derivada max y min

1. INTEGRANTES:
GARCÍA APAZA, BORIS FRANZUAE 2018-109042
PILCO JIMENEZ, JACKELINE ALEXANDRA 2012-37452

2. APLICACIONES DE LA DERIVADA
• Una de las aplicaciones más importantes y
útiles de la derivada está en el estudio de
los valores máximos y mínimos de una
función. Existen muchos problemas
prácticos en los cuales se trata de
encontrar una “mejor” manera de
formularse problemas relacionados en la
determinación de los valores máximos y
mínimos de una función.

3. FUNCIÓN CRECIENTE
• Diremos que una función es creciente cuando a medida que crece el valor de la
variable independiente crece el valor de la función.
CONDICIÓN:
La función es creciente si para todo x1< x2 se
tiene: f(x1) < f(x2)

4. FUNCIÓN DECRECIENTE
• Diremos que una función es decreciente cuando a medida que el valor de la
variable independiente aumenta el valor de la función disminuye.
CONDICIÓN:
La función es decreciente si para todo x1 < x2 se
tiene: f(x1)>f(x2)

5. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS
• Consideremos una función f continua
en [a, b] y sea c e un número crítico y / '(
x ) está definida para todos los puntos
de excepto posiblemente en c, entonces:

6. EJERCICIO DE LA
PRIMERA DERIVADA
PARA EXTREMOS
RELATIVOS

7. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS:
Supóngase que existe F en algún intervalo abierto que
contiene a e y que F(e) = 0 entonces:
• Si F(e) >0, entonces 𝑓 𝑒 es un valor mínimo relativo.
• Si F(e) <0, entonces 𝑓 𝑒 es una valor máximo relativo.

8. EJEMPLO:
Hallar los máximos y mínimos de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 5 𝑥3 − 20x − 2,
mediante el criterio de la segunda derivada.
Primeramente hallaremos los números críticos de la
función f(x), es decir:
SOLUCIÓN
𝑓 𝑥 = 𝑥5
− 5𝑥3
− 20𝑥 − 2 𝑓 𝑥 = 5𝑥4
−15𝑥2
− 20 = 0 𝑥2
− 4 𝑥2
+ 1 = 0 x = ±2
números críticos ahora calculamos la segunda derivada, es decir:
F(x) = 20𝑥3
− 30x , ahora evaluamos en los números críticos.
F( - 2 ) = -100 < 0 => Э máx.relativo en f(-2) = 46
F ( 2 ) = 100 > 0 => Э min.relativo en f(2) = -50

9. CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXIÓN:
Consideremos una función f derivable y sea P
un punto de la gráfica f, si todos los puntos de
f arbitrariamente cercano a P están por arriba
de la recta tangente a f en el punto P, entonces
la gráfica es cóncava hacia arriba en P.
Si todos los puntos de f arbitrariamente
cercano a P están por debajo de la recta
tangente en P, entonces la gráfica es cóncava
hacia abajo en P.

10. Cuando f tiene una sola tangente en P y f es
cóncava hacia arriba en todos los puntos
cercanos arbitrariamente a P situados a un solo
lado y es cóncava hacia abajo en todos los
puntos cercanos arbitrariamente a P situados al
otro lado de P, entonces P recibe el nombre de
punto de inflexión:
a) DEFINICION.-
Sea f una función derivable, si P(c, f(c)) es un punto de la
gráfica y si existe un intervalo abierto <a,b> sobre el eje X
y c € <a, b>, tal que: V x ≠ c, x € <a, b> . Si el punto Q(x,
f(x)) correspondiente a la gráfica está por arriba de la recta
tangente en P, entonces la gráfica es cóncava hacia arriba
en P.