b) ¿Cada cuánto tiempo deben repetirse los pedidos?
c) Si de hecho las estimaciones de los técnicos de la empresa no fueran correctas, sino que los
costes fijos de pedido fueran de 625 euros y ascendiera a un 20% el coste de almacenaje
anual por kg., ¿cuánto estaría perdiendo la empresa por calcular el lote óptimo con
arreglo a las estimaciones de los técnicos?
d) Suponiendo que la estimación del 10% para el gasto de almacenaje es correcta, pero que
ignorándose el coste fijo de pedido, el responsable de compras pide lotes de 800 kg,
¿cuánto tendría que valer este gasto fijo de pedido para que la decisión del gestor fuera
óptima?
e) Suponiendo que se tardan 10 días desde que se lanza el pedido hasta que se recibe, ¿cual
será el punto de pedido?

Ejemplo 38
a) ¿Cuál es el lote óptimo de pedido?
b) b) ¿Cada cuánto tiempo deben repetirse los pedidos?
-------
a. Suministro instantáneo sin rotura:
a. El número de pedidos y la frecuencia son:
considerando los 250 días que la empresa trabaja al año:
kg1.000=
0,1020
5.0002002
=
Pia
De2
=*Q




pedidos5
1000
5000
*Q
D
N* 
laborablesdías50
5
250
*N
250
T* 

Ejemplo 38
 Demanda=5.000 kg. al año; precio de los remaches = 20 euros/kg; gastos fijos que
cada pedido ocasiona = 200 eur; coste del almacenaje por kg. y año de almacén
=10% sobre el coste del producto, el. La empresa trabaja 250 días al año.
c) Si de hecho las estimaciones de los técnicos de la empresa no fueran correctas, sino que los
costes fijos de pedido fueran de 625 euros y ascendiera a un 20% el coste de almacenaje
anual por kg., ¿cuánto estaría perdiendo la empresa por calcular el lote óptimo con
arreglo a las estimaciones de los técnicos?
-------
c) En este caso, el lote óptimo de pedido es:
Para calcular la pérdida (o ganancia) de la empresa por estar pidiendo lotes a
partir de las estimaciones erróneas de los técnicos, comparamos costes. Puesto
que el precio y la demanda no varían, compararemos solamente los costes
incrementales:
mientras que los costes reales que vamos a tener al hacer pedidos de 1.000 kg son
Luego se incurre en un sobrecoste de 125 euros
kg1.250=
0,2020
5.0006252
=
Pia
De2
=*Q




euros5.000=
2
1.250
4
1.250
5.000
625=
2
*Q
Pi)(a
*Q
D
e=CI(Q*) 
euros5.125=
2
1.000
4
1.000
5.000
625=CI(Q*) 

Ejemplo 38
d) Suponiendo que la estimación del 10% para el gasto de almacenaje es correcta, pero
ignorando el coste fijo de pedido, el responsable de compras pide lotes de 800 kg,
¿cuánto tendría que valer este gasto fijo de pedido para que la decisión del gestor fuera
óptima?
----------------
d) Aplicando la expresión de la cantidad económica de pedido con Q*=800:
es decir, los costes de emisión de pedido tendrían que bajar hasta 128 euros
para que fuese rentable hacer pedidos de 800 kg., porque de lo contrario los
costes totales de gestión de inventarios serían mayores.
euros128=e
0,1020
5.000e2
=800=*Q 



Ejemplo 38
e) Suponiendo que se tardan 10 días desde que se lanza el pedido hasta que se recibe, ¿cual
será el punto de pedido?
--------------------
e) El tiempo de suministro t=10 es menor que T*.
La demanda diaria de remaches es de d = 5.000/250 = 20 remaches, con lo que
el punto de pedido será r = t x d = 1020 = 200 remaches.

Ejemplo 37
a) ¿Cuántos paquetes deben pedirse cada vez?.
----------------
a) Se trata de suministro instantáneo sin rotura:
paquetes34
600,3
52)(10202
=
Pia
2eD
=Q* 




Ejemplo 37
b) ¿Con qué frecuencia debe pedirse el café?.
-------------
b)Si el consumo anual es de 520 paquetes, el número de pedidos
que deberán hacerse a lo largo del año y la frecuencia será:
163,15
34
520
*Q
D
N*  semanas3,38
3,15
52
*N
semanasNº
T* 

Ejemplo 37
c) ¿Cuál es el coste anual de pedir y almacenar el café?
--------------------
c) Basta aplicar la expresión del coste C(Q)
euros31.812=
2
34
18
34
520
20+52060=
2
*Q
Pi)a(
*Q
D
e+DP=CT(Q*) 

Ejemplo 37
d) ¿Qué efecto tendría sobre el lote económico y sobre el coste total los
siguientes cambios?:
1. un aumento de un 50% en la demanda
2. y un aumento de un 50% en el coste de almacenamiento.
-----------------------
1. La nueva demanda será 150%*520= 780 paquetes
El nuevo lote económico será entonces:
Lo que implicará el siguiente cambio en los costes:
paquetes24
18
780202
=
Pia
2eD
=Q* 


euros47.549=
2
42
18
42
780
20+78060=
2
*Q
Pi)a(
*Q
D
e+DP=CT(Q*) 

Ejemplo 37
d) ¿Qué efecto tendría sobre el lote económico y sobre el coste total los
siguientes cambios?:
1. un aumento de un 50% en la demanda
2. y un aumento de un 50% en el coste de almacenamiento.
-----------------------
2. El nuevo coste de almacenamiento será: 150%*30%*60= 27 eur
El nuevo lote económico será entonces:
Lo que implicará el siguiente cambio en los costes:
paquetes28
27
520202
=Q* 

euros31.949=
2
28
27
28
520
20+52060=
2
*Q
Pi)a(
*Q
D
e+DP=CT(Q*) 

b) Modelos de suministro instantáneo sin rotura y sistema de
revisión periódica
– Es un sistema en el cual los pedidos se emiten regularmente,
correspondiendo la periodicidad de las emisiones a los
distintos momentos en que se realiza el recuento físico o
inventario sobre las existencias de las principales materias
primas.
– Las hipótesis de partida de este modelo son similares a las del
modelo de cantidad económica de pedido: La demanda, el
tiempo de suministro y el coste son conocidos con certeza, no
se utiliza stock de seguridad, el suministro es instantáneo y no
se admite la posibilidad de ruptura de stock.

– En vez de calcular el lote económico y cada cuanto
tiempo ha de lanzarse, lo que haremos es realizar un
recuento cada R fracciones de año y lanzar entonces un
pedido de tamaño Q para completar el inventario que
hay en ese momento hasta alcanzar un nivel predefinido S
– Al ser una demanda determinista, puede reabastecerse el
almacén justo con la antelación equivalente al plazo de
entrega t, sin riesgo de que haya rotura.
El objetivo del modelo es calcular R, que es una fracción de año, y S.

– Considerando que el número de pedidos anuales es 1/R y
la demanda anual del artículo es D
» En el periodo R se consumen Q = DR
» El inventario medio será Q/2 = DR/2,

– El coste total anual en función de R será:
– NOTA: Suponemos que en el coste de lanzamiento de
pedido “e” se incluyen los gastos propios de realizar el
recuento en caso de que no estuviese informatizado el
sistema













2
DR
Pi)(a
R
1
e+DP=CT(R)
Coste adquisición Coste de emisión Coste de almacenamiento

– Derivando e igualando a cero, se obtiene el óptimo R*:
– El nivel máximo de stock S debe cubrir la demanda en el
período R*+t, es decir, S* = Q* + D x t= D(R*+t).
DPi)(a
2e
=*R

*RD=*Q 

FORMULARIO
(t < T*) r* = t x d; (t > T*) r* = (t – T*) x d + Q
• Modelos de suministro instantáneo sin rotura y sistema de revisión periódica
;
Pia
De2
=*Q


;
*Q
D
N*
*N
laboralesdiasnº
T*;
2
*Q
Pi)a(
*Q
D
;
DPi)(a
2e
=*R

;*RD=*Q  +t)*(RDtD*Q=*S 

Ejemplo
 Con una demanda anual D de 2.000 rodamientos, unos costes
unitarios de almacenamiento y de emisión de pedidos de cinco y
doscientos euros respectivamente, y un plazo de entrega t de diez
días, calcular el periodo óptimo de revisión, la cantidad óptima de
pedido según este método y el nivel predefinido de stock S

Ejemplo
 Con una demanda anual D de 2.000 rodamientos, y unos costes unitarios de
almacenamiento y de emisión de pedidos de cinco y doscientos euros
respectivamente, si suponemos un plazo de entrega t de diez días, tendremos los
siguientes resultados:
– Periodo óptimo de revisión: años = 50 días laborables
– Cantidad óptima de pedido: rodamientos
– Nivel predefinido de stock: rodamientos
OJO A LAS UNIDADES Y SU HOMOGENEIDAD EN LAS FORMULAS!
Para el calculo de S* hemos medido los tiempos R* y t en años y por eso se
han dividido los 10 días del tiempo de suministro entre 250 días laborables
que trabaja la empresa.
Si hubiésemos utilizado días laborables para medir R* y t entonces
tendríamos que haber multiplicado R* (0,2 años) por 250, y haber dividido D
por 250 para tener la demanda diaria de rodamientos, pero el resultado de
S* habría sido el mismo.
0,2=
2.0005
2002
=
DPi)(a
2e
=*R



400=0.22.000=*RD=*Q 
480=(10/250)]+2.000[0,2=+t)*(RD=*S 

– Análisis de sensibilidad del lote económico de pedido
• Dado que el modelo del lote económico de pedido es el más
básico y el que adolece de mayores restricciones resulta
interesante calcular las desviaciones en costes totales que se
producen cuando por cualquier tipo de restricción no puede
pedirse el lote óptimo Q* sino otro Q cualquiera.
• Para ello podemos comparar los costes incrementales
resultantes de considerar el lote óptimo Q* del problema por
una parte, y un lote de tamaño Q distinto por otra.

Pi)(a
2eD
=Q*con
Pi)eD2(a=C(Q*)
2
Pi)Q(a
Q
eD
=C(Q)




















*Q
Q
Q
*Q
2
1
*2Q
Q
*Q
1
2Q
1
*2Q
Q
eD
Pi)2(a
Q
1
Pi)(a
2eD
2
Q
eD
Pi)2(a
Q
1
=
Pi)eD2(a2
Pi)Q(a
Pi)eD2(aQ
eD
=
C(Q*)
C(Q)







*Q
Q
Q
*Q
2
1
=
C(Q*)
C(Q)

Ejemplo
• Si, debido por ejemplo a restricciones de espacio en el almacén, la
empresa de montaje escogiese un lote de pedido Q de 240
rodamientos en lugar del óptimo Q* de 400 rodamientos (es decir,
Q/Q* = 240/400 = 0,6, lo que significa que se escoge un tamaño de
pedido Q que sea el 60% del óptimo Q*), tendríamos que la
relación entre costes totales de gestión de inventarios sería:
 La empresa tendrá un incremento en sus costes de gestión
del 13%
1,13=
400
240
240
400
2
1
*Q
Q
Q
*Q
2
1
C(Q*)
C(Q)














• La tabla muestra los incrementos en los costes que se
experimentan al elegir tamaños de lote Q mayores y menores
que el óptimo Q*:
• Puede comprobarse que el aumento de los costes es siempre
mayor cuando se utilizan lotes inferiores al óptimo que
cuando se emplean lotes superiores por lo que será más
aconsejable sobrevalorar el tamaño de los lotes que
infravalorarlos.

La curva de costes totales es muy
plana en la región del mínimo,
de forma que desviaciones
del tamaño de lote óptimo
tienen sólo un pequeño efecto
sobre los costes.
El modelo es también muy
robusto frente a inexactitudes
en la determinación de los
costes de preparación, las
tasas de inventario y la
previsión del consumo anual.
Q/Q*
C(Q)/C(Q)*

 Cálculo del intervalo económico del lote de pedido
• Se trata de determinar el intervalo QI-QII del lote de pedido en el
que el coste C(Q) no sobrepase un valor máximo establecido por
la propia empresa Cm(Q).

 Cálculo del intervalo económico del lote de pedido
• El coste de inventario de nuestro ejemplo para Q* = 400 rodamientos
era de 2.000 euros por lote. Si la empresa no desea que este coste
sobrepase los 2.100 euros, el intervalo económico del lote que
obtendremos es:
• Es decir, el lote de compra deberá ser como mínimo de 291 rodamientos
y como máximo de 548 rodamientos.
548Q
291Q
400
Q
+
Q
400
2
1
2000
2100
Q
Q
+
Q
Q
2
1
C(Q*)
(Q)C
II
I
*
*
m

















– Descuento por cantidad
• En muchas ocasiones la empresa puede conseguir
diferentes descuentos a medida que aumenta el tamaño
del pedido adquirido a su proveedor, por lo que su objetivo
será el de calcular el lote óptimo de pedido en el intervalo
de precio que le es ofrecido y que hace mínima la función
de costes totales.

• Supongamos que una empresa puede comprar un artículo a un
precio unitario P1 si hace un pedido (Q) inferior a Q1 unidades; si
compra una cantidad superior, el proveedor le ofrece un
descuento de forma que la empresa podrá pagar un precio
unitario inferior P2 haciendo pedidos superiores, es decir, entre
Q1 y Q2 unidades; e incluso pagará un precio unitario P3,
todavía inferior, si realiza pedidos superiores a Q3 unidades, es
decir,
Precio P1 si 0 < Q < Q1
Precio P2 si Q1  Q < Q2 P1 > P2 > P3
Precio P3 si Q2  Q

Las fórmulas anteriores pueden
no conducir a una solución
óptima dado que, al existir
distintos precios, la función de
costes deja de ser continua y se
convierte en una función por
tramos, lo que hace que las
propiedades de la derivada
dejen de ser validas en los puntos
de discontinuidad de dicha
función. Necesitamos de un
procedimiento específico.

– Descuento por cantidad. Procedimiento
1. Se calcula el lote económico para el precio más bajo, en este
caso P3, es decir
– Si Q* es una cantidad superior a Q2, entonces Q* es el lote
económico
– Si Q* es una cantidad inferior a Q2, el proveedor no va a vender
a la empresa a un precio unitario P3, por lo que Q* no es el lote
económico y deberemos calcular un nuevo tamaño de lote a
un precio inmediatamente superior P2.
iPa
De2
Q*
3 



2. Se calcula el nuevo tamaño de lote considerando un precio
unitario P2, es decir,
– Si Q** es una cantidad superior tal que Q1 < Q**  Q2 , entonces
Q** es el lote económico
– Si Q** es una cantidad inferior a Q1, el proveedor no va a vender
a la empresa a un precio unitario P1, por lo que Q** no es el lote
económico y deberemos calcular un nuevo tamaño de lote a
un precio inmediatamente superior P1.
iPa
De2
**Q
2 



3. De esta forma, se calcularán nuevos tamaños de lotes, cada vez
con un precio inmediatamente superior, hasta que se obtenga
uno cuya cantidad se sitúe en el intervalo exigido por el
proveedor para poder contar con el descuento o el precio
establecido para dicho intervalo.
Posteriormente, se calcula el coste total en función del lote
obtenido al correspondiente precio

4. ¿Puede mejorar la empresa esta situación, es decir, incurrir en
unos menores costes, comprando lotes cuyas cantidades no se
corresponden con el tamaño del lote óptimo pero a un precio
inferior? Basta comparar los costes totales del lote óptimo
obtenido, CT(Q***;P1), y los costes totales que resultan de
comprar la mínima cantidad posible que exige adquirir el
proveedor para un precio inmediatamente inferior, CT(Q1; P2):
Si los costes totales del lote Q1 son inferiores a los costes totales
del lote óptimo, la empresa comprará lotes de tamaño Q1.
2
***Q
i)Pa(
***Q
D
e+DP=)P**;*CT(Q 111 
2
Q
i)Pa(
Q
D
e+DP=)P;CT(Q
1
2
1
221 

– Descuento por cantidad. RESUMEN
• La empresa calculará el tamaño de lote a adquirir considerando
el menor precio al que su proveedor le va a vender y, en el caso
de que dicho tamaño no pertenezca al intervalo exigido por el
proveedor para un precio dado, habrá de considerar sucesivos
precios inmediatamente superiores, hasta encontrar una
cantidad que pertenezca a un intervalo asociado a un
determinado precio.
• Posteriormente, deberá comparar los costes totales del lote
económico calculado, con los costes totales de las mínimas
cantidades que ha de adquirir a unos precios inferiores, eligiendo
la opción que suponga menor coste total para la empresa.

Ejemplo
 Supongamos que la empresa de montaje que utilizamos de
ejemplo (D=2.000 rodamientos al año; coste unitario de
almacenamiento=5 euros al año; coste de emisión de cada
pedido = 200 euros) tiene la posibilidad de obtener un descuento
de su proveedor de rodamientos de 10 euros en el precio unitario
habitual (que es de 50 euros) siempre que los pedidos sean como
mínimo de 500 rodamientos. En esta ocasión consideraremos un
tipo de interés de mercado del 6%.
Calcular el tamaño del lote a pedir.
-----

Ejemplo
 Supongamos que la empresa de montaje que utilizamos de ejemplo (D=2.000
rodamientos al año; coste unitario de almacenamiento=5 euros al año; coste de
emisión de cada pedido = 200 euros) tiene la posibilidad de obtener un descuento
de su proveedor de rodamientos de 10 euros en el precio unitario habitual (que es de
50 euros) siempre que los pedidos sean como mínimo de 500 rodamientos. En esta
ocasión consideraremos un tipo de interés de mercado del 6%.
Calcular el tamaño del lote a pedir.
-----
Calcular el lote económico considerando el menor precio P1= 50 – 10 = 40:
como es una cantidad inferior a 500 rodamientos el proveedor no va a
vender a la empresa al precio de 40 euros por lo que se calcula un
nuevo lote teniendo en cuenta el precio inmediatamente superior P2=
50 euros:
srodamiento329
0,06405
2.0002002
=
iPa
2eD
=40)(P*Q
1
1 




srodamiento316
0,06505
2.0002002
=
iPa
2eD
=50)*(P*Q
1
2 





Ejemplo
– Vamos a comparar los costes totales considerando este
tamaño de lote con los costes totales de adquirir la mínima
cantidad a un precio inferior:
– Como el coste es menor, la empresa comprará lotes de 500
rodamientos consiguiendo así el descuento y por tanto
pagando un precio unitario de 40 euros.
euros102.529,82=
2
316
0,06)50(5
316
2.000
200+2.00050
=
2
**Q
i)Pa(
**Q
D
e+DP=50)P*;*CT(Q 222


euros82.350=
2
500
0,06)40(5
500
2.000
200+2.00040
=
2
Q
i)Pa(
Q
D
e+DP=40)P500;CT(Q 111



Ejemplo 40
La empresa METALSA se dedica a la fabricación y venta de estructuras
metálicas bajo pedido. Los datos de los que dispone sobre sus
necesidades de materias primas son:
1. Hierro que compra a un proveedor alemán que le cobra un precio
unitario de 1.000 euros por Tm. La empresa necesita anualmente
500.000 Tm. El coste de emitir la orden de pedido es de 100 euros.
2. Acero que adquiere a un proveedor japonés que le ofrece las
siguientes condiciones de precio por tonelada:
p = 1.000 si Q < 500
p´ = 980 si 500 < Q < 5000
p´´ = 900 si Q > 5000
La empresa necesita 250.000 toneladas de acero al año y el
coste de emitir un pedido es de 150 euros.
Si la suma del tipo de interés bancario y la tasa de tenencia de
inventario es del 10%, determinar el volumen óptimo de pedido para
estos dos productos.

Ejemplo 40
1. Hierro que compra a un proveedor alemán que le cobra un precio
unitario de 1.000 euros por Tm. La empresa necesita anualmente
500.000 Tm. El coste de emitir la orden de pedido es de 100 euros. Si la
suma del tipo de interés bancario y la tasa de tenencia de inventario
es del 10%, determinar el volumen óptimo de pedido.
------
Suministro instantáneo sin rotura:
toneladas1.000=
0,101000
500.0001002
=
Pia
2eD
=Q*




Ejemplo 40
2. Acero que adquiere a un proveedor japonés que le ofrece las
siguientes condiciones de precio por tonelada:
p = 1.000 si Q < 500
p´ = 980 si 500 < Q < 5000
p´´ = 900 si Q > 5000
La empresa necesita 250.000 toneladas de acero al año y el coste de
emitir un pedido es de 150 euros. Si la suma del tipo de interés
bancario y la tasa de tenencia de inventario es del 10%, determinar el
volumen óptimo de pedido.
------
Suministro instantáneo sin rotura y además, la empresa paga un precio
menor, cuanto mayor es el pedido que realiza en cada una de sus
compras, luego tenemos un descuento por cantidad.
5000toneladas912,8=
0,10900
250.0001502
Pia
2eD
=Q(p´´) 




óptimoeleston,5000y500entreestácomotoneladas874=
0,10980
250.0001502
=(p´)Q



Ejemplo 40
No obstante, hay que comprobar si el coste de gestión de inventarios
que se tiene con este tamaño de lote es superior o inferior al que se
tendría si se compraran lotes de 5.000 toneladas que es el mínimo
tamaño que debemos adquirir para poder comprar a un precio más
bajo de 900 euros.
Se comprueba que es más barato hacer pedidos en lotes de 5.000
toneladas, aunque este tamaño no es el lote óptimo, ya que el ahorro
que se va a producir en el coste de compra y en el coste de emisión
(a mayor volumen de compra, menor número de emisiones y por
tanto menor coste) se compensa sobradamente con el aumento que
va a tener lugar en el coste de almacén al comprar mayor volumen
cada vez.
2
*Q
Pi)a(
*Q
D
e+DP=P)CT(Q, 
euros2,2245.085.73=
2
874
0,10)(980
874
250.000
150250.000][980=980)P874;C(Q 












euros0225.232.50=
2
5.000
0,10)(900+
5.000
250.000
150+250.000][900=900)P5000;C(Q 













– Descuento por pronto pago
• Una forma sencilla de incluir un descuento por pronto pago, δ,
en la formulación del modelo del lote económico es considerarlo
directamente como la diferencia entre el precio normal, p, y el
precio más bajo por pago al contado, p´, es decir δ = p-p´,
expresarlo en tanto por uno como δ = (p-p’)/p e incluirlo en la
ecuación del lote económico o en la del periodo óptimo de
revisión.
)D-Pi(1a
2e
=*R
)-Pi(1a
2eD
=*Q
 

Ejemplo
• Supongamos que el proveedor de rodamientos de la empresa de
montaje de motores (D=2.000 rodamientos al año; coste unitario de
almacenamiento=5 euros al año; coste de emisión de cada pedido
= 200 euros) le hiciese un descuento del 5% ( = 0.05) por pronto
pago.
Calcular este caso el tamaño óptimo del lote de pedido y el
periodo óptimo de revisión para el sistema (r,Q) y el (R,S)

Ejemplo
almacenamiento=5 euros al año; coste de emisión de cada pedido =
200 euros) le hiciese un descuento del 5% ( = 0.05) por pronto pago.
-----------------
1. Tamaño óptimo del lote de pedido
2. Periodo óptimo de revisión
que son ligeramente superiores a los que se obtendrían sin descuento, es
deci,r el descuento permite un mayor margen de maniobra en el sentido
de que lotes mayores o períodos de revisión mayores siguen siendo
óptimos cuando sin la existencia del descuento estos valores de Q* y R*
no lo serían.
srodamiento410
)05,01(5
000.22002
)-Pi(1a
2eD
=*Q 



 
años205.0
2.0000,05)-(15
2002
)D-Pi(1a
2e
=R* 



 

Modelos de
suministro
instantáneo con
rotura o retropedidos

2. Modelos de suministro instantáneo con rotura
– Se parte de una situación como la representada en la figura, en
la que se considera, al igual que en el modelo de lote
económico de pedido, que tanto la demanda como los tiempos
de suministros y los costes unitarios son conocidos con certeza, y
que el consumo de artículos es uniforme. Sin embargo, en este
caso se admite posibilidad de ruptura de stock.

– Este modelo añade pues al modelo básico del lote económico
de pedido la posibilidad de que exista carencia en un producto,
en cuyo caso se ofrece eventualmente al cliente un descuento.
– Según este modelo se lanzan pedidos de tamaño Q que se
agotan al cabo de un tiempo , menor al tiempo cíclico de
pedido T.

– Por lo tanto, durante un tiempo T-  se produce una rotura de
inventario que hace que las órdenes de venta recibidas en ese
periodo tengan que ser satisfechas con retraso en el momento
en que se disponga otra vez de existencias.

– Cuando se recibe el lote Q al comienzo del periodo se satisface
la demanda insatisfecha del periodo anterior (Q – S), por lo que
al principio del periodo la cantidad almacenada no será Q, sino
S.
– Por ello, se determinará, además del valor del lote económico
de pedido (Q*), el valor de ruptura óptima, que vendrá dado por
la diferencia entre el lote óptimo (Q*) y la cantidad almacenada
óptima (S*).

2. Modelos de suministro instantáneo con rotura :
– En este modelo, la función de costes totales se amplía respecto a
la función de costes del modelo de suministro instantáneo sin
rotura, al considerar ahora también el coste que supondrá para
la empresa el hecho de no servir a tiempo el producto a sus
clientes y esto, para todos los ciclos que tengan lugar a lo largo
del año.
CT= Coste adquisición + Coste emisión + Coste almacenamiento + Coste rotura
• Los costes de adquisición y de emisión coinciden con los
presentados anteriormente:
– Coste de adquisición=P*D
– Coste de emisión= e * D/Q

• El coste total de almacenamiento será igual al coste unitario del
mismo “a+P*i” multiplicado por el inventario medio existente en
almacén a lo largo del año y por el tiempo durante el cual
existen inventarios y, todo esto, para cada uno de los ciclos que
tengan lugar durante un año.
CTmto= Coste unitario mto * Inv. Medio * t en inv./ciclo * nº ciclos/año

• En cada ciclo, el inventario varía entre 0 y S unidades; puesto que el
descenso es lineal, la media del inventario medio será S/2 unidades.
• En lo que se refiere al tiempo de existencia del inventario en almacén por
ciclo, se puede calcular relacionándolo con el consumo total que tiene
lugar a lo largo del año. 1 año____D
=S/D
________S

• El coste de mantenimiento o almacenamiento será entonces:
Q
S
iPa
Q
D
D
SS
iPantomantenimiedeCoste
2
)(
2
)(
2







Coste unitario Inv. Medio t en inv./ciclo nº ciclos

• Coste de rotura: Por servir con retraso, supondremos que la
empresa ofrece un descuento unitario según una tasa de
descuento iD, es decir, el coste de descuento por artículo será
 =iD*P, siendo P el precio normal.
• Para cada ciclo, el coste de rotura será igual al coste unitario
 por el nivel de rotura medio que se produzca durante el
tiempo en que se produce el retraso de entrega a los
clientes.
CT rotura= Coste unitario  * Rotura Media * t en rotura/ciclo * nº ciclos

1 año____D
T- =(Q-S)/D
T-________Q-S
• En cada ciclo, el inventario varía entre 0 y S unidades; puesto que el
descenso es lineal, la rotura media será (Q-S)/2 unidades.
• En lo que se refiere al tiempo rotura por ciclo, se puede calcular
relacionándolo con el consumo total que tiene lugar a lo largo del año.

• El coste de rotura será entonces:
Coste unitario Rotura Media t en rotura/ciclo nº ciclos
Q
SQ
Q
D
D
SQSQ
2
)(
2
roturadeCoste
2






 


 

• Con lo que, finalmente, el coste total de este modelo es
• El objetivo es el de minimizar la función de costes para
obtener el volumen económico de pedido así como el nivel
de rotura que tiene lugar. Derivando la expresión anterior
obtenemos:
• El nivel óptimo de rotura es Q*-S*
Q
SQ
Q
S
iPa
Q
D
eDPQCT
2
)(
2
)()(
22

 





 
 
+i)P(a
i)P(a
2eD
=*Q 





 

+i)P(ai)P(a
2eD
=*S

FORMULARIO
(t < T*) r* = t x d; (t > T*) r* = (t – T*) x d + Q
• Modelos de suministro instantáneo con rotura
;
Pia
De2
=*Q


;
*Q
D
N*
*N
laboralesdiasnº
T*;
2
*Q
Pi)a(
*Q
D
;
DPi)(a
2e
=*R

;*RD=*Q  +t)*(RDtD*Q=*S 
;
+i)P(a
i)P(a
2eD
=*Q 




 
 

;
+i)P(ai)P(a
2eD
=*S 





 

;
2
)(
2
)()(
22
Q
SQ
Q
S
iPa
Q
D
eDPQCT

 
;
*Q
D
N*
;
*
360
*
N
T  ;
D
S

D
SQ
T



Ejemplo
almacenamiento=5 euros al año; coste de emisión de cada pedido
= 200 euros) llega a un acuerdo con su cliente según el cual por
servir el pedido con un retraso inferior a dos semanas, le hará un
descuento de 10 euros por motor ()
Calcular este caso el tamaño óptimo del lote de pedido, el nivel de
rotura óptimo, la frecuencia de los pedidos, la duración de las
carencias y el coste anual de esta solución.

Ejemplo
• Supongamos que el proveedor de rodamientos de la empresa de montaje de motores
(D=2.000 rodamientos al año; coste unitario de almacenamiento=5 euros al año; coste
de emisión de cada pedido = 200 euros) llega a un acuerdo con su cliente según el cual
por servir el pedido con un retraso inferior a dos semanas, le hará un descuento de 10
euros por motor ()
Calcular este caso el tamaño óptimo del lote de pedido, el nivel de rotura óptimo, la
frecuencia de los pedidos, la duración de las carencias y el coste anual de esta
solución.
---------------
1. Tamaño óptimo del lote de pedido
2. Nivel de rotura óptimo
Nivel de rotura óptimo = Q* - S* = 490 – 326 = 164 rodamientos
srodamiento90=
10
10+5
5
2.0002002
=
+i)P(a
i)P(a
2eD
=*Q 










 
 

srodamiento326=
10+5
10
5
2.0002002
=
+i)P(ai)P(a
2eD
=*S 











 


Ejemplo
• Supongamos que el proveedor de rodamientos de la empresa de montaje de motores
(D=2.000 rodamientos al año; coste unitario de almacenamiento=5 euros al año; coste
de emisión de cada pedido = 200 euros) llega a un acuerdo con su cliente según el cual
por servir el pedido con un retraso inferior a dos semanas, le hará un descuento de 10
euros por motor ()
Calcular este caso el tamaño óptimo del lote de pedido, el nivel de rotura óptimo, la
frecuencia de los pedidos, la duración de las carencias y el coste anual de esta
solución.
---------------
3. Frecuencia de los pedidos
N* = D/Q*= 2000/490 ≈ 4 ; T= 250/N* ≈ 62 días
4. Duración de las carencias
5. Coste
laborablesdias21˜5.20082.02000/)326490( 

 años
D
SQ
T 
euros9633
4902
(164)
10
4902
(326)
5
490
2000
20020004
2Q
S)(Q
2Q
S
i)P(a
Q
D
eDPCT(Q)
22
22







 

Ejemplo
• Interpretación de los resultados:
– Con el modelo del lote económico de pedido se había obtenido un lote
económico de 400 rodamientos siendo su coste de 10.000 euros.
– Quizás pueda resultar extraño observar que el coste sea menor cuando el
tamaño de lote que se pide (Q* = 490) nos ha salido mayor que con el
modelo básico (Q* = 400), pero hay que tener en cuenta que la empresa
acepta una rotura-carencia (Q* - S*) de 164 rodamientos con lo que en
realidad los costes de almacenamiento corresponderían a un nivel medio de
inventarios de (490-164)/2 = 163 rodamientos, mientras que en el modelo
básico el nivel medio de inventarios era de 400/2 = 200 rodamientos.
– El menor coste de almacenamiento que se tendrá como consecuencia del
menor nivel medio de inventario es el que reduce los costes de gestión, a
pesar del incremento que cargan en los mismos los descuentos que hay que
efectuar como consecuencia de la carencia temporal de inventario.

Ejemplo 39
• La empresa mayorista DUERMEVELA compra partidas de muelles para atender la
demanda de 300.000 muelles al año de sus clientes fabricantes de colchones. La
demanda se produce a un ritmo aproximadamente constante. El precio unitario de
compra de los muelles es de 30 euros, además de unos gastos fijos de pedido y puesta a
domicilio estimados en 200 euros por pedido. La empresa estima, por otra parte, en un
10% sobre el coste del producto, las cargas por almacenaje de una unidad durante un
año y en 10 euros los perjuicios que le ocasionaría al año cada unidad deficitaria de
stock. El año laboral de la empresa es de 250 días.
a) ¿Cuál es el lote óptimo del pedido, la rotura óptima y cada cuánto tiempo deben
repetirse los pedidos?.
b) Si, suponiendo que son exactas las demás estimaciones, ante la duda del valor del
"coste de rotura" el mayorista siguiera la política de ordenar simplemente pedidos de
6.000 muelles y no permitir rotura de stocks, mientras que continuásemos estimando en
10 euros dicho "coste de rotura" (por unidad y año) y calculando en consecuencia los
lotes de pedido, ¿qué tanto por ciento de error de estimación de dicho coste unitario
deberíamos haber cometido para que nuestra política de stocks no fuera mejor que la
del mayorista, es decir, para que los gastos totales en que incurramos no fuesen menores
que los del mayorista?.

Ejemplo 39
a) ¿Cuál es el lote óptimo del pedido, la rotura óptima y cada cuánto tiempo deben
repetirse los pedidos?.
-----------------
– Lote óptimo
– Rotura óptima
Rotura óptima= Q*-S*= 7211-5547= 1664 muelles
- Tiempo de pedido
muelles7.211=
10
10+3
0,1030
300.0002002
=
+Pi)(a
Pia
2eD
=Q* 













 
 

muelles5.547=
10+3
10
0,1030
300.0002002
=
+Pi)(aPia
2eD
=S* 














 

pedidos;42pedidos˜41,6
211.7
000.300
*Q
D
N*  laborablesdías6
6,41
250
*N
250
T* 

Ejemplo 39
-----------------
b. Como queremos comparar dos situaciones y no varían ni el precio ni la demanda,
podemos utilizar, solamente, el valor de los costes incrementales.
– Si el mayorista no considera rotura y pide lote de 6.000 muelles, el coste que tendrá
es:
– Considerando rotura de stocks, el coste total anual que estamos teniendo en
realidad es:
 19.000=
2
6.000
3
6.000
300.000
200=
2
Q
Pi)a(
Q
D
e=CI(Q)
*2Q
S*)*(Q
*2Q
(S*)
Pi)a(
*Q
D
e=CI(Q*)
22

 





 16.641=
7.2112
)547.5211.7(
10
7.2112
(5.547)
3
7.211
300.000
200CI(Q*)
22

Ejemplo 39
-----------------
b. Es decir, considerando rotura de stocks con un coste de 10 €/unidad y año, tenemos
un menor gasto que si no consideramos rotura de stocks igual a 19.000 – 16.641 =
2.359 €. Para que nuestra política siga siendo mejor, el valor que  puede alcanzar
será:
Es decir, el coste de rotura podría aumentar de 10 a 22,28 euros sin que por ello los
costes fuesen superiores a los de no admitir rotura de stock.
eur28.22
7.2112
2)547.5211.7(
7.2112
2(5.547)
3
7.211
300.000
2009.0001 




 

Modelos de suministro gradual sin rotura

3. Modelos de suministro gradual sin rotura
– El modelo de suministro gradual sin rotura, llamado también de
reabastecimiento uniforme, suele utilizarse en empresas
transformadoras y que producen en lotes o series de forma
que, las materias primas se van incorporando al proceso
productivo a un ritmo constante, a la vez que se van
obteniendo productos terminados y que llegan al almacén
también a un ritmo constante.

– En este caso, el ritmo de producción, y que vamos a denominar
con la letra L, es mayor al de la demanda (D).
– Nunca llega a estar la cantidad total de pedido (Q) ya que al
ser el consumo gradual, a la vez que se van fabricando
artículos se van consumiendo, por lo que el inventario crece a
una tasa de (L-D) unidades
– Con el fin de no acumular productos terminados de manera
indefinida, la empresa irá alternando la fabricación de series o
lotes de diferentes tipos de productos (por ejemplo, la empresa
Balay alternará la producción de lavadoras, lavavajillas,
microondas, frigoríficos, etc).

– Así, durante un tiempo, t1, la empresa fabrica un lote de
producto hasta alcanzar el stock máximo .
– A partir de este momento, se inicia la fabricación de un nuevo
lote pero de otro producto, con lo que el stock del primero se
irá reduciendo paulatinamente hasta desaparecer debido a
que la demanda sigue siendo constante a lo largo del tiempo.
– Cada vez que se agotan las existencias de un determinado tipo
de producto se iniciará una nueva serie del mismo, con el fin de
no incurrir en una rotura de stocks.

– Respecto a los diferentes intervalos de tiempo que aparecen en
este modelo:
t1 se refiere al tiempo durante el
cual se está fabricando un lote;
t2 (t2=T* - t1) es el tiempo
durante el cual la empresa tan
solo vende las existencias
acumuladas del lote fabricado;
y T* es el tiempo que media
entre dos órdenes de
fabricación siendo
T*= nº días laborables/N*=Q*/D

– Siendo t1 es el tiempo durante el cual se fabrica una serie, el nivel
de inventario máximo alcanzado será (L – D)*t1.
– A partir del ritmo de la producción y de la demanda podemos
calcular el valor de t1, es decir, si en un año la empresa fabrica L
unidades, el lote Q lo fabricará en t1 año,
1 año L
t1=Q/L
t1 Q
– Por lo tanto los inventarios máximo y medio serán:
Q
L
D
1
L
Q
D)(LImax 






2
Q
L
D
1Im 





edio

– Gráficamente:

– El objetivo de la empresa será calcular el volumen óptimo de
producción Q* (el número de unidades que componen cada serie o
lote que fabrica )que hace mínimos los costes totales de fabricación.
– En este modelo, el concepto de los costes unitarios varía, si bien la
nomenclatura que vamos a utilizar es la misma que hemos empleado
hasta ahora. Es decir,
• el precio, P, será ahora el coste unitario de fabricación;
• el coste de emisión, e, será el coste unitario de preparación de las
máquinas cada vez que se inicie la producción de un nuevo lote;
• y en lugar de lote económico de compra, Q*, haremos referencia al
lote económico u óptimo de fabricación que compone la serie de un
determinado tipo de producto.

– La función de costes es:
siendo,
• PD el coste total anual de la producción demandada;
• e(D/Q), el coste total anual de preparación de las máquinas
para iniciar una nueva serie,
• (D/Q) el número de veces que se lanza dicha serie;
• (a+Pi) x Inv. medio es el coste total de almacén de la serie.
medioInventarioi)Pa(
Q
D
e+DP=CT(Q) 

– El lote económico u óptimo de producción se obtiene, al igual
que en los anteriores modelos, derivando la función de costes
totales respecto de Q:
– El número de veces que se lanza una orden de fabricación o
número de lotes fabricados a lo largo del año será:







L
D
-1i)P(a
2eD
=Q*
*Q
D
N* 

– La orden de pedido o de fabricación habrá que lanzarla antes
de que se agote el stock, a menos que el suministro o la
preparación sean inmediatos.
– Si llamamos t al tiempo de preparación de las máquinas para
iniciar la producción de un nuevo lote, el punto de pedido r
vendrá dado por r = td, donde d es el consumo medio del
artículo en la misma unidad de tiempo con la que midamos t.

FORMULARIO
(t < T*) r* = t x d; (t > T*) r* = (t – T*) x d + Q
• Modelos de suministro instantáneo con rotura
• Modelo de suministro gradual sin rotura
;
Pia
De2
=*Q


;
*Q
D
N*
*N
laboralesdiasnº
T*;
2
*Q
Pi)a(
*Q
D
;
DPi)(a
2e
=*R

;*RD=*Q  +t)*(RDtD*Q=*S 
;
+i)P(a
i)P(a
2eD
=*Q 




 
 

;
+i)P(ai)P(a
2eD
=*S 





 

;
2
)(
2
)()(
22
Q
SQ
Q
S
iPa
Q
D
eDPQCT

 
;
*Q
D
N*
;
*
360
*
N
T  ;
D
S

D
SQ
T


;
L
D
-1i)P(a
2eD
=Q*







2
Q
L
D
-1i)Pa(
Q
D
e+DP=CT(Q) 






Q;
L
D
1
L
Q
D)(LImax 






2
Q
L
D
1Im 





edio

Ejemplo
• Supongamos que nuestra empresa fabricase ella misma los rodamientos
que precisa para los motores que monta. Consideremos que la empresa
pudiese fabricar 12 rodamientos al día, de modo que que, si fabricase
durante los 250 días laborables del año, la producción anual L sería de
3.000 rodamientos. Ahora el precio será el coste unitario de producción,
es decir 4 euros; el coste de lanzamiento será ahora el coste de
preparación de cada lote de fabricación de rodamientos, o sea de 200
euros; y el coste unitario de almacenamiento sigue siendo de 5 euros. La
demanda anual D es de 2.000 rodamientos al año.
• Calcular el lote económico de producción, el número de lotes al año, el
inventario máximo y los costes asociados.

Ejemplo
• Supongamos que nuestra empresa fabricase ella misma los rodamientos que precisa
para los motores que monta. Consideremos que la empresa pudiese fabricar 12
rodamientos al día, y que si fabricase durante los 250 días laborables del año, la
producción anual L sería de 3.000 rodamientos. Ahora el precio será el coste unitario de
producción, es decir 4 euros; el coste de lanzamiento será ahora el coste de
preparación de cada lote de fabricación de rodamientos, o sea de 200 euros; y el coste
unitario de almacenamiento sigue siendo de 5 euros. La demanda anual D es de 2.000
rodamientos al año.
---------------
1. Lote económico de producción
2. El número de lotes
srodamiento693=
3.000
2.000
-15
2.0002002
=
L
D
-1i)P(a
2eD
=*Q















añoallotes32,88
693
2000
*Q
D
N* 

Ejemplo
• Supongamos que nuestra empresa fabricase ella misma los rodamientos que precisa
para los motores que monta. Consideremos que la empresa pudiese fabricar 12
rodamientos al día, y que si fabricase durante los 250 días laborables del año, la
producción anual L sería de 3.000 rodamientos. Ahora el precio será el coste unitario de
producción, es decir 4 euros; el coste de lanzamiento será ahora el coste de
preparación de cada lote de fabricación de rodamientos, o sea de 200 euros; y el coste
unitario de almacenamiento sigue siendo de 5 euros. La demanda anual D es de 2.000
rodamientos al año.
---------------
3. Inventario máximo
4. Costes totales
  srodamiento231
L
Q
LIm  Dax
eur154.9
2
693
3000
2000
15
693
2000
20020004
2
Q
L
D
-1i)Pa(
Q
D
e+DP=CT(Q) 













Ejemplo
• Interpretación de los resultados
Realizaremos unos cálculos adicionales:
• La empresa va a fabricar lotes de 693 rodamientos de forma que, cada lote
tardará en fabricarse 58 días laborables. Al cabo de estos 58 días se habrá
alcanzado un nivel de inventarios de 231 rodamientos.
• En este momento, la empresa dejará de fabricar rodamientos, pasando a
fabricar una serie de otro producto, y pasados 28 días los fabricará de nuevo.
• De esta forma, el tiempo cíclico de fabricación o tiempo entre los inicios de dos
series de fabricación consecutivas será 86 días laborables.
• Si el tiempo de preparación t del lote de fabricación fuese de 3 días, el punto de
pedido sería r = td = 38 = 24 rodamientos, siendo d el consumo diario de
rodamientos (d = D/250 = 2.000/250 = 8).
días5857,75
3000
250693
L
Q
t1 

 días86
2,88
250
*N
250
T*  días28t2 

Ejemplo 41
• La empresa MUSICALIA fabrica guitarras y comercializa además todos los años 1.800 cuerdas de
guitarra. En la actualidad se plantea la decisión de fabricarlas ella misma. En ese caso incurriría en un
coste de lanzamiento de la serie de fabricación de 100 euros. La capacidad productiva instalada sería
de 2.500 unidades anuales y el coste unitario de fabricación dependería del tamaño del lote:
p = 10 euros 0 < Q < 500
p´= 8 euros Q > 500
Actualmente, las cuerdas se compran a un precio de 12 euros, y los costes de gestión y de transporte
de un pedido ascienden a 80 euros. Conociendo que el coste de tenencia es de un 20% sobre el
precio del producto puesto en almacén, y el coste de capital es del 10%:
a) Determinar el lote óptimo de compra
b) Determinar el lote óptimo de fabricación
c) ¿Debe fabricar o debe seguir comprando las cuerdas?
d) Calcular el tiempo entre el lanzamiento de dos ordenes consecutivas si la empresa trabaja 300 días
al año.
e) Calcular el punto de pedido para un tiempo de aprovisionamiento de 10 días.
f) Si una vez tomada la decisión del apartado c aumentasen los costes de lanzamiento de la orden
de fabricación hasta el doble de los previstos y los costes unitarios de fabricación hasta 9 euros,
¿cuánto podría perder la empresa si mantuviera su decisión?

Ejemplo 41
p = 10 euros 0 < Q < 500
p´= 8 euros Q > 500
a) Determinar el lote óptimo de compra
--------------
a) Suministro instantáneo sin rotura
Con
D= 1800 uds
e= 80
a + Pi= 20%*12 + 12*10%=3.6
cuerdas283
6.3
8001082
Pia
De2
=*Q 





Ejemplo 41
p = 10 euros 0 < Q < 500
p´= 8 euros Q > 500
b) Determinar el lote óptimo de fabricación
--------------
b) Suministro gradual sin rotura y descuento por cantidad
óptimo500cuerdas731=
2.500
1.800
-18)(0,3
1.8001002
1Pi)(a
2eD
)8( 
















L
D
pQ
Con
D= 1800 uds
L= 2500 uds
e= 100
a + Pi= 20%*8 + 8*10%

Ejemplo 41
p = 10 euros 0 < Q < 500
p´= 8 euros Q > 500
c) ¿Debe fabricar o debe seguir comprando las cuerdas?
-----------------
c) Comparamos los costes de gestión de inventarios con compra y con fabricación
El coste actual de compra es:
El coste de fabricación sería:
En consecuencia, lo más económico es fabricar las cuerdas.
euros22.618,23=
2
283
12)(0,3+
283
1.800
80+1.800][12
2
*Q
Pi)a(
*Q
D
e+DP=CT 




































 14.891,85=
500.2
800.1
1
2
731
8)(0,3+
731
1.800
100+1.800][81
2
*Q
Pi)a(
*Q
D
e+DP=CT
L
D

Ejemplo 41
p = 10 euros 0 < Q < 500
p´= 8 euros Q > 500
d) Calcular el tiempo entre el lanzamiento de dos ordenes consecutivas si la empresa trabaja 300 días
al año.
---------------
d) Tiempo entre lanzamientos si la empresa trabaja 300 días al año:
pedidos46,2
731
800.1
*Q
D
N*  días121,8
46,2
300
*N
300
T* 

Ejemplo 41
p = 10 euros 0 < Q < 500
p´= 8 euros Q > 500
e) Calcular el punto de pedido para un tiempo de aprovisionamiento de 10 días.
------------
e) Punto de aprovisionamiento
– La demanda diaria de cuerdas es d = D/300=1.800/300 = 6 cuerdas.
– El punto de pedido será entonces r = d x t = 6 x 10 = 60 cuerdas.

Ejemplo 41
p = 10 euros 0 < Q < 500
p´= 8 euros Q > 500
f) Si una vez tomada la decisión del apartado c aumentasen los costes de lanzamiento de la orden de
fabricación hasta el doble de los previstos y los costes unitarios de fabricación hasta 9 euros, ¿cuánto
podría perder la empresa si mantuviera su decisión?
----------------
f) Nuevos datos: Decisión del apartado c: fabricar Q=731 cuerdas; nuevo coste de
emisión: e=2100=200€; nuevo precio: P=9€
El coste de gestión de inventarios sería ahora:
No perdería nada, pues seguiría costándole menos fabricar las cuerdas
(16.968,79 €) que comprarlas (22.618,23 €). Lo que sucede es que los costes
habrían aumentado en 2.076.94 € (16.968,79 €-14.891,85 €)
euros16.968,79=
500.2
800.1
1
2
731
9)(0,3
731
1.800
200+1.800][9=C(731) 



















Ejemplo 44
• La Agencia “Misión Imposible S.A.” utiliza 10.000 encriptógrafos cósmicos al año con un consumo
constante y continuo. Hasta ahora compraba estos productos a la empresa Talleres T. Cruise a un
precio de 110 euros cada uno, ocasionándole cada pedido un coste de 729 euros. La Sra. Kidman,
Directora de “Misión Imposible”, está estudiando la viabilidad de fabricarlos en una nave espacial
infrautilizada y ha estimado que se podrían fabricar hasta un total de 100.000 unidades al año. Ha
calculado también que el coste de puesta a punto de las instalaciones para cada lote de producción
sería de 144 euros, y que el coste de fabricar una unidad de producto sería de 100 euros si los lotes son
inferiores a 800 unidades, y de 90 euros si fuesen mayores o iguales de 800 unidades. La Agencia
“Misión Imposible” aplica actualmente una tasa de interés del 10% anual para su coste de
almacenamiento y trabaja 250 días al año. Se pide:
a) Determinar el lote óptimo de fabricación
b) Razonar si es más ventajoso para Misión Imposible seguir comprando los encriptógrafos o
fabricarlos.
c) En la opción de fabricación, ¿cuántos días deben dedicarse a fabricar encriptógrafos y cada
cuanto tiempo habrá que fabricar un nuevo lote?.
----------------

Ejemplo 44
----------------
a) Lote óptimo de fabricación  suministro gradual sin rotura y descuento por cantidad
óptimono800uds596
100.000
10.000
-190)(0,1
10.0001442
L
D
-1Pi)(a
2eD
)90(* 
















pQ
óptimouds566
100.000
10.000
-1100)(0,1
10.0001442
L
D
-1Pi)(a
2eD
)100(* 
















pQ

Ejemplo 44
----------------
a) Comprobamos si nos resulta más económico fabricar lotes superiores a inferior precio:
Será más económico producir lotes de 800 unidades a un coste de 90 euros/unidad







L
D
1
2
*Q
Pi)(a
*Q
D
e+DPP*)CT(Q*;






 2,091.005.1
000.100
000.10
1
2
566
)10010,0(
566
10.000
14410.000100100)P566;CT(Q






 040.905
000.100
000.10
1
2
800
)9010,0(
800
10.000
14410.0009090)P;800CT(Q

Ejemplo 44
b) Razonar si es más ventajoso para Misión Imposible seguir comprando los encriptógrafos o
fabricarlos.
----------------
b) Si compramos, tenemos un suministro instantáneo sin rotura
El coste de comprar (1.112.664,12 euros) es mayor que
el coste de fabricar (905.040 euros), por lo que resulta
más interesante la opción de fabricar los productos
en vez de seguir comprándolos.
unidades1.151
1100,1
10.0007292
Pia
2eD
Q* 





 1,664.112.1
2
151.1
)11010,0(
121.1
000.10
729000.10110
2
*Q
Pi)(a
*Q
D
e+DPCT(Q*)

Ejemplo 44
c) En la opción de fabricación, ¿cuántos días deben dedicarse a fabricar encriptógrafos y cada
cuanto tiempo habrá que fabricar un nuevo lote?.
----------------
c) Nº de pedidos:
T*=nº días laborables/N*= 250/12.5= 20 días
t1= Q/L= 800/100.000= 0.008 año = 2 días laborables
El número total de días necesarios para fabricarlos serán 26 días (= 13x2)
lotes1312,5
800
000.10
*Q
D
N* 

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