Clase de Interés Compuesto

1. MATEMÁTICAFINANCIERA
Expositor: Daniel Robles Fabián

2. MATEMÁTICAFINANCIERA
INTERÉS COMPUESTO
Concepto.- Es un proceso donde un capital en una unidad
de periodo, genera intereses y luego los suma para formar
un nuevo capital, a este proceso se le llama capitalización.
Donde: P1 + I1 = S1 Pn + In = Sn
P1 P2
S1
P3
S2
P4
S3
Pn
Sn-1 Sn
S4
I1 I2 I3
I4 In-1
i
0 1 2 3 4 n-1 n

3. MATEMÁTICAFINANCIERA
P + I
i
Cuando se va acumulando
intereses en varias
unidades de periodos
consecutivos el capital
crece geométricamente.
Este proceso de
capitalización
periódica es efecto
de la tasa de
interés compuesto.

4. MATEMÁTICAFINANCIERA
Un caso:
Si recibimos un préstamo de S/. 1000 a pagarse en 4 meses
fijado a una tasa del 10% mensual.
P1=1000
S1=1100=P2
I1=1000x0.1
I1=100
I2=1100x0.1 I3=1210x0.1 I4=1331x0.1
I2=110 I3=121 I4=133.10
S2=1210=P2 S3=1331=P2 S4=1464.10
i = 10%
(tasa de interés)
0 2 3 41

5. MATEMÁTICAFINANCIERA
TASAS DE INTERÉS COMPUESTO
1. Tasas Efectiva Periódica (i, if, ip).- Es aquella tasa que
capitaliza una vez cada periodo definido.
Ejemplo:
ia = tasa efectiva anual =TEA
is = tasa efectiva semestral =TES
it = tasa efectiva trimestral =TET
ib = tasa efectiva bimestral =TEB
im= tasa efectiva mensual =TEM
iq= tasa efectiva quincenal =TEQ
id = tasa efectiva diario =TED
P S
n1 n2

6. MATEMÁTICAFINANCIERA
2. Tasa Nominal (J).- Es una tasa anual, pero capitaliza varias
veces al año.
P S
0
n= 1 año
1 2 3 4
m = 4
Si el número de capitalizaciones al año es 4, entonces es
capitalización trimestral.
J

7. MATEMÁTICAFINANCIERA
Tiempo(n) Capitalización
# de Capitalizaciones
al año(m)
1 año Anual 1
6 meses Semestral 2
3 meses Trimestral 4
2 meses Bimestral 6
1 mes Mensual 12
½ mes Quincenal 24
1 día Diaria 360
Periódo Sistema Financiero Calendario
año 360 días 365 /366 según el año
mes 30 días 28 /29/30/31 según el mes

8. MATEMÁTICAFINANCIERA
MONTO A TASA EFECTIVA PERIÓDICA(S)
Es el Valor futuro o capital acumulado que se obtiene a partir de
la capitalización que impone una tasa efectiva de un periodo
determinado.
Periodo(n) Capital(P) Interés(I) Monto(S)
1 P Pxi P+Pxi = P(1+i)
2 P(1+i) P(1+i)xi P(1+i)+P(1+i)xi = P(1+i)2
3 P(1+i)2 P(1+i)2
xi P(1+i)2+P(1+i)2
xi = P(1+i)3
4 P(1+i)3 P(1+i)3
xi P(1+i)3+P(1+i)3
xi = P(1+i)4
. . . .
. . . .
n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1
xi P(1+i)n-1+P(1+i)n-1
xi =P(1+i)n

9. MATEMÁTICAFINANCIERA
Entonces para cualquier periodo “n” el valor futuro o
monto se obtiene con la siguiente formula deducida:
Donde:
S Valor futuro o monto
P Valor presente o capital inicial
i Tasa efectiva periódica
n Tiempo
Nota: Para aplicar correctamente la formula, la tasa de
interés y el tiempo deben estar a la misma
unidad de periodo.

10. MATEMÁTICAFINANCIERA
Ejemplo1:
Un crédito personal de S/.5000 debe ser cancelado a 1 año y
3 meses a una TEA=35,5%. Calcular el monto a pagarse en
ese plazo indicado.
Solución:
Datos
P=5000
Ia = 0,355 anual
n = 15/12 años
Por formula:
𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖 𝑎) 𝑛
Aplicando los datos tenemos:
𝑆 = 5000(1 + 0,355)15 12
𝑺 = 𝟕𝟑𝟎𝟗, 𝟔𝟏
P
S
0 1 año 1 a y 3 m

11. MATEMÁTICAFINANCIERA
Ejemplo2:
Una cuenta a plazos de S/. 20000 debe permanecer en el
banco por 8 meses ganando intereses a una TET=1,8%.
Calcular el monto a retirarse al vencimiento del plazo.
Solución:
Datos
P= 20000
it = 0, 018 trimestral
n = 8/3 trimestres
Por formula:
𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖 𝑡) 𝑛
Aplicando los datos tenemos:
𝑆 = 20000(1 + 0,018)8 3
𝑺 = 𝟐𝟎𝟗𝟕𝟒, 𝟒𝟔
P
S
0 1 t 2 t y 2 m2 t

12. MATEMÁTICAFINANCIERA
MONTO A TASA NOMINAL ANUAL
Es el Valor futuro o capital acumulado que se obtiene a partir
de una tasa nominal que capitaliza varias veces al año en un
periodo determinado.
Se calcula con la siguiente formula:
𝑺 = 𝑷(𝟏 +
𝑱
𝒎
) 𝒏 𝒙
𝒎
Donde:
S Valor futuro o monto
P Valor presente o capital inicial
J Tasa Nominal Anual
m Número de capitalizaciones al año
n Tiempo en años

13. MATEMÁTICAFINANCIERA
Ejemplo3:
Un bono hipotecario adquirido a S/. 9000 con un plazo de
vencimiento de 1 año y 6 meses debe pagar intereses a una
J=25,2%. Capitalizable semestralmente. Calcular el monto a
cancelarse.
Solución:
Datos
P= 9000
J = 0, 252
m= 2 (cap. Semestral)
n = 1,5 año
Por formula:
𝑆 = 𝑃(1 +
𝐽
𝑚
) 𝑛 𝑥
𝑚
Aplicando los datos tenemos:
𝑆 = 9000(1 +
0,252
2
)1,5 𝑥
2
𝑺 = 𝟐𝟎𝟗𝟕𝟒, 𝟒𝟔
P S
0 1 s 3s2 s

14. MATEMÁTICAFINANCIERA
𝒊 𝒂 = (𝟏 +
𝑱
𝒎
) 𝒎−𝟏
𝑱 = 𝒎( 𝒎
𝟏 + 𝒊 𝒂 − 𝟏)
TEORÍA DE CONVERSIÓN DE TASAS
DE INTERÉS COMPUESTO
Caso 1: Conversión de Tasa Efectiva Anual a Tasa Nominal
Anual
Si: 𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖𝑎) 𝑛
= 𝑃(1 +
𝐽
𝑚
) 𝑛 𝑥
𝑚
1 + 𝑖𝑎 =
(1 +
𝐽
𝑚
) 𝑚
Despejando tenemos:
Tasa Efectiva Anual (ia)
Tasa Nominal Anual(J)

15. MATEMÁTICAFINANCIERA
Ejemplo: A que tasa efectiva anual será equivalente la tasa
nominal del 21% capitalizable mensualmente.
Solución:
Datos:
ia= ?
J = 0,21
m=12 (cap. mensualmente)
Como:
Remplazando tenemos:
𝒊 𝒂 = 𝟎, 𝟐𝟑𝟏𝟒𝟑𝟗 𝒙 𝟏𝟎𝟎%
𝒊 𝒂 = 𝟐𝟑. 𝟏𝟒% 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙.
𝒊 𝒂 = (𝟏 +
𝑱
𝒎
) 𝒎−𝟏
𝒊 𝒂 = (𝟏 +
𝟎, 𝟐𝟏
𝟏𝟐
) 𝟏𝟐−𝟏

16. MATEMÁTICAFINANCIERA
Ejemplo: A que tasa nominal que sea capitalizable
trimestralmente será equivalente a la tasa efectiva anual del
24;6%
Solución:
Datos:
J = ?
m = 4 (cap. trimestralmente)
ia= 0,246
Como:
Remplazando tenemos:
𝑱 = 𝟒(
𝟒
𝟏 + 𝟎. 𝟐𝟒𝟔-1)
𝑱 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟔𝟏 𝒙 𝟏𝟎𝟎%
𝑱 = 𝟐𝟐, 𝟔𝟏% 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙.
𝑱 = 𝒎( 𝒎
𝟏 + 𝒊 𝒂 − 𝟏)

17. MATEMÁTICAFINANCIERA
TEORÍA DE CONVERSIÓN DE TASAS
DE INTERÉS COMPUESTO
Caso 2: Conversión de Tasa Nominal Anual a Tasa Efectiva
Periódica
𝒊 𝒙 =
𝑱
𝒎
Donde “x” depende de m
Ejemplo1:
J=20%
m= 4 (cap. trim.)
𝑖 𝑡 =
𝟐𝟎%
𝟒
= 5%
Ejemplo2:
J=18,6%
m= 24 (cap. quinc.)
𝑖 𝑞 =
𝟏𝟖,𝟔%
𝟐𝟒
= 0,775%

18. MATEMÁTICAFINANCIERA TEORÍA DE CONVERSIÓN DE TASAS
DE INTERÉS COMPUESTO
Caso 3: Conversión de Tasas Efectivas Periódicas
Si: 𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖𝑎) 𝑛= 𝑃(1 +
𝐽
𝑚
) 𝑛 𝑥
𝑚
𝟏 + 𝒊𝒂 =
(𝟏 +
𝑱
𝒎
) 𝒎
Analógicamente:
𝟏 + 𝒊 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 = (𝟏 + 𝒊 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓) 𝒎
Despejando se deduce:
Tasa Efectiva Mayor:
Tasa Efectiva Menor:
𝒊 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 = (𝟏 + 𝒊 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓) 𝒎−𝟏
𝒊 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 =
𝒎
𝟏 + 𝒊 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 − 𝟏

19. MATEMÁTICAFINANCIERA
Ejemplo1: A que tasa efectiva semestral equivale la tasa
efectiva bimestral del 4,52%.
Solución:
Datos:
iS = ? (mayor)
Ib = 0,0452
m = 3
𝒊 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 = (𝟏 + 𝒊 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓) 𝒎−𝟏
𝒊 𝒔 = (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟐) 𝟑−𝟏
𝒊 𝒔 = 𝟏𝟒, 𝟏𝟖%
Ejemplo2: A que tasa efectiva mensual equivale la tasa efectiva
anual del 18,15%.
Solución:
Datos:
im = ? (menor)
Ia = 0,1815
m = 12
𝒊 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 =
𝒎
𝟏 + 𝒊 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 − 𝟏
𝒊 𝒎 =
𝟏𝟐
𝟏 + 𝟎. 𝟏𝟖𝟏𝟓 − 𝟏
𝒊 𝒎 = 𝟏, 𝟒𝟎%

20. MATEMÁTICAFINANCIERA
FORMULAS DERIVADAS DEL MONTO
A partir de: 𝑷(𝟏 + 𝒊 𝒑) 𝒏 = 𝑺 Despejando tenemos:
1. Valor Actual o Capital (P) 𝑷 =
𝑺
(𝟏 + 𝒊 𝒑) 𝒏
2. Tasa Efectiva Periódica (ip)
𝒊 𝒑 =
𝒏 𝑺
𝑷
− 𝟏
3. Tiempo(n)
𝒏 =
𝑳𝒐𝒈(
𝑺
𝑷
)
𝑳𝒐𝒈(𝟏 + 𝒊 𝒑)

21. MATEMÁTICAFINANCIERA
Problema 1: ¿Qué préstamo debe realizarse a 6 meses y 18
días para poder cobrar las suma de S/.12640 fijado a una
TEM=4,5%.
Solución:
Datos:
P = ?
n = 6 m y 18 d
im=0,045
S = 12640 𝑃 =
𝑆
(1 + 𝑖 𝑚) 𝑛
Sabemos que:
Remplazando:
𝑃 =
12640
(1 + 0,045)6,6
18 días convertir a meses mediante
el método de la unidad.
18d
1 m
30 d
= 0,6 m
𝑃 = 9453,22

22. MATEMÁTICAFINANCIERA
Problema 2: ¿ A qué tasa efectiva bimestral debe otorgarse
un crédito de S/.6800 para cobrara la suma de S/.9120 en el
plazo de 1 año, 5 meses y 3 días.
Solución:
Datos:
ib=0,045
P = 6800
S = 9120
n = 1a,5m y 3d
𝑖 𝑏 =
8,55 9120
6800
− 1
𝑖 𝑏 = 0,034929𝑥100%
𝑖 𝑏 = 3,49%
Convirtiendo el tiempo en bimestres
n = 1a, 5m y 3d = 513 d (
1 𝑏
60 𝑑
) = 8,55 𝑏

23. MATEMÁTICAFINANCIERA
Problema 3: Durante que plazo debe depositarse una cuanta
de ahorros de S/.4910 a una TET=1,89% para tener un saldo
de S/.7084.
Solución:
Datos:
n = ?
P = 4910
it = 0,0189
S = 7084
𝑛 =
𝐿𝑜𝑔(
𝑆
𝑃
)
𝐿𝑜𝑔(1 + 𝑖 𝑝)
Sabemos que:
𝑛 =
𝐿𝑜𝑔(
7084
4910
)
𝐿𝑜𝑔(1 + 0,0189)
Remplazando:
𝑛 = 19,57767225 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠
90 𝑑
1 𝑡
𝑛 = 1761 𝑑í𝑎𝑠
𝑛 = 4 𝑎, 10 𝑚 𝑦 21 𝑑

24. MATEMÁTICAFINANCIERA
4. Interés(I)
Problema 4: Calcular los interés a pagarse en una deuda de
S/. 7500 fijado a una TEQ = 2% y un plazo de 10 meses y 10
días.
Datos:
I= ?
P = 7500
iq = 0,02
n = 10 m y 10 d
𝐼 = 𝑆 − 𝑃
𝐼 = 𝑃(1 + 𝑖) 𝑛
− 𝑃
𝑰 = 𝑷 (𝟏 + 𝒊) 𝒏
− 𝟏
𝑛 = 10𝑚 𝑦 10𝑑 = 310𝑑
1𝑞
15𝑑
= 20,666 … .
Aplicando : 𝐼 = 𝑃 (1 + 𝑖) 𝑛 − 1
𝐼 = 7500 (1 + 0,02)20,666… − 1
𝐼 = 3792,71 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥.

25. MATEMÁTICAFINANCIERA
DESCUENTO A INTERES COMPUESTO
1.DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO(DRC).- Es un descuento
matemático exacto establecido a partir de la tasa efectiva
periódica por el pago anticipado de una deuda.
Donde:
DRC = Descuento Racional Compuesto
n = tiempo de descuento
Va = Valor Actual
Vn = Valor Nominal
P Va Vn
n
0 n1 n2
ip
DRC
𝑫 𝑹𝑪 = 𝑽 𝑵 𝟏 − (𝟏 + 𝒊 𝒑)−𝒏
𝑽 𝑨 = 𝑽 𝑵 − 𝑫 𝑹𝑪

26. MATEMÁTICAFINANCIERA
Problema: Un préstamo se acordó pagar a 8 meses y 24 días
la suma de S/. 18400 pero transcurrido 6 meses y 27 días de
su aceptación se decide cancelar. Calcular el descuento
racional que debe realizarse y el valor de pago si la operación
se lleva a la TEM=1,6%.
Datos:
DRC = ?
Vn = 18400
im = 0.016
n1 = 8 m y 24 d
n2 = 6 m y 27 d
Solución:
P Va=? Vn=18400
n=1m y 27d
0 n1 n2
im=1,6%
n = 1,9 m
Aplicando:
𝑫 𝑹𝑪 = 𝟓𝟒𝟔, 𝟔𝟓
𝑫 𝑹𝑪 = 𝑽 𝑵 𝟏 − (𝟏 + 𝒊 𝒑)−𝒏
𝑫 𝑹𝑪 = 𝟏𝟖𝟒𝟎𝟎 𝟏 − (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟔)−𝟏,𝟗
𝑽 𝑨 = 𝟏𝟖𝟒𝟎𝟎 − 𝟓𝟒𝟔, 𝟔𝟓 𝑽 𝑨 = 𝟏𝟕𝟖𝟓𝟑, 𝟑𝟓

27. MATEMÁTICAFINANCIERA
DESCUENTO A INTERES COMPUESTO
2.DESCUENTO BANCARIO COMPUESTO(DBC).- Es un
descuento comercial establecido a partir de la tasa
adelantada periódica por el pago anticipado de una deuda.
Donde:
DBC = Descuento Bancario Compuesto
n = tiempo de descuento
Va = Valor Actual
Vn = Valor Nominal
P Va Vn
n
0 n1 n2
ip
DBC
𝑫 𝑩𝑪 = 𝑽 𝑵 𝟏 − (𝟏 − 𝒅) 𝒏
𝑽 𝑨 = 𝑽 𝑵 − 𝑫 𝑩𝑪
𝒅 =
𝒊
𝟏 + 𝒊

28. MATEMÁTICAFINANCIERA
Problema: Una letra de cambio se acepto pagar a 90 días el
valor de S/.12300 pero faltando 24 días para el vencimiento se
decide cancelar. Calcular el valor de pago si la operación se
lleva a una tasa de descuento bimestral del 3,2%
Datos:
DBC = ?
Vn = 12300
db = 0,032
n = 24 d
Solución:
P Va=? Vn=12300
n=24 d
0 n1 n2
db=3,2%
DBC
n = 0,4 bim
𝑫 𝑩𝑪 = 𝑽 𝑵 𝟏 − (𝟏 − 𝒅) 𝒏Aplicando:
𝑫 𝑩𝑪 = 𝟏𝟐𝟑𝟎𝟎 𝟏 − (𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟏𝟑) 𝟎,𝟒
𝑫 𝑩𝑪 = 𝟔𝟒, 𝟐𝟏
𝑽 𝑨 = 𝟏𝟐𝟐𝟑𝟓, 𝟕𝟗

29. MATEMÁTICAFINANCIERA
Full práctica