Métodos de Factorizacón

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RESUMEN DE MATEMÁTICAS
BACHILLERATO
TEMA: Factorización de Polinomios
Profesor: Marlon Prendiz Espinoza
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2. Profesor: Marlon Prendiz Espinoza
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
¾Qué es factorizar un polinomio?
Factorizar es expresar un polinomio como producto indicado (es decir, sin resolver) de dos o más polinomios
de menor grado que el polinomio original.
Existen varios métodos de factorización, a continuación vamos a resumir y ejemplicar los más importantes
y de uso común.
Veamos:
A. FACTOR COMÚN
El factor común de un polinomio es un monomio o un polinomio que se repite en cada uno de los términos
del polinomio que deseamos factorizar.
El factor común de un polinomio está formado por:
El máximo común divisor (MCD)de los números de cada uno de los términos del polinomio que deseamos
factorizar.
Las letras que están repetidas en TODOS los términos del polinomio que vamos a factorizar, elevados
al MENOR exponente entre ellas.
Para factorizar un polinomio por el método de FACTOR COMÚN debemos seguir los siguientes pasos:
1) Determinamos, si es posible, el MCD, para determinar el factor común numérico.
2) Identicamos las letras repetidas en cada término, para determinar el factor común literal. En el factor
común irán las de menor exponente.
3) Una vez tengamos el factor común, dividimos cada uno de los términos del polinomio por el factor
común.
4) Escribimos dentro de un parentesis el resultado de las divisiones del paso 3.
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3. Profesor: Marlon Prendiz Espinoza
EJEMPLO 1: Factorice 10a2b2 15a3b3c2 + 5ab4c3
PASO 1) Determinamos el MCD de 10; 15; 5 el cual es 5.
PASO 2) Las letras que se repiten en todos los términos son a y b. recordemos que debemos tomar las de menor
exponente, es decir, a y b2 .
Nuestro factor común es 5ab2.
PASO 3) Dividimos cada uno de los términos del polinomio por nuestro factor común.
10a2b2
5ab2 = 2a.
15a3b3c2
5ab2 = 3a2bc2.
5ab4c3
5ab2 = b2c3
PASO 4) Expresamos los términos en factores.
Términos que resultaron de la división
z }| {
5ab2 |{z}(
2a 3a2bc2 + b2c3)
factor común
EJEMPLO 2: Factorice 7x(a b) + 3x2y(a b)
PASO 1) Determinamos el MCD. En este caso, 3 y 7 no tienen divisores en común (solamente el 1). Esto quiere
decir que nuestro factor común no tendrá factor común numérico.
PASO 2) Determinamos las letras que se repiten y escogemos las de menor grado. En este caso la letra que se
repite en cada término es la x y la de menor grado es x.
ˆ Observemos con mucha atención el término (a b), el cual esta en cada uno de los monomios del
polinomio que queremos factorizar, cuando nos encontremos con casos similares a este, podemos usar
este termino como factor común. Finalmente, nuestro factor común es: x(a b)
PASO 3) Dividimos cada uno de los términos del polinomio por nuestro factor común.
7x(a b)
x(a b)
= 7
3x2y(a b)
x(a b) = 3xy
PASO 4) Expresamos la factorización en factores.
Terminos que resultaron de la división
x(a b) | {z }
z }| {
(7 + 3xy)
factor común
Siempre debemos tener mucho cuidado al realizar las divisiones. Debemos prestar especial atención cuando
nuestro polinomio tiene parentesis como el ejemplo 2.
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4. Profesor: Marlon Prendiz Espinoza
B. TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS(1er y 2da formula notable)
Un trinomio cuadrado perfecto es el polinomio que obtenemos al desarrollar la 1er o 2da formula notable.
Podemos factorizar un polinomio por este método si tiene las siguientes caracteristicas:
ˆ Tiene tres terminos que no tengan factores comunes.
ˆ El primer y el tercer término son trinomios cuadrados perfectos, es decir, tienen raiz cuadrada exácta.
ˆ PRUEBA DEL CENTRO. Es cuando el resultado de multiplicar la raiz cuadrada del primer y del
tercer termino multiplicados entre ellos y por 2 es igual al segundo termino del polinomio original.
Para factorizar un polinomio por este metodo debemos seguir los siguientes pasos:
1) Ordenamos el polinomio, de manera que los cuadrados perfectos queden en los extremos.
2) Extraemos la raíz cuadrada de los extremos, es decir del primer y del tercer termino.
3) Vericamos que se cumpla la PRUEBA DEL CENTRO.
4) Expresamos en factores. Para este caso tomamos lo obtenido en el paso 2, los unimos con el signo que
posea el termino del centro, encerramos esto entre parentesis y lo elevamos al cuadrado. Como en la
(1er o 2da formula notable.
EJEMPLO 3 : Factorice 25x2 40xy + 16y2
PASO 1) Ordenar el polinomio. En este caso podemos notar que el polinomio está prdenado, pues los extremos
tienen raíz cuadrada exacta.
PASO 2) Determinemos la raíz cuadrada de los extremos.
p
25x2 = 5x
p
16y2 = 4y
PASO 3) Prueba del Centro. Comprobaos que al multiplicar los resultados obtenidos en el paso anterior y luego
por 2 nos de como resultado el término del centro.
5x 4y 2 = 20xy 2 = 40xy
PASO 4) Expresamos el polinommio factorizado. Recordemos que debemos usar el signo que tiene el termino
central del polinomio original.
(5x 4y)2
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EJEMPLO 4: Factorice 9a2 + 16 + 24a
PASO 1) Ordenar el polinomio. En este caso debemos ordenar el polinomio, pues como podemos ver uno de los
extremos el 24a no tiene raíz cuadrada exacta. La forma en la que debe estar es: 9a2 + 24a + 16
PASO 2) Determinamos la raíz cuadrada de los extremos.
p
9a2 = 3a
p
16 = 4
PASO 3) Prueba del Centro. Comprobamos que al multiplicar los resultados del paso anterior entre si y luego
por 2 nos de como resultado el término del centro.
3a 4 2 = 12a 2 = 24a
PASO 4) Expresamos el polinomio factorizado. Recordemos que debemos usar el signo del término del centro.
(3a + 4)2
C. FACTORIZACIÓN POR DIFERENCIA DE CUADRADOS (3er Formula notable)
Este método de factorización es el que utilizamos para factorizar el polinomio que se obtiene al desarrollar
la 3er formula notable.
Usaremos este metodo en un polinomio que cumpla las siguientes caracteristicas:
ˆ Debe ser un binomio, es decir, un polinomio que posea únicamente dos términos.
ˆ No debe haber factor común.
ˆ Los términos deben tener diferente signo.
ˆ Cada término debe ser un cuadrado perfecto, es decir, debe tener raíz cuadrada exácta.
Para factorizar un polinomio por diferencia de cuadrados se recomienda seguir los siguientes pasos:
1) Extraemos las raices cuadrados de cada término.
2) Expresamos la factorización de manera tal que la diferencia de las raíces se multiplique por la suma.
Como en la 3erformula notable
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6. Profesor: Marlon Prendiz Espinoza
EJEMPLO 5: Factorice 4x2 9
PASO 1) Extraemos las raices cuadradas de los términos:
p
4x2 = 2x
p
9 = 3
PASO 2) Expresamos el polinomio factorizado.
la suma
(2x 3) | {z }
z }| {
(2x + 3)
la resta
EJEMPLO 6 : Factorice 36 (x + 1)2
Veamos que en este ejemplo uno de los términos es (x + 1)2, aunque esté entre parentesis vamos a usar el
mismo procedimiento, veamos:
PASO 1) Extraemos las raices cuadradas de los términos del polinomio.
p
36 = 6
p
(x + 1)2 = (x + 1)
PASO 2) Expresamos el polinomio factorizado.
la resta
(6 + (x + 1)) | {z }
z }| {
(6 (x + 1))
la suma
En un ejercicio como este debemos efectuar la suma y la resta que hay en cada uno de los factores,
veamos:
(6 + (x + 1))(6 (x + 1))
= (6 + x + 1)(6 x 1)
= (7 + x)(5 x) | {z }
estos serían los factores nales
En ejercicios como el ejemplo 6 en el que uno de los factores está entre parentesis siempre debemos de hacer
la suma y resta al nal como vimos en el ejemplo 6. Recordemos que los ejercicios que hagamos los debemos
expresar en su forma más simplicada.
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7. Profesor: Marlon Prendiz Espinoza
D. TRINOMIOS CUADRADOS IMPERFECTOS (Método de inspección)
Un trinomio cuadrado imperfecto es aquel que no posee extremos con raíz cuadrada exacta, por lo tanto, no
pueden ser factorizados por la I o II formula notable.
Cuando nos encontramos con un polinomio de este tipo debemos usar el método de inspección para factori-zar
dicho polinomio. En este método debemos tener mucha paciencia y astucia, debemos ser mmuy intuitivos.
Entonces, factorizaremos por inspección un polinomio si:
ˆ Posee tres términos que no tienen factores comunes.
ˆ No son trinomios cuadrados perfectos.
Para factorizar un polinomio con el método de inspección se recomienda usar los siguientes pasos:
1) Ordenar el plinomio. Debemos asegurar que el término central contenga los factores literales presentes
en ambos extremos, pero de menor grado que estos.
2) Descomponer los extremos. Se reere a buscar dos factores que multiplicados den como resultado el
término original. [ejm:2x2 = 2xx]. Debemos tener especial cuidado con los parentesis, pues aquie juega
un papel importante a ley de signos. En este paso usaremos nuestra astucia e intuición para determinar
cual es la mejor forma de descomponer cada término.
3) PRUEBA DEL CENTRO. En este paso vericaremos que los términos de la descomposición son co-rrectos.
Para ello multiplicamos el primer factor de cada término por el segundo del otro término. Si
al sumar estos resultados obtenemos el término central podemos continuar, de lo contrario debemos
realizar el paso 2 nuevamente.
4) Expresamos el polinommio factorizado. tendremos un par de parentesis multiplicando, en el primero
pondremos con todo y signo correspondiente los primeros factores de cada término, en el segundo los
segundos factores.
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8. Profesor: Marlon Prendiz Espinoza
EJEMPLO 7: Factorice x2 + 5x + 6
PASO 1) Ordenar el polinomio. En este caso el polinomio está ordenado, pues como podemos observar el termino
central [5x] posee el factor literal que está presente en menor grado (es decir [x])
PASO 2) Descomponer los extremos. Para descomponer los extremos se recomienda hacerlo hacia abajo. Veamos:
|x{z2}+5x + |{6z}
a c7! Primeros Factores
b d7! Segundos Factores
x2 |{z}+5x + |{6z}
x +27! Primeros Factores
x +37! Segundos Factores
PASO 3) PRUEBA DE CENTRO (PC).
x2 |{z}+ 5x + |{6z}
x +2
x +3
PC
+2 x
+3 x
5x
PASO 4) Expresar el polinomio en su forma factorizada.
(primeros términos)(segundo términos)
(x + 2)(x + 3)
EJEMPLO 8: Factorice 2x2 5xy 3y2
PASO 1) El polinomio está ordenado pues claramente el término central -5xy tiene todos los factores literales
presentes en el polinomio y con exponente menor.
PASO 2) Descomponer los extremos.En este caso debemo tener especial cuidado con la ley de signos al descom-poner
el tercer término.
2x2 |{z}5xy 3y2
|{z}
x 3y7! Primeros Factores
2x +1y7! Segundos Factores
PASO 3) PRUEBA DE CENTRO.
2x2 |{z} -5xy 3y2
|{z}
x 3y
2x +1y
PC
+2x 3y
+1x +1y
PC
6xy
+xy
-5xy
PASO 4) Expresar el polinomio factorizado.
(primeros factores)(segundos factores)= (x 3y)(2x + y)
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E. AGRUPACIÓN
Este metodo consiste en agrupar en expresión algebraíca de cuatro términos(comunmente) aquellos términos
que posean factores en común.
De esta manera, factorizaremos por el método de agrupación si el polinomio:
ˆ Posee cuatro términos.
ˆ Se pueden agrupar términos con factores en común.
Para factorizar un polinomio por el método de agrupación podemos seguir los siguientes pasos:
1) Vericar que el polinomio tenga almenos 4 términos. Y que el polinomio no sea factorizable por el
método de factor común.
2) Hacer dos grupos delimitados con parentesis redondos y separados por un signo positivo.
3) Agrupar, en cada grupo deben ir términos que tengan algún factor común.
4) Cada grupo se factoriza por el método de factor común individualmente.
5) Volver a factorizar por factor común, todo el polinomio, para esto debe quedar en los parentesis tér-minos
identicos.
EJEMPLO 7: Factorice 9m2n2 + 15n 3m2n 5
PASO 1) Vericación. Claramente el polinomio tiene 4 términos y además no se puede haccer uso de factor
común en este momento.
PASO 2) Hacer grupos.
( ) + ( )
PASO 3) Agrupar, recordemos que deben haber factores en común en cada grupo.
(9m2n2 3m2n) + (15n 5)
PASO 4) Factorizamos por factor común cada grupo individualmente.
3m2n(3n 1) + 5(3n 1)
PASO 5) Factorizamos por factor común todo el polinomio.
(3n 1)(3m2n + 5)
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