1. Bloque II
Tema 1:
Movimiento Armónico
Simple (M.A.S.) o
Movimiento Vibratorio
Armónico Simple
(M.V.A.S.)

2. Definiciones
• Movimiento periódico: un móvil
posee un movimiento periódico
cuando en intervalos de tiempos
iguales pasa por el mismo punto
del espacio siempre con las
mismas características
(posición, velocidad,
aceleración, etc.)
• Movimiento vibratorio: un
movimiento vibratorio es el
movimiento realizado por un
cuerpo que ocupa
sucesivamente posiciones
simétricas respecto a una
posición de equilibrio.

3. Conceptos fundamentales del MAS
• Vibración: Es el camino seguido por un cuerpo en
mov. Vibratorio desde que pasa por un punto de su
trayectoria hasta que vuelve al mismo punto con igual
sentido de mov.
• Periodo (T): Es el tiempo que tarda un móvil en
realizar 1 vuelta o 1 vibración completa. (SI: s)
• Frecuencia (f): es el nº de vibraciones que efectúa 1
móvil en 1 segundo. (SI: s-1 o Hz). La frecuencia es la
inversa del periodo. 1
f =
T
• Elongación (x ó y): Es la distancia que existe en cada
instante entre el cuerpo que vibra y la posición de
equilibrio. (SI: m)
• Amplitud (A): Es la máxima distancia que existe entre
el cuerpo que vibra y la posición de equilibrio. Es la
elongación máxima. (SI: m)

4. Ecuación del M.V.A.S.
Se llama MVAS a un
movimiento rectilíneo en el cual
la aceleración del móvil es
directamente proporcional a su
distancia a un punto fijo O de la
trayectoria y está dirigida
constantemente hacia dicho
punto.

5. Ecuación del MVAS
• Consideremos 1 bloque de masa m situado sobre una
superficie horizontal sin rozamiento. Este bloque está unido
a 1 de los extremos de un muelle que tiene su otro extremo
fijo a la pared.

N
En la posición de equilibrio, el
muelle no ejerce ninguna fuerza
 sobre el bloque
P
• Supongamos que se alarga una distancia x el resorte y
soltamos el bloque, entonces la única fuerza que actúa
sobre el bloque es la fuerza recuperadora del muelle, que
por la ley de Hooke vale: F = − k · x Esta es la fuerza
que genera el MVAS del sistema.
F
x

6. Ecuación del MVAS
Ley de Hooke:
F = − K ·x
Ecuación − K ·x = m·a
fundamental
de la dinámica: F = m·a
La aceleración del MVAS es
K2
directamente proporcional a = −ω · x
a la elongación, y de sentido m
contrario a ella.
Ec. MVAS
K K/m es una constante para cada sistema
= ω2 que se representa por ω2, siendo ω una
m constante denominada pulsación o
frecuencia angular.

7. Relación MCU - MAS
Buscamos:
La ecuación del movimiento,
movimiento
es decir, la relación entre la
elongación y el tiempo.
La ecuación de la velocidad de
vibración de la partícula, es
decir, la relación entre la
velocidad y el tiempo
La expresión de la aceleración
en función del tiempo.

8. Relación MCU - MAS
Consideremos 1 MCU
ω
Si observamos la
proyección del
punto móvil
sobre el eje X.
Mientras realiza
1 MCU, realiza 1
MVAS
Ec. MCU: φ = φ0 + ω·t

9. Relación MCU - MAS
• Si en 1 tiempo cualquiera, el punto que realiza el mov.
circular está en Q, su proyección estará en S.
OS x x
cos ϕ = = =
OQ R A Q
 x = A·cos ϕ
→
MCU : ϕ = ϕ 0 + ω ·t O
φ S M
x
R
x = A·cos(ω ·t + ϕ 0 )

10. Ecuación del Movimiento MVAS
x = A·sin(ω ·t + ϕ 0 )
Fase (rad)
x = A·cos(ω ·t + ϕ 0 )
Desfase inicial (rad)
Pulsación (rad/s)
Amplitud (cm o m)
Elongación (cm o m)

11. Periodo de un MVAS
Para determinar el periodo basta con tener en cuenta que
si la fase aumenta 2π rad (1 vuelta), el móvil ha descrito
una vibración, o sea, el tiempo transcurrido es el
periodo T.
φ = φ0 + ω·t 2π = ω·T
Si φ0 = 0 y φ = 2π t=T
2π
K T=
Teniendo en cuenta que ω=
m
ω
1
Recordando que f =
2π
T
y que ω=
T m
Tenemos: T = 2π
ω = 2πf K

12. velocidad y aceleración del MVAS
cos = ±1
x = A·cos(ω ·t + ϕ 0 ) → xmax = ± A
dx
v= = −ω · A·sin(ω ·t + ϕ 0 ) sin = ±1→ vmax = ±ω · A
 
dt
dv
a= = −ω 2 · A·cos(ω ·t + ϕ 0 ) cos= ±1→ amax = ±ω 2 · A

dt
a = −ω · x 2
MVAS (por definición)

13. velocidad y aceleración del MVAS
tiempo fase elongación velocidad aceleración
t ωt x v a
0 0 A 0 - ω2A
T/4 π/2 0 -ωA 0
T/2 π -A 0 ω2A
3T/4 3 π/2 0 ωA 0
T 2π A 0 -ω2A

14. Puntos de especial interés del MAS
X = -A X=0 X=A
V=0 V = -ω·A V=0
A = ω2·A A=0 A = -ω2·A
X=0
V = ω·A
A=0

15. Energía en un MAS
• Energía potencial (elástica)
1 2 1 1
EP = Kx = KA2 cos 2 (ωt + ϕ 0 ) EP (max)→ KA 2
 
2 2 2
• Energía cinética
1 2 1 K 2 2 2
EC = mv = ω A sin (ωt + ϕ 0 ) =
2 2ω 2
1 1
= KA sin (ωt + ϕ 0 )   → KA2
2 2

EC (max)
2 2
1 1
EC = KA 2 [1 − cos 2 (ωt + ϕ 0 )] = K [ A2 − x 2 ]
2 2
• Energía mecánica o total
1 1
Em = E p + Ec = KA [cos () + sin ()] = KA2
2 2 2
2 2

16. Caso particular: el péndulo simple
• Es un sistema formado por 1
hilo inextensible de long. L, de
1 de cuyos extremos cuelga 1
masa m y el otro extremo está
sujeto a un punto fijo.
Eje n
T = Pn
x
Eje t
− Pt = m·a  −m·g ·sin θ = m·a  − g ·sin θ = a 
→ → →
x
sin θ = x g
→ − g = a  a = − x a = − cte· x → MVAS
l
→  
l l
2π
g T= ω l
ω =  → T = 2π
2

l g