1. GRAVITACIÓN
UNIVERSAL

2. MOMENTO DE UNA
FUERZA
(RESPECTO A UN PUNTO)

3. FUERZA
Es toda causa que modifica el estado
de reposo o movimiento de un
cuerpo o que produce en él una
deformación
𝐹 = 𝑚 · 𝑎; [𝑁]
𝑘𝑔 · 𝑚
𝑁= 2
𝑠

4. MOMENTO DE UNA FUERZA
A es un punto fijo del espacio
determinado por un vector de
posición 𝒓
𝑭 es una fuerza que está
aplicada sobre el punto A
Se llama MOMENTO de una fuerza 𝑭 respecto a un punto
fijo O, que es el origen del sistema de referencia, al producto
vectorial de 𝒓 × 𝑭

5. MOMENTO DE UNA FUERZA
Se indica con 𝑴 y es un vector.
𝑴= 𝒓× 𝑭 Unidades SI: N·m
MÓDULO: 𝑴 = 𝒓 · 𝑭 · 𝐬𝐢𝐧 𝜶
DIRECCIÓN: perpendicular a 𝒓 𝒚 𝑭.
SENTIDO: calculamos el determinante.
𝒊 𝒋 𝒌
𝑴 = 𝒓𝒙 𝒓𝒚 𝒓𝒛
𝑭𝒙 𝑭𝒚 𝑭𝒛

6. EJEMPLO
𝑭 = 𝒊 − 𝟑𝒋 + 𝟐𝒌 𝑵
𝑷 = 𝟏, 𝟎, 𝟒 𝒎 → 𝒓 = 𝒊 + 𝟒𝒌 𝒎
𝒊 𝒋 𝒌
𝑴= 𝒓× 𝑭= 𝟏 𝟎 𝟒 = −𝟑𝒌 + 𝟒𝒋 + 𝟏𝟐𝒊 − 𝟐𝒋 =
𝟏 −𝟑 𝟐
= 𝟏𝟐𝒊 + 𝟐𝒋 − 𝟑𝒌 𝑵 · 𝒎
𝟏𝟐
𝑴= 𝟐 𝑵· 𝒎
−𝟑

7. MOMENTO DE INERCIA

8. MOMENTO DE INERCIA
Es la tendencia de un cuerpo a mantener el estado
de inercia o de rotación.
Depende de la geometría de cada cuerpo y se
calcula como:
𝐼= 𝑟 2 𝑑𝑚

9. MOMENTO DE INERCIA
Para masas puntuales que giran en torno a su eje,
resolviendo la integral, se obtiene:
2
𝐼 = 𝑚𝑟
Que es válido para planetas y satélites debido a que
en nuestras aproximaciones podemos considerarlos
masas puntuales.

10. MOMENTO
ANGULAR

11. MOMENTO LINEAL
Si consideramos una PARTÍCULA de las siguientes
características:
m → Masa
𝒓 → vector de posición respecto a O
𝒗 → vector velocidad de la partícula
𝒑: momento lineal o cantidad de movimiento.
𝒑= 𝒎· 𝒗

12. MOMENTO ANGULAR
Es el producto vectorial del vector de posición por la cantidad
de movimiento.
𝑳 = 𝒓 × 𝒑 = 𝒓 × 𝒎 · 𝒗 = 𝒎 · 𝒓 × 𝒗 = 𝑰𝝎
Unidades SI: 𝑲𝒈 · 𝒎𝟐
𝒔
MÓDULO: 𝑳 = 𝒓 · 𝒑 · 𝐬𝐢𝐧 𝜶 = 𝒓 · 𝒎 · 𝒗 · 𝐬𝐢𝐧 𝜶
DIRECCIÓN: perpendicular al plano
formado por 𝒓 𝒚 𝒗.
SENTIDO: calculamos el determinante.

13. CONSERVACIÓN DE 𝐿
Para que se conserve una magnitud física en el tiempo se
tiene que cumplir que la derivada primera de dicha cantidad
respecto del tiempo sea nula. En nuestro caso:
𝒅𝑳
= 𝟎 ⇔ 𝑳 = 𝒄 𝒕𝒆
𝒅𝒕
2
𝒅𝑳 𝒅 𝒓× 𝒎· 𝒗 𝒅𝒓 𝒅(𝒎 · 𝒗)
= = × 𝒎· 𝒗+ 𝒓×
𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕
1

14. CONSERVACIÓN DE 𝐿
𝒅𝒓
1. 𝒅𝒕
× 𝒎 · 𝒗 = 𝒎 · 𝒗 × 𝒗 = 𝟎 Obviamente 𝒗 ∥ 𝒗
𝒅(𝒎·𝒗) 𝒅𝒎 𝒅𝒗
2. 𝒓 × 𝒅𝒕
= 𝒓×
𝒅𝒕
· 𝒗+ 𝒎·
𝒅𝒕
= 𝒓× 𝒎· 𝒂=
= 𝒓× 𝑭= 𝑴
𝒅𝑳
= 𝑴
𝒅𝒕

15. CONSERVACIÓN DE 𝐿
 En un sistema, la variación del momento angular de una
partícula con respecto al tiempo es igual al momento de la
fuerza resultante sobre la partícula.
 En un sistema aislado en el que se cumple que 𝑴 = 𝟎, el
MOMENTO ANGULAR SE CONSERVA, es decir, su
módulo, dirección y sentido son constantes en el tiempo.
1) 𝑭 = 𝟎 2) 𝒓 = 𝟎 3) 𝒓 𝒚 𝑭 misma dirección

16. CONSERVACIÓN DE 𝐿
 Cuando 𝑳 = 𝒄 𝒕𝒆 , la trayectoria de la partícula es plana
porque si la trayectoria cambiara de plano, como la
dirección de 𝑳 es perpendicular a dicho plano, esta también
cambiaría y ya no se conservaría el momento angular.
 El sentido de giro no puede cambiar ya que esto implicaría
que el sentido del momento angular se invertiría.

17. FUERZAS
CENTRALES

18. FUERZAS CENTRALES
Una fuerza es central cuando su
dirección pasa siempre por un
punto fijo.
Cuando el vector posición, 𝒓, del
punto donde se aplica una fuerza
es paralelo al vector de la fuerza,
𝑭, independientemente del lugar
elegido, a esta fuerza se la
denomina CENTRAL.
Ejemplos: Fuerza elástica.
Fuerza gravitatoria.
Tensión de una cuerda girando.

19. CARACTERÍSTICAS
 Son fuerzas conservativas: se les asocia una Energía
Potencial (que sólo depende de la posición).
 Las fuerzas centrales pueden dar lugar a dos situaciones:
 Fuentes: el sentido es hacia fuera. Fuerzas positivas.
 Sumideros: el sentido es hacia dentro. Fuerzas
negativas.
 Se conserva el momento angular (𝐿 = 𝑐 𝑡𝑒 ) ya que en este
tipo de fuerzas siempre se cumple que 𝑟 𝑦 𝐹 tienen la
misma dirección.

20. LEYES
DE
KEPLER

21. LEY DE LAS ÓRBITAS
1. Los planetas, al girar alrededor del Sol describen órbitas
elípticas planas, estando el Sol en uno de sus focos.
da = distancia del sol al afelio
dp = distancia del sol al perihelio
a = semieje mayor de la elipse
2a = eje mayor de la elipse
𝑑𝑎+𝑑𝑝
Distancia media del planeta al Sol: 𝑎=
2

22. LEY DE LAS ÁREAS
2. Los vectores de posición que proporcionan la posición
del planeta barren áreas iguales en tiempos iguales. (Se
conserva 𝑳; tanto en módulo (mayor velocidad cerca del
Sol) como en dirección (órbita plana).
La velocidad es mayor en las
posiciones más cercanas al sol.
𝑅 𝑃 · 𝑉 𝑃 = 𝑅 𝐴 · 𝑉𝐴
∆𝑆
= 𝑐 𝑡𝑒
∆𝑡
1 1
𝑆 = 𝑅 · ∆𝑥 = 𝑣 · ∆𝑡 · 𝑅
2 2
∆𝑆 1 𝑅 · 𝑣 · ∆𝑡 1 𝑅 · 𝑣 = 𝑐 𝑡𝑒
=2 = 𝑅 · 𝑣 = 𝑐 𝑡𝑒 (la constante depende del
∆𝑡 ∆𝑡 2 sistema concreto)

23. LEY DE LOS PERÍODOS
3. El cociente entre el cuadrado del periodo y el cubo del
radio es constante para todos los planetas que giran
alrededor de una estrella.
𝑇2
= 𝑐 𝑡𝑒
𝑅3
(la constante cambia en
función del sistema)
T → periodo de revolución del planeta alrededor de la
estrella sobre la que gira.
R → distancia media a la estrella (lo conocimos antes
como “a”)

24. LEY
DE LA
GRAVITACIÓN
UNIVERSAL

25. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Cuando un planeta está girando, la fuerza que existe es la
Fuerza Centrípeta:
𝑚 · 𝑣2
𝐹𝐶 = 𝑚 · 4𝜋 2 · 𝑅2 𝑚· 𝑅
𝑅 𝐹𝐶 = = 4𝜋 2
𝒆 2𝜋𝑅 𝑇 2· 𝑅 𝑇2
𝑣= =
𝒕 𝑇
𝑇2
Teniendo en cuenta la 3ª ley de Kepler: = 𝑐 𝑡𝑒 = 𝐾; 𝑇 2 = 𝐾 · 𝑅3
𝑅3
𝑚· 𝑅 4𝜋 2 · 𝑚
Obtenemos: 𝐹 𝐶 = 4𝜋 2 𝐹𝐶 =
𝐾 · 𝑅3 𝐾 · 𝑅2

26. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
La FUERZA es, directamente proporcional a la masa del
planeta e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia medida desde el Sol.
Además, la constante K depende de la masa del Sol:
4𝜋2
= 𝑀 · 𝐺 donde G es la Constante de Gravitación
𝐾
Universal.
′ −11 𝑁·𝑚2
𝐺 = 6 67 · 10 𝐾𝑔2
𝑀· 𝑚
𝐹𝐶 = 𝐺 ·
𝑅2

27. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
¡¡¡Ojo!!!
Estamos hablando de una fuerza central de tipo
SUMIDERO, sabemos que este tipo de fuerzas tienen signo
negativo, pero ¡¡¡sólo si estamos escribiendo la fuerza
vectorialmente!!!
𝑢 𝑟 es un vector unitario (módulo 1) en dirección radial. Por
lo tanto, la representación vectorial de la fuerza centrípeta
será:
𝑀· 𝑚
𝐹 = −𝐺 · 2
· 𝑢𝑟
𝑅

28. EJEMPLO
La galaxia Andrómeda dista 2 · 1022 𝑚 de la nuestra. La
masa de la Vía Láctea es de 6 · 1041 𝐾𝑔 mientras que la masa
de Andrómeda es 7 · 1041 𝐾𝑔. Tratando a ambas galaxias
como partículas (debido a la distancia entre ellas),
determina la fuerza gravitatoria de Andrómeda sobre la Vía
Láctea.

29. EJEMPLO
La galaxia Andrómeda dista 2 · 1022 𝑚 de la nuestra. La
masa de la Vía Láctea es de 6 · 1041 𝐾𝑔 mientras que la masa
de Andrómeda es 7 · 1041 𝐾𝑔. Tratando a ambas galaxias
como partículas (debido a la distancia entre ellas),
determina la fuerza gravitatoria de Andrómeda sobre la Vía
Láctea.
𝑚· 𝑀
𝐹 = −𝐺 · 2
𝑢𝑟
𝑅
𝑁·𝑚2 6 · 1041 𝐾𝑔 · 7 · 1041 𝐾𝑔
𝐹 = −6′ 67 · 10−11 𝐾𝑔2 22 2 𝑚2
𝑢𝑟
2 · 10
𝐹 = −7′ 0035 · 1028 𝑢 𝑟 𝑁

30. Principio de superposición
 La interacción entre dos masas es independiente de la
presencia de otra tercera.
 Cuando tenemos un sistema con varias partículas, la
fuerza de atracción que sufre cada una de ellas es la
suma vectorial de las fuerzas gravitatorias a las que se ve
sometida.
𝐹5 = 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3 + 𝐹4
𝐹= 𝐹𝑖

31. EJEMPLO
Cuatro masas de 1 Kg cada una están
situadas en los vértices de un cuadrado
de 1 m de lado. Calcula la fuerza
gravitatoria que ejercen 3 de las cuatro
masas sobre la cuarta.

32. EJEMPLO
Cuatro masas de 1 Kg cada una están
situadas en los vértices de un cuadrado
de 1 m de lado. Calcula la fuerza
gravitatoria que ejercen 3 de las cuatro
masas sobre la cuarta.
Voy a calcular la fuerza sobre m1. Para ello sitúo dicha
masa en el centro del sistema de referencia. Para calcular 𝐹
aplico el PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN:
𝐹 = 𝐹2 + 𝐹3 + 𝐹4
𝑚1 𝑚2
𝐹2 = 𝐺 = 6′ 67 · 10−11 𝑁 𝐹2 = 6′ 67 · 10−11 𝑖 𝑁 Componente x
1𝑚 2
𝑚1 𝑚4
𝐹4 = 𝐺 = 6′ 67 · 10−11 𝑁 𝐹4 = 6′ 67 · 10−11 𝑗 𝑁 Componente y
1𝑚 2
𝑚1 𝑚3
𝐹3 = 𝐺 2 = 3′ 34 · 10−11 𝑁 Componente x más componente y
2𝑚

33. EJEMPLO
Tenemos que calcular la descomposición de la fuerza. Al ser la diagonal
de un cuadrado el ángulo que forma 𝐹3 con el eje de coordenadas es de
45º:
𝐹3𝑥 = 𝐹3 · cos 45 𝑜 = 2′ 35 · 10−11 𝑁
𝐹3𝑦 = 𝐹3 · sin 45 𝑜 = 2′ 35 · 10−11 𝑁
𝐹3 = 2′ 35 · 10−11 𝑖 + 2′ 35 · 10−11 𝑗 𝑁
Una vez que tenemos los valores de las componentes de todas las
fuerzas que se aplican sobre la masa m1 podemos completar la suma
vectorial:
𝐹 = 6′ 67 · 10−11 𝑖 𝑁 + 2′ 35 · 10−11 𝑖 + 2′ 35 · 10−11 𝑗 𝑁 + 6′ 67 · 10−11 𝑗 𝑁
𝐹 = (9′ 02 · 10−11 𝑖 + 9′02 · 10−11 𝑗 )𝑁
𝐹 = 2 · 9′ 02 · 10−11 𝑁 = 1′ 276 · 10−11 𝑁