El interés simple e interés compuesto; características, casos practicos.

1. Semana 3
Intereses

2. INTERÉS SIMPLE
Se llama interés simple a toda aquella operación en
la que la renta generada en intereses no se
adiciona al stock inicial de efectivo al termino de
cada periodo de tiempo. dado que los intereses se
van retirando, el stock inicial permanece constante.
Componentes:
 Capital prestado (capital o principal)
 Suma del interés y capital prestado (monto)
 El tiempo acordado (plazo)
 El importe adicional que se paga (interés, se expresa
en %)
 Interés = Capital x Tasa de interés x Número de
períodos

3. El interés simple tiene las principales
características son:
a. Los intereses no se acumulan al stock
inicial
b. El horizonte temporal “n”, es un factor
c. El stock final crece en forma lineal a lo
largo del tiempo (progresión
aritmética)
Características del Interés Simple

4. Función lineal
Y = aX+b
S=P(1+in)
I
I
I
I
1
1
1
1
S
P
0 1 2 3 4 n

5. Formula del Interés Simple
En consecuencia del punto de partida para las
dos grandes áreas del calculo financiero es
conocer si los intereses se acumulan o no al
stock inicial de efectivo; tal como se observa.
Interno Simple
I = Pin
S = P(1+in )
P = S
(1 +in

6. Deducción de Fórmulas.
Veamos la derivación de las formulas del interés
simple aplicando el concepto de interés en el
momento uno (n=1) : I = Pi
Horizonte
de tiempo
Stock
inicial
Intereses Stock final
1
2
3
.
.
.
n
P
P
P
.
.
.
P
Pi
Pi
Pi
.
.
.
Pi
P + Pi = P (1 + i)
P + 2Pi = P (1 + 2i)
P + 3Pi = p (1 + 3i)
. .
. .
. .
P + nPi = P(1 + ni)
Pin

7. Aplicando la Deducción de Fórmula
Habiendo mencionado el régimen del interés simple
obedece a una progresión aritmética, que se expresa de
la siguiente manera:
F = (a + z) z = a + (n - 1) r
Donde:
F = suma de términos de la progresión aritmética
a = Primer término
z = Último término
r = Razón de progresión
La renta de interés bajo este régimen es constante a lo largo
del tiempo, siendo la razón de progresión igual a cero (r = 0)
I = Pi + Pi + Pi + ….. + Pi
n
2

8. Utilizaremos el criterio de la progresión aritmética
tenemos:
Último termino.
Z = Pi + (n - 1) 0 = Pi
Suma de los términos de la P. A.
F = (Pi + Pi) = (2 Pi) = Pin
Es decir, la renta acumulada en intereses (I) es igual
al stock inicial (P) por la tasa de interés (i) y por el
horizonte de tiempo (n).
I = Pin
Utilizando el criterio de progresión
aritmética
.
n
2
n
2

9. Cálculo del stock inicial y final
Si usted dispone de un stock inicial de s/
750,00 y le ofrecen una tasa de interés del
20% mensual, por un periodo de 6 meses. Se
pide elaborar el cuadro de la renta acumulada
en interés a través del régimen del interés
simple.
I = ?
P = 750,00 i = 0,20
0 1 2 3 4 5 6
Meses

10. Solución
a. Expresar la tasa de interés en tanto por uno:
i = = 0,20
b. Aplicar el concepto de interés en momento 1 (n = 1) : I = Pi
c. Elaborar el cuadro de interés para ambos regímenes
20%
100%
semestre Stock inicial Intereses Stock final
1
2
3
4
5
6
750,00
750,00
750,00
750,00
750,00
750,00
150,00
150,00
150,00
150,00
150,00
150,00
900,00
900,00
1050,00
1200,00
1350,00
1500,00
1650,00
1er. semestre: I = Pi = 750,00 x 0,20 = 150,00
s = P (1 + i) = 750 ,00 (1 + 0,20) = 900,00
2do. semestre: I = Pi = 750,00 x 0,20 = 150,00
s = P (1 + 2i) = 750,00 (1 + 2 * 0,20) = 1050,00

11. Ejemplo
Un individuo cuenta con un stock en efectivo de s/
5000,00. si un comerciante y un banco le ofrecen, a
su vez, una tasa de interés del 30% semestral, ¿a
cuanto ascendió la renta acumulada? En intereses y el
stock final de efectivo, tanto a interés simple para lo
cual haremos un cuadro de interés y luego cada una
de las formulas:
S = ?
P =500 0,30 n = 4

12. Solución:
semestre Stock inicial intereses Stock final
1
2
3
4
5000,00
5000,00
5000,00
5000,00
1500,00
1500,00
1500,00
1500,00
6000,00
6500,00
8000,00
9000,00
11000,00
Elaborar el cuadro de interés aplicando el
concepto de interés en momento uno
(n = 1) : I = Pi
1er. Semestre:
I = Pi = 5000,00 x 0,30 = 1500,00
S = P (1 + i) = 5000,00 (1 + 0,30) = 6500,00
2do. Semestre:
I = Pi = 5000,00 x 0,30 = 1500,00
S = P (1 + 2i) = 5000,00 (1 + 2 x 0,30) = 8000,00

13. Interés Compuesto
El interés compuesto consiste en una serie
de operaciones en la que se va
incorporando la renta en intereses al stock
inicial, al final de cada periodo: esto sirve
de base para el cálculo de los nuevos
intereses por eso se suele afirmar que el
interés compuesto consiste en la
capitalización de la capitalización de los
intereses; es decir; “interés sobre interés”

14. Características del interés compuesto
El interés compuesto presenta las siguientes
características:
a. Los intereses se acumulan al stock
inicial
b. El horizonte temporal “n”, es un
exponente
c. El stock final crece en forma
exponencial a lo largo del tiempo
(progresión geométrica)

15. Función exponencial
Función exponencial
X
Y =a
n
S = P (1 + i)
0 1 2 3 n

16. Formula del Interés Compuesto
En consecuencia del punto de partida para las
dos grandes áreas del calculo financiero es
conocer si los intereses se acumulan o no al
stock inicial de efectivo; tal como se observa.
I = P (1 + I) – 1
S = P (1 + i)
P =
n
n
S
(1 +i)
n

17. Deducción de la Formula del Interés
Compuesto
Siguiendo el mismo razonamiento del interés
simple veamos el desarrollo para el caso del
interés compuesto:
Horizonte
de tiempo
Stock inicial Intereses Stock final
1
2
3
.
.
.
n
P
P(1 + i)
P(1 + i)
.
.
.
P(1 + i) -1
P
P(1 + i) i
P(1 + i)
.
.
.
P(1 + i) -1
P + Pi = P(1 + i)
P(1+1) (1+1) = P (1 + 2i)
P (1+i ) (1+i) = P(1 + 3i)
. .
. .
. .
P (1+i) -1 (1+i)= P(1 + i)
P (1+i) - 1
n
n
n
n
2
2 3
n n
n

18. Aplicando la Deducción de Fórmula
Habíamos señalado que el interés compuesto obedece a una
progresión geométrica, que se expresa:
F= z = ar -1
Donde:
F = suma de los términos de la progresión geométrica
a = primer término
z = último término
R =razón de progresión
Ahora bien la renta acumulada en intereses bajo el régimen del
interés compuesto crece a una razón de progresión:
r = (1+1).
I = Pi +P(1+i) + P(1+i) ; +…. + P (1+i) - 1
ar - a
r - 1
n
n
2 n

19. Cálculo del stock inicial y final
Si usted dispone de un stock inicial de s/ 750,00 y
le ofrecen una tasa de interés del 20% mensual,
por un periodo de 6 meses. Se pide elaborar el
cuadro de la renta acumulada en interés a través
del régimen del interés simple.
P = 750,00 i = 0,20
Meses
0 1 2 3 4 5 6

20. Solución
a. Expresar la tasa de interés en tanto por uno:
i = = 0,20
b. Aplicar el concepto de interés en momento 1 (n = 1) : I = Pi
c. Elaborar el cuadro de interés para ambos regímenes:
20%
100%
semestre Stock inicial Intereses Stock final
1
2
3
4
5
6
750,00
900,00
1080,00
129600
1555,20
1866,20
150,00
180,00
216,00
259,20
311,04
373,24
1489,48
900,00
1080,00
129600
1555,20
1866,24
2239,50
1er. semestre: I = Pi = 750,00 x 0,20 = 150,00
s = P (1 + i) = 750 ,00 (1 + 0,20) = 900,00
2do. semestre: I = P(1+i) i = 750,00 x (1+ 0,20) = 180,00
s = P (1+i) = 750,00 (1 + 0,20) = 1080,002 2

21. Ejemplo
Un individuo cuenta con un stock en efectivo de s/
5000,00. si un comerciante y un banco le ofrecen, a su
vez, una tasa de interés del 30% semestral, ¿a cuanto
ascendió la renta acumulada? En intereses y el stock
final de efectivo, tanto a interés simple para lo cual
haremos un cuadro de interés y luego cada una de las
formulas:
S = ?
P =500 0,30 n = 4

22. Solución:
Elaborar el cuadro de interés aplicando el concepto de
interés en momento uno (n = 1) : I = Pi
semestre Stock inicial intereses Stock final
1
2
3
4
5000,00
6500,00
8450,00
10985,00
1500,00
1950,00
2535,00
3295,50
9280,50
6500,00
8450,00
10985,00
14280,00
1er. Semestre:
I = Pi = 5000,00 x 0,30 = 1500,00
S = P (1 + i) = 5000,00 (1 + 0,30) = 6500,00
2do. Semestre:
I = P(1+i) i = 5000,00 (1+0,30) x 0,30 = 1950,00
S = P (1 + i) = 5000,00 (1 + 0,30) = 8450,002 2

23. Uso de fórmulas para calcular la renta
acumulada
A continuación haremos uso de las fórmulas a fin de
calcular la renta acumulada en intereses y el stock final.
Se puede calcular el stock final a partir del cuadro de interés
Interés simple Interés compuesto
I = Pin I = P (1+i) - 1
I = 5000,00 x 0,30 x 4 I = 5000,00 (1+0,30) - 1
I = 6000,00 I = 9280,50
S = P(1+in) S = P(1+i)
S = 5000,00 (1+0,30 x 4) S = 5000,00 (1+0,30)
S = 11000,00 S = 14280,00
n
4
n
4
Interes simpe Interes compuesto
S = P + I S = P + I
S = 5000,00 + 6000,00 S = 5000,00 + 9280,00
S = 11000,00 S = 14280,50

24. Equivalencias en los regímenes de interés simple
y compuesto
En algunas circunstancias es importante establecer
equivalencias de tasas de interés y de horizontes de
tiempo; que nos permite obtener una igual renta en interés
con ambos regímenes. Como se había señalado, el interés
simple y compuesto son equivalentes en el momento uno
(n=1) debido a que en dicho periodo la renta en intereses
es igual al stock inicial multiplicado por la tasa de interés
(I=Pi). Sin embargo, a partir del segundo periodo de
tiempo la renta en intereses resulta siendo diferente
porque en un caso no se capitalizan y en el otro si se
capitalizan los intereses.
Veamos la relación a partir de:
Interés simple Interés compuesto
I = Pin 1 . . . . .(1) I = P (1+i) - 1 . . . . . (2)
Pin = P (1+i) - 1
Pin = (1+i) -1
(1 + in) = (1 + i)
n
n
n
n

25. Tomando como base el Interés simple
a. Que el horizonte temporal “n” sea diferente
Relación básica: (1+ i ) = (1 + in )
Aquí se trata de calcular el horizonte temporal “n”, que
corresponde al interés compuesto.
n = Log (1 + i) = Log (1 + in) donde:
b. Que la tasa de interés “i” sea diferente
Relación básica: (1 + i) = (1 + in)
Aquí se trata de calcular la tasa de interés. “i”, que
corresponde al interés compuesto.
(1 + i) = (1 + i)
n
n= Log (1 + in
Log (1 +i)
n 1/n 1/n
i = (1 + in) -11/n

26. Tomando como base el interés compuesto
a. Que el horizonte temporal “n” sea diferente
Relación básica : (1 + in) = (1 + i)
Ahora se trata de calcular el horizonte temporal “n”, que
corresponde al interés simple.
in = (1 + i) - 1
b. Que la tasa de interés “i” sea diferente
relación básica : ( 1 + in) = (1 + i)
En este caso se trata de calcular la tasa de interés “i”
que corresponde al régimen del interés simple.
in = (1 + i) -1
n
n
n= (1 + i) -1
i
n
n
n
i = (1 + i) -1
n
n

27. Problemas de aplicación
Una persona natural cuenta con un stock inicial de
efectivo por S/. 12000,00. si un prestamista y un
banco le ofrecen, independientemente una tasa de
interés del 405 mensual. ¿A cuanto ascendería la
renta acumulada en intereses y el stock final de
efectivo, tanto a interés simple como interés
compuesto; al termino de 5 meses.
i = ?
i = 0,40
P = 12000,00
Elaboraremos un cuadro de interés para ambos regímenes
0 5
S = P

28. Cuadro de interés para ambos regímenes
Interés simple
Meses Stock inicial Intereses Stock final (S)
1 12000,00 4800,00 16800,00
2 12000,00 4800,00 21000,00
3 12000,00 4800,00 26000,00
4 12000,00 4800,00 31200,00
5 12000,00 4800,00
24000,00
36000,00
Interés compuesto
Meses Stock inicial Intereses Stock final (S)
1 12000,00 4800,00 16800,00
2 16800,00 6720,00 23520,00
3 23520,00 9408,00 32928,00
4 32928,00 13171,20 46099,20
5 46099,20 18439,68
52538,88
64538,88
Haciendo usos de las fórmulas precedentes a calcular la renta acumulada en
intereses (I) y el stock final (S)

29. Haciendo usos de la fórmula
Interés simple Interés compuesto
I = Pin I = P (1 + i) -1
I = 12000,00 x 0,40 x 5 I = 12000,00 (1+0,4) -1
I = 24000,00 I = 52538,88
S = P (1 +in) S = P (1 +i)
S = 12000,00 (1 + 0,40 x 5) S = 12000,00 (1 +0,40)
S = 36000,00 S = 64538,88
n
5
n
5
Del cuadro anterior observarnos que la renta acumulada en intereses, a través del
régimen del interés simple, es igual a S/24000,00 Que el horizonte temporal “n” sea
diferente
n = Log (1 + in) log (1 +0,40 x 5) = 3,2651
Log (1 + i ) Log (1 + 0,40)
comprobación
I = Pin = 12000,00 x 0,40 x 5 = 24000,
I = P (1 + i) -1 = 12000,00 (1 + 0,40) -1
I = 24000,115
Que la tasa de interés “i” sea diferente
i = (1 + in) - 1 = (1 +0,40 x 5) - 1 = 0,245731
i = 24,5731% mensual.
n 3,2651
1/n 1/5