Conceptos básicos de Interés Compuesto, fórmulas y procedimientos de cálculo de Valor Presente, Valor Futuro, Tasa de Interés Nominal y Efectiva, Tiempo y Tasas Equivalentes.

1. Matemática Financiera Aplicada
A la Administración Pública
Núcleo de Fundamentación
V Semestre
UNIDAD 2
INTERÉS COMPUESTO
Tutor
Rodrigo Velasco Palomino
Escuela Superior de Administración Pública
Programa de Administración
Pública Territorial

2. 2
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TABLA DE CONTENIDO
UNIDAD 2
INTERÉS COMPUESTO
2.1 Concepto de Interés Compuesto
2.2 Cálculo del Valor Futuro
2.3 Cálculo del Valor Presente
2.4 Cálculo de la Tasa de Interés
2.5 Cálculo del Período de Tiempo
2.6 Tasa Nominal y Tasa Efectiva
2.7 Tasas de Interés Equivalentes
BIBLIOGRAFÍA

3. 3
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2. INTERÉS COMPUESTO
2.1 CONCEPTO DE INTERÉS COMPUESTO
Ocurre cuando se conviene que, cada vez que transcurra un determinado período de tiempo, los intereses
producidos en ese período se agreguen al capital formando un nuevo monto sobre el cual se calculan los
intereses en el siguiente período de tiempo y así sucesivamente, se dice que los intereses se capitalizan o
acumulan. El cálculo del interés compuesto tiene mayor aplicación en las finanzas que el interés simple.
Ejemplo
Se hace un crédito de $10’000.000 con un interés compuesto del 2,5% mensual a 4 meses de plazo. ¿Cuánto
cancelamos en total por el crédito?
Mediante este ejemplo haremos un análisis del comportamiento del crédito en cada período teniendo en
cuenta su capitalización y la deducción de las fórmulas de cálculo.
Mes Capital Interés Saldo
0 10’000.000 0 10’000.000
1 10’000.000 10’000.000 x 0,025 = 250.000 10’250.000
2 10’250.000 10’250.000 x 0,025 = 256.250 10’506.250
3 10’506.250 10’506.250 x 0,025 = 262.656,25 10’768.906,25
4 10’768.906,25 10’768.906,25 x 0,025 = 269.222,6563 11’038.128,91
En la tabla observamos que:
En el primer mes los 10’000.000 generan un interés de 250.000, los cuales se incorporan a la deuda para el
segundo mes.
En el segundo mes los 10’250.000 generan un interés de 256.250, los cuales se incorporan a la deuda del
tercer mes.
Y así sucesivamente cada interés se capitaliza y entra a hacer parte de la deuda en el siguiente mes.
Para un periodo n, podemos generalizar la fórmula de cálculo del Valor Futuro y deducir las fórmulas para
Valor Presente, Tasa de Interés y Número de Períodos, independiente de si es un ingreso o un egreso:
Mes Capital Interés Valor Futuro Valor Futuro (Factorizado)
0 P 0 P P
1 P P x i P + P x i P ( 1 + i )1
2 P ( 1 + i ) P ( 1 + i ) i P ( 1 + i ) + P ( 1 + i ) i P (1 + i ) ( 1 + i ) = P ( 1 + i )2
3 P ( 1 + i )2
P ( P + i )2
i P ( 1 + i )2
+ P ( 1 + i )2
i P ( 1 + i )2
(1 + i ) = P ( 1 + i )3
4 P ( 1 + i )3
P ( P + i )3
i P ( 1 + i )3
+ P ( P + i )3
i P ( 1 + i )3
(1 + i ) = P ( 1 + i )4
Valor Futuro
F = P ( 1 + i )n
Valor Presente
𝑷 =
𝑭
(𝟏 + 𝒊) 𝒏
Tasa de Interés
𝒊 = √
𝑭
𝑷
𝒏
− 𝟏
Número de Períodos
𝒏 =
𝒍𝒐𝒈 (
𝑭
𝑷
)
𝒍𝒐𝒈 (𝟏 + 𝒊)
Interés
𝑰 = 𝑭[ 𝟏 − ( 𝟏 + 𝒊)−𝒏]

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Pasos para despejar cada variable a partir del Valor Futuro:
Valor Presente
F = P ( 1 + i )n
𝑷 =
𝑭
(𝟏 + 𝒊) 𝒏
Tasa de Interés
F = P ( 1 + i )n
(𝟏 + 𝒊) 𝒏
=
𝑭
𝑷
√(𝟏 + 𝒊) 𝒏𝒏
= √
𝑭
𝑷
𝒏
𝟏 + 𝒊 = √
𝑭
𝑷
𝒏
𝒊 = √
𝑭
𝑷
𝒏
− 𝟏
Número de Períodos
F = P ( 1 + i )n
(𝟏 + 𝒊) 𝒏
=
𝑭
𝑷
𝒍𝒐𝒈(𝟏 + 𝒊) 𝒏
= 𝒍𝒐𝒈 (
𝑭
𝑷
)
𝒏 . 𝒍𝒐𝒈(𝟏 + 𝒊) = 𝒍𝒐𝒈 (
𝑭
𝑷
)
𝒏 =
𝒍𝒐𝒈(
𝑭
𝑷
)
𝐥𝐨𝐠(𝟏 + 𝒊)
Interés
I = F – P
𝐈 = 𝐅 −
𝑭
(𝟏 + 𝒊) 𝒏
𝑰 = 𝑭 − 𝑭 (𝟏 + 𝒊)−𝒏
𝑰 = 𝑭 [ 𝟏 − ( 𝟏 + 𝒊)−𝒏]
2.2. CALCULO DEL VALOR FUTURO
F = P ( 1 + i )n
Ejemplo:
Hallar el valor futuro de $ 5.000 en 6 años con la tasa del 8%.
Solución 1:
P = 5.000 n = 6 i = 0.08
F = P (1+i)n
F = 5.000 (1+0.08)6
F = $ 7.934,37
2.3 CALCULO DEL VALOR PRESENTE
𝑷 =
𝑭
(𝟏 + 𝒊) 𝒏
Ejemplo:
Sabemos que dentro de 10 meses un valor futuro es de $ 130000, si la tasa de interés es de 2.5% mensual. ¿A
cuánto asciende el presente equivalente?
Solución:
F = 130.000 n = 10 i = 0.025
𝑷 =
𝑭
(𝟏 + 𝒊) 𝒏

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𝑷 =
130.000
(1 + 0.025)10
P = $ 101.555,79
2.4 CALCULO DE LA TASA DE INTERES
𝒊 = √
𝑭
𝑷
𝒏
− 𝟏
Ejemplo:
A qué tasa de interés mensual se tiene que colocar la suma de $ 1’350.000 para que en tres años se
¿conviertan en $ 3’200.000?
Solución:
VP = 1’350.000 VF = 3’200.000 n = 3 años = 36 meses
𝒊 = √
𝑭
𝑷
𝒏
− 𝟏
𝒊 = √
3′200.000
1′1350.000
36
− 1
i = 0.0243 = 2.43% mensual.
2.5 CALCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS
𝒏 =
𝒍𝒐𝒈 (
𝑭
𝑷
)
𝒍𝒐𝒈 (𝟏 + 𝒊)
Ejemplo:
Cuánto tiempo hay que esperar para que después de depositar hoy $ 150.000 en una cuenta de ahorros que
reconoce el 5% trimestral, podamos retirar $ 588.000.
Solución:
P = 150.000 F = 588.000 i = 0.05 n = ?
𝒏 =
𝒍𝒐𝒈(
𝑭
𝑷
)
𝒍𝒐𝒈( 𝟏+ 𝒊)

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𝑛 =
𝑙𝑜𝑔(
588.000
150.000
)
𝑙𝑜𝑔(1 + 0.05)
n = 28 trimestres = 7 años
2.6 CALCULO DEL INTERÉS
𝑰 = 𝑭[ 𝟏 − ( 𝟏 + 𝒊)−𝒏]
Ejemplo:
Qué interés se canceló por un crédito que al final se dio $ 600.000 durante un tiempo de 5 meses a una tasa
de 0.32% mensual.
Solución 1:
P = 1’000.000 i = 0.025 n = 6 + 5/12 = 6,4167
𝑰 = 𝑭[ 𝟏 − ( 𝟏 + 𝒊)−𝒏]
𝑰 = 600.000[1 − (1 + 0.025)−5]
I =
2.7 TASA DE INTERÉS NOMINAL Y TASA DE INTERÉS EFECTIVA
En el interés compuesto existen dos tasas de interés: Nominal y Efectiva.
Esto hace que en muchas operaciones crediticias se presenten confusiones en el cálculo de los intereses y
puede estar ocurriendo que aunque ambas partes crean que están hablando de lo mismo a la final realicen
cálculos diferentes. Hay que tener muy clara la diferencia entre estos dos tipos de tasas de interés.
La tasa de interés nominal es la tasa de interés que se capitaliza más de una vez al año, hablar de tasa
nominal equivale a tasa capitalizable; las tasas nominales siempre van acompañadas de la información del
número de veces que se liquida o capitaliza el interés en el período unitario.
La tasa Nominal se representa con j y el número de veces que el interés se convierte en capital en lapsos
iguale de tiempo se denomina capitalización o se simboliza con m
Ejemplo:
j = 30% N.M. Se lee 30% Nominal Mensual o capitalizable mensualmente y el interés, durante el año, se
convierte 12 veces en capital, donde m=12.
j = 24% N.T. Se lee 24% Nominal Trimestral o capitalizable cada tres meses y el interés, durante el año, se
convierte 4 veces en capital, donde m = 4.
j = 20% N.B. Se lee 20% Nominal Bimensual o capitalizable cada dos meses y el interés, durante el año, se
convierte 6 veces en capital, donde m = 6.
j = 30% N.D. Se lee 30% Nominal Diaria o capitalizable cada mes y el interés, durante el año, se convierte
12 veces en capital, donde m = 360.

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La tasa de interés efectiva es aquella que se utiliza para determinar el interés que efectivamente en un
periodo debe sumarse al capital, en el momento de efectuarse la liquidación. La tasa efectiva siempre se
considera compuesta y vencida ya que se aplica sobre el capital al final del período.
La tasa de interés nominal me obliga a determinar cada cuanto se capitaliza y cuál es el interés que efectivo
que se aplica en cada capitalización y así determinar el interés efectivo para el período de un año.
Tasa de interés efectiva
Para el Sub período
𝒊 𝒑 =
𝒋
𝒎
Tasa de interés efectiva
Para el período
𝒊 𝒆 = ( 𝟏 +
𝒋
𝒎
)
𝒎
− 𝟏
Valor Futuro en Función
De la Tasa Nominal
F = P (1 + ip)m.n
F = P (1 + j/m)m.n
Ejemplo:
Determinar la Tasa de Interés Efectiva Anual ie que corresponde a un crédito de $ 1’000.000 a una tasa de
Interés del 36% Nominal Semestral.
Solución:
36% N.S. implica que el crédito se capitaliza 2 veces en año.
Tasa de Interés Semestral
𝒊 𝒑 =
𝒋
𝒎
𝑖 𝑝 =
36%
2
ip = 18% Efectivo Semestral
Tasa de Interés Anual
𝒊 𝒆 = ( 𝟏 +
𝒋
𝒎
)
𝒎
− 𝟏
𝒊 𝒆 = ( 𝟏 +
𝟎. 𝟑𝟔
𝟐
)
𝟐
− 𝟏
ie = 39,24 % Efectivo Anual
Por lo tanto el Valor Futuro será:
F = P (1 + ip)m
F = 1’000.000 (1 + 0.18)2
F = 1’392.400
Se aumentó en $ 392.400, intereses que corresponden a una relación porcentual del 39,24% al aplicar durante
dos semestres una tasa del 18%.
Nota:
Erróneamente se tiende a pensar que como la tasa de Interés Efectiva Semestral es del 18% entonces la Tasa
de interés Efectiva Anual sería del 36%, pero observamos que en realidad, es un poco más y, es del 39,24%
Efectiva Anual.
Ejemplo:
Determinar la Tasa de interés Efectiva Anual para las siguientes tasas:
1. 30% N.S.
2. 30% N.T.

8. 8
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3. 30% N.B.
4. 30% N.M.
5. 30% N.D.
30% N.S. 30% N.T. 30% N.B. 30% N.M. 30% N.D.
𝒊 𝒆 = (𝟏 +
𝒋
𝒎
)
𝒎
− 𝟏
𝒊 𝒆 = (𝟏 +
𝟎. 𝟑𝟎
𝟐
)
𝟐
− 𝟏
𝒊 𝒆 = 𝟑𝟐. 𝟐𝟓 % 𝑨𝒏𝒖𝒂𝒍
𝒊 𝒆 = (𝟏 +
𝒋
𝒎
)
𝒎
− 𝟏
𝒊 𝒆 = (𝟏 +
𝟎. 𝟑𝟎
𝟒
)
𝟒
− 𝟏
𝒊 𝒆 = 𝟑𝟑. 𝟓𝟓 % 𝑨𝒏𝒖𝒂𝒍
𝒊 𝒆 = (𝟏 +
𝒋
𝒎
)
𝒎
− 𝟏
𝒊 𝒆 = (𝟏 +
𝟎. 𝟑𝟎
𝟔
)
𝟔
− 𝟏
𝒊 𝒆 = 𝟑𝟒. 𝟎𝟎 % 𝑨𝒏𝒖𝒂𝒍
𝒊 𝒆 = (𝟏 +
𝒋
𝒎
)
𝒎
− 𝟏
𝒊 𝒆 = (𝟏 +
𝟎. 𝟑𝟎
𝟏𝟐
)
𝟏𝟐
− 𝟏
𝒊 𝒆 = 𝟑𝟒. 𝟒𝟖 % 𝑨𝒏𝒖𝒂𝒍
𝒊 𝒆 = (𝟏 +
𝒋
𝒎
)
𝒎
− 𝟏
𝒊 𝒆 = (𝟏 +
𝟎. 𝟑𝟎
𝟑𝟔𝟓
)
𝟑𝟔𝟓
− 𝟏
𝒊 𝒆 = 𝟑𝟒. 𝟗𝟔 % 𝑨𝒏𝒖𝒂𝒍
Ejemplo:
Se invierten $350.000 a término fijo durante 3 años al 28% de interés N.T. determinar el Valor Futuro.
P = 350.000
n = 3 años
j = 0.28 N.T.
F = ?
Solución:
Con Interés Nominal Con Interés Efectivo
𝑭 = 𝑷 ( 𝟏 +
𝒋
𝒎
)
𝒎 .𝒏
𝐹 = 350.000 (1 +
0.28
4
)
4 . 3
F = 788.267,06
𝑭 = 𝑷( 𝟏 + 𝒊) 𝒏
𝐹 = 350.000(1 + 0.07)12
F = 788.267,06
Ejemplo:
Hallar el Valor Futuro de una inversión de $ 1’500.000 durante 270 días a una tasa de interés de 30% E.A.
Usar el año de 360 días.
P = 1’500.000
n = 270 días = 270/360 = 0.75 años
i = 0.30 E.A.
F = ?
Solución:
𝑭 = 𝑷( 𝟏 + 𝒊) 𝒏
𝐹 = 1′500.000(1 + 0.30)0.75
F = 1’826.201,83
Ejemplo:
Al iniciar los meses de julio y septiembre me propongo ahorrar $ 15000 y $ 21000 respectivamente y deseo
consignarlos en una corporación que me reconoce el 2.2% mensual. ¿Cuánto dinero puedo disponer el
primero de noviembre?
P1= 15.000 P2= 15.000

9. 9
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n1= 4 n2= 2
i = 2.2 % i = 2.2 %
F = P1 (1+i)n
1 + P2 (1+i)n
2
F = 15000(1+0.022)4
+ 21000(1+0.022)2
F = 16364.10 + 21934.16
F = $ 38298.26
Ejemplo:
Por un préstamo de $25’000.000 de pesos pagamos una tasa del interés del 18% N.B durante un año.
¿Cuánto debemos pagar por el préstamo?
Como la tasa de interés es bimestral el tiempo debe ser bimensual (en una año hay 6 bimestres)
P = 25’000.000
m = 6 (número de capitalizaciones)
j = 18% N.B.
n = 1 año
Con Interés Nominal Con Interés Efectivo
𝑭 = 𝑷 ( 𝟏 +
𝒋
𝒎
)
𝒎.𝒏
𝑭 = 25′
000.000 (1 +
0.18
6
)
6 .1
F = 29’851.307,41
𝑭 = 𝑷( 𝟏 + 𝒊) 𝒏
𝐹 = 25′000.000(1 + 0.03)6
F = 29’851.307,41
Ejemplo:
Consignamos $10’000.000 en una Corporación durante 2 años, y nos pagan una tasa de interés del 12%
N.M (Nominal Mensual). ¿Cuánto dinero retiramos dentro de 2 años?
P = 10’000.000
m = 12 (número de capitalizaciones)
j = 12% N.M.
n = 2 años
Con Interés Nominal Con Interés Efectivo
𝑭 = 𝑷 ( 𝟏 +
𝒋
𝒎
)
𝒎.𝒏
𝑭 = 10′000.000 (1 +
0.12
12
)
12 .2
F = 12’697.346.49
𝑭 = 𝑷( 𝟏 + 𝒊) 𝒏
𝐹 = 10′000.000(1 + 0.01)24
F = 12’697.346.49

10. 10
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Ejemplo:
Qué capital debo invertir para poder retirar un millón de pesos dentro de 18 meses, suponiendo que el capital
gana el 28% N.S.
P = ?
n = 18 meses
j = 0.28 N.S. = 0.14 % E.S.
F = 1’000.000
Solución:
Con Interés Nominal Con Interés Efectivo
𝑷 =
𝑭
( 𝟏 +
𝒋
𝒎
)
𝒎 . 𝒏
𝑃 =
1′
000.000
(1 +
0.28
2
)
2 .1,5
P = $ 674.971.52
𝑷 =
𝑭
(𝟏 + 𝒊) 𝒏
𝑃 =
1′
000.000
(1 + 0.14)3
P = $ 674.971.52
Ejemplo:
Hallar la tasa de Interés capitalizable semestralmente, si se debe pagar $ 500.000 después de 15 meses de una
deuda inicial de $ 350.000.
P = 350.000
n = 15 meses = 2.5 semestres
i = ?
F = 500.000
Solución:
𝒊 = √
𝑭
𝑷
𝒏
− 𝟏
𝒊 = √
500.000
350.000
2.5
− 1
i = 15.33% Semestral
2.8 TASAS EQUIVALENTES
Dos Tasas Nominales para diferentes sub periodos son equivalentes si al hacer la respectiva conversión
producen la misma Tasa Efectiva para un mismo período.
Ejemplo:
*Demuestre que una tasa del 24% Nominal Semestral es equivalente a la tasa del 22,88% Nominal
Mensual.
Solución:

11. 11
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Debemos de Convertir cada Tasa Nominal dada a Efectiva Anual y mostrar que son iguales.
j = 24% N.S.
𝒊 𝒆 = ( 𝟏 +
𝒋
𝒎
)
𝒎
− 𝟏
𝑖 𝑒 = (1 +
0,24
2
)
2
− 1
𝑖 𝑒 = 0,2544
𝑖 𝑒 = 25,44
j = 22,88% N.M.
𝒊 𝒆 = ( 𝟏 +
𝒋
𝒎
)
𝒎
− 𝟏
𝑖 𝑒 = (1 +
0,2288
12
)
12
− 1
𝑖 𝑒 = 0,2544
𝑖 𝑒 = 25,44
Como efectivamente vemos que ambas Tasas Nominales producen el mismo interés Efectivo Anual.
Ejemplo:
Hallar la Tasa de Interés Nominal Semestral equivalente a la Tasa del 20% N.B.
Solución:
Debemos plantear una ecuación en la que se igualan las Tasas de Interés Nominal que producen la misma
Tasa de Interés Efectiva, en la que una de ellas es la incógnita.
La Tasa Nominal Semestral
capitaliza 2 veces al año,
entonces m = 2
𝒊 𝒆 = ( 𝟏 +
𝒋
𝒎
)
𝒎
− 𝟏
𝑖 𝑒 = (1 +
𝑗
2
)
2
− 1
La Tasa Nominal Bimestral
capitaliza 6 veces al año,
entonces m = 6
𝒊 𝒆 = ( 𝟏 +
𝒋
𝒎
)
𝒎
− 𝟏
𝑖 𝑒 = (1 +
0,20
6
)
6
− 1
Por lo tanto:
(1 +
𝑗
2
)
2
− 1 = (1 +
0,20
6
)
6
− 1
(1 +
𝑗
2
)
2
= 1,217426174
(1 +
𝑗
2
) = 1,10337037
j = 0,20674074
Esto quiere decir que la Tasa del 20,67% N.S. produce la misma
Tasa de Interés Efectiva que la Tasa del 20% N.B.
Ejemplo:

12. 12
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Convertir una Tasa del 35% N.M. a Efectiva Anual.
Solución:
La Tasa Efectiva Anual
capitaliza una sola vez en el
año, entonces m = 1
𝒊 𝒆 = ( 𝟏 +
𝒋
𝟏
)
𝟏
− 𝟏
𝑖 𝑒 = (1 + 𝑖) − 1
La Tasa Nominal Mensual
capitaliza 12 veces al año,
entonces m = 12
𝒊 𝒆 = ( 𝟏 +
𝒋
𝟏𝟐
)
𝟏𝟐
− 𝟏
𝑖 𝑒 = (1 +
0,35
12
)
12
− 1
Por lo tanto:
(1 + 𝑖) − 1 = (1 +
0,35
12
)
12
− 1
(1 + 𝑖) = 1,411979978
(1 + 𝑖) = 1,10337037
i = 0,10337037
Esto quiere decir que la Tasa del 35% N.M. equivale a una Tasa
de Interés Efectiva 10,34% Nominal Anual